Politechnika Warszawska	Katedra Wysokich Napięć i Aparatów Elektrycznych
Temat : Odpowiedź dzielnika napięcia	Wykonała: Monika Wiewiórska Sem VIII .
Diagnostyka i niezawodność urządzeń elektrycznych	Data: 28.03.2010

1 . Wprowadzenie :

WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE - ODPOWIEDŹ NA WYMUSZENIE SKOKOWE

Wyznaczenie właściwości dynamicznych badanego układu wymaga wykonania skoku wielkości wejściowej obiektu (wymuszenia skokowego Xst ) i zbadania przebiegu odpowiedzi sygnału wyjściowego

Y(τ) . Pomiaru charakterystyki dokonuje się najczęściej w niewielkim obszarze wokół wybranego punktu pracy układu, przy skoku wartości X wynoszącym 5 do 15% całego normalnego zakresu zmian tej wielkości. Jest to bardzo istotne zwłaszcza w przypadku układów nieliniowych z linearyzowaną charakterystyką statyczną. Wykonanie większych wymuszeń jest zresztą możliwe tylko w układach wyłączonych z normalnej eksploatacji lub doświadczalnych.

Podstawowym warunkiem dokładnego wyznaczenia charakterystyki dynamicznej jest mała, w porównaniu z badanym układem, inercja zespołów pomiarowych P1M1 i M P2M2, a także stałość w czasie wielkości zakłócających Z. W celu dokładnego przedstawienia charakterystyki bez korzystania z rejestratora, należy uzyskać odpowiednio dużą liczbę punktów do sporządzenia wykresu.

Z wykresu odpowiedzi na wymuszenie skokowe wyznacza się podstawowe wskaźniki dynamicznych właściwości badanego obiektu - stałą czasową lub parametry zastępcze w przypadku układów złożonych - zastępczą stałą czasową i zastępczy czas opóźnienia. Sposoby wyznaczania tych parametrów podano niżej.

METODY WYZNACZANIA STAŁEJ CZASOWEJ CZŁONÓW INERCYJNYCH I RZĘDU

1.1. SPOSOBEM GRAFICZNYM

Wyznaczenie stałej czasowej układu inercyjnego I rzędu, sposobem graficznym polega na wykreśleniu stycznej do przebiegu odpowiedzi na wymuszenie skokowe w jej początkowym punkcie τ = 0 . Przy przebiegu funkcji Y(τ) dążącym do wartości różnej od zera (rys. 1), kreśli się następnie asymptotę charakterystyki na poziomie K∙X_st = ∞ .

Rzutując punkt przecięcia stycznej z asymptotą na oś odciętych, otrzymujemy punkt t = T i określamy tym samym wartość stałej czasowej analizowanego układu.

Rys. 1. Wyznaczanie stałej czasowej sposobem graficznym i z wartości charakterystyki

skokowej w punkcie t = T dla przebiegu Y(τ ) dążącego Y_∞ ≠ 0(a)i do Y_∞ = 0(b)

Przy przebiegu funkcji Y(t ) dążącym do zera (rys. 1) postępuje się podobnie -z tym, że asymptotą charakterystyki jest oś odciętych. Wartość stałej czasowej układu określa wtedy punkt przecięcia stycznej z osią odciętych.

Ze względu na trudność precyzyjnego wykreślenia stycznej do przebiegu charakterystyki skokowej w punkcie t = 0 , graficzne wyznaczenie stałej czasowej układu inercyjnego I rzędu daje wynik przybliżony.

1.2. Z NACHYLENIA CHARAKTERYSTYKI SKOKOWEJ W DANYM PUNKCIE

Przekształcając równanie charakterystyki dynamicznej członu inercyjnego I rzędu:

$$T \bullet \frac{\text{dY}}{\text{dτ}} + Y = K \bullet X$$

otrzymamy zależność:

$$T = \frac{K \bullet X - Y}{\frac{\text{dY}}{\text{dτ}}}$$

w której X jest wartością Xst po wykonaniu wymuszenia skokowego.

