Wartość wina jako funkcja czasu jest następująca $V = Ke^{\sqrt{t}}$. Kiedy należy sprzedać wino, aby zysk był maksymalny? Sprawdź warunek drugiego rzędu dla maksymalizacji bieżącej wartości wina. (Przyjąć r jako stopę procentową przy kapitalizacji ciągłej).
A(t)=$Ke^{\sqrt{t}} \bullet e^{- rt} = Ke^{\sqrt{t} - rt}$
$$\ln{A\left( t \right)} = lnK + \sqrt{t} - rt$$
$$\frac{d\ lnA(t)}{\text{dt}} = \frac{1}{2}t^{- \frac{1}{2}} - r$$
$$\frac{d\ lnA(t)}{\text{dt}} = \frac{\text{dlnA}}{\text{dA}} \bullet \frac{\text{dA}}{\text{dt}}$$
$$\frac{1}{2}t^{- \frac{1}{2}} - r = \frac{\text{dlnA}}{\text{dA}} \bullet \frac{\text{dA}}{\text{dt}}$$
Warunek konieczny
$$\frac{\text{dA}}{\text{dt}} = 0$$
$$\frac{1}{2}t^{- \frac{1}{2}} - r = \frac{1}{A} \bullet \frac{\text{dA}}{\text{dt}}$$
$$A\left( \frac{1}{2}t^{- \frac{1}{2}} - r \right) = \frac{\text{dA}}{\text{dt}} = 0$$
$\frac{1}{2}t^{- \frac{1}{2}} - r = 0 = > t = \frac{1}{4r^{2}}$ czas, dla którego zachodzi WK dla ekstremum
Warunek wystarczający
$$\frac{d^{2}A}{dt^{2}} < 0$$
$$\frac{d^{2}A}{dt^{2}} = \frac{d}{dt^{2}}\left( A\left( \frac{1}{2}t^{- \frac{1}{2}} - r \right) \right) = \frac{\text{dA}}{\text{dt}}\left( \frac{1}{2}t^{- \frac{1}{2}} - r \right) + A \bullet \left( \frac{1}{4}t^{- \frac{3}{2}} \right) < 0$$
Jest maksimum.
Znaleźć bieżącą stopę wzrostu dla y=a$t^{c},\ y = ab^{t},\ y = 2^{t}t^{2},\ y = \frac{t}{3^{t}}$
y=atc
y=atc ∖ ln
lny=lna + c • lnt
r= $\frac{\text{dlny}}{\text{dt}} = 0 + 0 \bullet lnt + c \bullet \frac{1}{t}$
r=$\frac{c}{t}$
y = abt
y = abt ∖ ln
Lny=lna + t • lnb
$$r = \frac{\text{dlny}}{\text{dt}} = 0 + lnb + t \bullet 0$$
r = lnb
y=2tt2
Lny=t • ln2 + 2 • lnt
$$r = \frac{\text{dlny}}{\text{dt}} = ln2 + 2 \bullet \frac{1}{t}$$
$\mathbf{\ y =}\frac{\mathbf{t}}{\mathbf{3}^{\mathbf{t}}}$
lny = lnt − t • ln3
$$r = \frac{\text{dlny}}{\text{dt}} = \frac{1}{t} - ln3$$
Firma stosuje czynniki produkcji…
C = a • Pa + b • Pb
R = P • Q • e−rt
π = R − C = P • Q • e−rt − a • Pa − b • Pb
Szukamy maksymalnego zysku
W.K.
πa = 0 < = >