Jeżeli przyjąć, że $\frac{\text{dY}}{\text{dτ}}$ jest nachyleniem charakterystyki dynamicznej skokowej w punkcie n , K•X_st jest wartością Y w czasie τ = ∞ (asymptotą charakterystyki Y_∞ ), Y wartością rzędnej w punkcie n, otrzymamy wzór na obliczenie stałej czasowej T :

$$T = \frac{Y_{\infty} - Y_{n}}{{(\frac{\text{dY}}{\text{dτ}})}_{n}}$$

Przy przebiegu funkcji Y(τ) dążącym do asymptoty Y_∞ ≠ 0 jest konieczna znajomość wartości wszystkich składników prawej strony równania. Przy przebiegu funkcji Y(τ) dążącym do zera, równanie upraszcza się, ponieważ Y_∞ = 0 .

W praktyce punkt n obiera się na mało zakrzywionym, stromym odcinku wykresu charakterystyki skokowej, a nachylenie tej charakterystyki określa się dla bezpośredniego otoczenia wybranego punktu. W celu zwiększenia dokładności obliczeń, należy wyznaczyć średnią stałą czasową dla kilku różnych punktów charakterystyki.

1.3. Z WARTOŚCI CHARAKTERYSTYKI SKOKOWEJ W PUNKCIE τ = T

Całkując równanie charakterystyki dynamicznej układu inercyjnego I rzędu, otrzymamy dla przebiegu funkcji Y( τ ) dążącego do wartości różnej od zera zależność:

$$Y\left( \tau \right) = K \bullet X \bullet e^{- \frac{\tau}{T}}$$

gdzie X jest wartością Xst po wykonaniu wymuszenia skokowego.

W czasie τ = T otrzymamy 1- e⁻¹= 0,632 , czyli st Y( τ ) = 0,632K • X_st . Oznacza to, że w członie inercyjnym I rzędu po czasie równym stałej czasowej od wykonania wymuszenia skokowego, wartość Y osiąga 63,2 % swojej wartości maksymalnej K • X_st = Y_∞. Znając wartość Y_∞ można łatwo obliczyć wartość stałej czasowej członu.

Dla przebiegu funkcji Y(τ ) dążącego do zera, po scałkowaniu równania otrzymamy zależność:

$$Y\left( \tau \right) = K \bullet X \bullet e^{- \frac{\tau}{T}}$$

gdzie X jest początkową wartością X₀ przed wykonaniem wymuszenia skokowego.

W czasie τ = T otrzymamy e⁻¹ = 0,368, czyli Y(τ ) = 0,368 ∙ K ∙ X₀. Wynika z tego, że po czasie T od wymuszenia skokowego wartość Y osiąga 36,8 % swojej wartości początkowej K ∙ X₀= Y₀, czyli spada o

63,2 % .Znając wartość Y₀, łatwo można obliczyć wartość stałej czasowej układu.

1.4. WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNE UKŁADÓW ZŁOŻONYCH

Liniowe układy złożone, zbudowane z dwóch lub większej liczby połączonych ze sobą (najczęściej szeregowo) członów elementarnych, klasyfikuje się w zależności od cechy samodzielnego osiągania lub nieosiągania stanu równowagi trwałej po wprowadzeniu wymuszenia skokowego na dwie grupy:

a) układy statyczne,

b) układy astatyczne.

Układy astatyczne zawierają przynajmniej jeden element całkujący. Układy statyczne nie zawierają elementów o właściwościach całkujących.

Najczęściej spotykany w praktyce układ inercyjny wyższego rzędu składa się z połączonych szeregowo elementów inercyjnych I rzędu (przykładem może być szeregowy przepływowy reaktor wielozbiornikowy). Rząd układu wyznacza liczba połączonych elementów.

Często równania opisujące właściwości spotykanych w praktyce złożonych obiektów pomiarowo-regulacyjnych nie są dostatecznie znane i wyznaczenie ich transmitancji jest niemożliwe. Ponadto niektóre rodzaje obiektów, np. procesy cieplne lub dyfuzyjne, charakteryzują się inercyjnością wysokiego rzędu i analityczne wyznaczanie ich transmitancji ma małe znaczenie praktyczne, gdyż prowadzi często do wyników nieścisłych lub trudnych do wykorzystania ze względu na złożoną formę matematyczną. W takich przypadkach często lepiej jest opierać się na doświadczalnie wyznaczonych odpowiedziach na wymuszenia skokowe, które można aproksymować w umowny sposób.

W przypadku układów statycznych, których odpowiedzi na wymuszenia skokowe nie mają charakteru oscylacyjnego, wyznaczoną doświadczalnie krzywą odpowiedzi na wymuszenie skokowe aproksymuje się graficznie za pomocą opóźnienia i inercyjności pierwszego rzędu. Prowadzi się styczną do charakterystyki w punkcie przegięcia. Przy przebiegu funkcji Y(τ) dążącym do wartości różnej od zera, styczna ta odcina na osi czasu i prostej na poziomie K∙X_st = Y_∞ zastępcze parametry układu: czas opóźnienia τ_oz oraz stałą czasowąT_z. Z położenia asymptoty przebiegu Y(τ) można określić wzmocnienie statyczne układu K.

Rys. 3. Aproksymowanie odpowiedzi na wymuszenie skokowe układu inercyjnego wyższego (II) rzędu

W podobny sposób wyznacza się zastępcze parametry dynamiczne układu przy dążącym do zera przebiegu funkcji Y(τ) , z tym, że styczna odcina je na osi czasu i prostej na poziomie K∙X₀ = Y₀ . Występowanie przegięcia w przebiegu charakterystyki skokowej układu inercyjnego wyższego rzędu znacznie ułatwia wykreślenie stycznej i pozwala osiągnąć dość dużą dokładność metody graficznej.

2.Wykonanie ćwiczenia

2.1.Odpowiedź dzielnika napięcia

otwieramy plik dzielnik.txt , wycinamy z niego napisy od:” type: , do data:” i zapisujemy jako np.: nowy.txt

w pliku drc.m :

% wyznaczanie czasu odpowiedzi dzielnika

%--------------------------------------------------

% normalizacyjna odpowiedzi:

load step.txt;

% load e:\dzielnik\lepik18_1.txt

% step = lepik18_1;

plot(step);grid;

text(1500,190,' powiększ ');shg

disp(' ... powiększ ... ');

pause

n1 = 0;n2 = 0;

while (n1~= 1) | (n2 ~= 1)

% zaznaczanie początku odpowiedzi

disp(' ... zaznacz początek (tylko raz)...');

[a1,b1] = ginput;

n1 = length(a1);

% zaznaczanie chwili ustalenia się odpowiedzi

disp(' ... zaznacz stan ustalony (tylko raz)...');

[a2,b2] = ginput;

n2 = length(a2);

end;

n_ini = fix(a1);

n_end = fix(a2);

%------------------------------------

% odpowiedź znormalizowana do zakresu amplitudowego 0 - 1

vm = (step(n_ini:n_end)-b1)/(b2-b1);

%------------------------------------

ht = 4e-9;

nt = length(vm);

% czas odpowiedzi

tm = ht*(0:nt-1);

tr = sum(1-vm)*ht;

va = 1-exp(-tm/tr);

plot(tm,vm,tm,va);grid;shg

save do_step vm tm tr nt ht;

dokonujemy nastepujących zmian:

- w 9 linijce zamiast „plot(step);grid;” wpisujemy „plot(nowy);grid;” ;

-w 5 linijce zamiast „load step.txt;” wpisujemy „load nowy.txt;” ;

-w 34 linijce zamiast „vm = (step(n_ini:n_end)-b1)/(b2-b1);”

wpisujemy „vm = (nowy(n_ini:n_end)-b1)/(b2-b1);”

otrzymujemy plik drc2.m :

% wyznaczanie czasu odpowiedzi dzielnika

%--------------------------------------------------

% normalizacyjna odpowiedzi:

load nowy.txt;%wczytanie danych z pliku nowy.txt

plot(nowy);grid;% wykres 2D w skali liniowej

text(1500,190,' powiększ ');shg % text w miejscu o podanych współrzędnych

disp(' ... powiększ ... ');%wyświetla dane z programu

pause %zatrzymuje wykonywanie programu-powrót :return

n1 = 0;n2 = 0;

while (n1~= 1) | (n2 ~= 1)% warunek

% zaznaczanie początku odpowiedzi

disp(' ... zaznacz początek (tylko raz)...');%wyswietla dane z programu

[a1,b1] = ginput;% pozwala odczytać współrzędne punktów na wykresie (klikając na nie).

n1 = length(a1);%n1 jest równe długości wektora a1

% zaznaczanie chwili ustalenia się odpowiedzi

disp(' ... zaznacz stan ustalony (tylko raz)...');%wyświetla dane z prgramu

[a2,b2] = ginput;

n2 = length(a2);

end;

n_ini = fix(a1);% fix - zaokraglanie do najbliższej liczby całkowitej

n_end = fix(a2);

%------------------------------------

% odpowiedź znormalizowana do zakresu amplitudowego 0 - 1

vm = (nowy(n_ini:n_end)-b1)/(b2-b1);

%------------------------------------

ht = 4e-9;

nt = length(vm); %długość wektora vm

% czas odpowiedzi

tm = ht*(0:nt-1); % czas by miał skok

tr = sum(1-vm)*ht; %czas odpowiedzi całka od -1

va = 1-exp(-tm/tr); % przebieg wykładniczy ze stałą czasową tr

plot(tm,vm,tm,va);grid;shg % juz unormowane do jedności,

% grid -siatka w obu osiach

% shg-Pokazuje ostatnie okno graficzne

% plot -wykres 2d w skali liniowej

save do_nowy vm tm tr nt ht; %zapisanie otrzymanych wartości podanych zmiennych w pliku .mat

po utworzeniu pliku drc2.m w oknie editor wybieramy opcję run drc2.m i otrzymujemy nastepujący wykres:

powiększenie wybranego obszaru wykresu:

wybieramy opcję „zoom in” i prawym klawiszem myszy zaznaczamy interesującą nas część wykresu

w celu większej precyzji odczytu pomiaru wykonujemy drugie powiększenie wybranego obszaru wykresu.

w oknie command window naciskamy klawisz enter, wyświetla nam polecenie:

„... zaznacz początek (tylko raz)...” –zaznaczamy początek wykresu jak pokazano na rysunku poniżej

naciskamy klawisz enter.

Wyświetla nam wtedy drugie polecenie ; „... zaznacz stan ustalony (tylko raz)... „ , zaznaczamy na wykresie stan ustalony i naciskamy ponownie klawisz enter.

wybieramy wskaźnikiem początek wykresu i wciskamy enter, następnie wybieramy stan ustalony i również naciskamy enter

otrzymujemy unormowanie do jedności stanu ustalonego:

2.2.symulacja udaru

symulacja zawarta jest w pliku udar.m :

% symulacja odpowiedzi dzielnika

% na sygnał napięcia udarowego

%----------------------------------------

load do_step vm tm tr nt ut; % load-wpisuje zmienne z pliku

% transmitancja

li = 1;

mi = [tr 1];

% symulacja

t = 0:5e-9:50001e-9;

ud = 1200*(exp(-t/100e-6)-exp(-t/1e-6));

ur = lsim(li,mi,ud,t); % li-licznik , mi-mianownik funkcji przenoszenia

lsim-wykreslanie charakterystyki liniowo-czasowej,

ud-wymuszenie

% wykres

plot(t,ud,t,ur,'r',t,10*(ud-ur'));grid;shg %grid -dodaje siatkę na wykresie,

shg-pokazuje ostatnie okno graficzne

zmieniamy dane w plocie z:

„plot(t,ud,t,ur,'r');grid;shg”

na:

plot(t,ud,t,ur,'r',t,10*(ud-ur'));grid;shg”

I otrzymujemy przebieg czasowy błędu dynamicznego:

po powiększeniu początku schematu zoomem możemy z bardzo dużą dokładnością odczytać błąd

wpisując w oknie poleceń matlaba polecenie >>ginput

pojawiają nam się znacznik,i którymi zaznaczamy interesujące nas punkty na i po kliknięciu klawisza enter wyświetlą nam się współrzędne tych punktów na osi y. Po odjęciu ich mamy różnicę między wykresami a tym samym czas opóźnienia, który w naszym przypadku wynosi ok.20 mikro sekund.

3.Wnioski

Dzięki zasymulowaniu w programie matlab odpowiedzi dzielnika na sygnał skokowy , można w prosty i szybki sposób zmierzyć napięcia udarowe wraz z określeniem błędu dynamicznego wynikającego z dużej stałej czasowe τ =R∙C powodującej opóźnienie ładowania pojemności w stosunku do amplitudy mierzonego napięcia.