1. Charakterystyki geometryczne

   1. Środki ciężkości

y₁^c = −1, 68[cm]

zy₁^c = 6[cm]

y₁^z = 0, 5[cm]

z₁^z = 10[cm]

$$y_{c} = \frac{A^{c}*{y_{1}}^{c} + A^{Z}*{y_{1}}^{z}}{A^{c} + A^{z}} = \frac{15.5* - 1,68 + 38,7*0.5}{15.5 + 38.7} = - 0,123\lbrack cm\rbrack$$

$$z_{c} = \frac{A^{c}*{z_{1}}^{c} + A^{Z}*{z_{1}}^{z}}{A^{c} + A^{z}} = \frac{15.5*6 + 38,7*10}{15.5 + 38.7} = 8.856\lbrack cm\rbrack$$

Centralne momenty bezwładności

y₀^c = y₁^c − y = −1, 68 − (−0,123) = −1, 557[cm]

z₀^c = z₁^c − z_c = 68.856 = −2.856[cm]

y₀^Z = y₁^Z − y_c = 0.5 − ( − 0, 123)=0.623[cm]

z₀^Z = z₁^Z − z_c = −1, 68 − (−0,123) = 1, 144[cm]

J_yo = J_y^z + A^Z * (z₀^Z)² + J_y^C + A^C * (z₀^C)² = 2300 + 38.7 * (1,144)² + 351 + 15.5 * (−2.856)² = 2828.078[cm⁴]

J_zo = J_z^z + A^Z * (y₀^Z)² + J_yz^C + A^C * (y₀^C)² = 357 + 38.7 * (0.623)² + 41.8 + 15.5 * (−1.557)² = 451.396[cm⁴]

J_y0Z0 = J_yz^z + A^Z * z₀^Z * y₀^Z + J_yz^C + A^C * y₀^C*z₀^C = −674 + 38.7 * 1, 144 * 0, 623 + 0 + 15.5 * −1.557 * −2.856 = −577.493[cm⁴]

Główne momenty bezwładności

$$tg2\varphi = - \frac{2*J_{y0Z0}}{J_{\text{yo}} - J_{\text{zo}}} = - \frac{2* - 577,493}{2828,077 - 451.396} = 0.486$$

φ = 12.96

$$J_{1,2} = \frac{1}{2}\left( J_{y0} + J_{z0} \right) \pm \frac{1}{2}\sqrt{{(J_{y0} - J_{z0})}^{2} + 4*{J_{y0Z0}}^{2}} = = 1639.737 \pm 1321.231 = \left\{ \begin{matrix} J_{1} = 2960.968 \\ J_{2} = 318.506 \\ \end{matrix} \right.\ $$

J_yo > J_zo → J_yo = J₁

1. Dopuszczalne obciążenie

   1. Moment zginający

R_B = q * 4.5a + 1.5qa = 6qa

M_B^P = −1.5qa * 2.5a = −3.75qa²

M_B^L = −1.5qa * 2.5a − 3qa² = −6.75qa²

$$M_{1} = - 1.5qa*7a - 3\text{qa}^{2} + 6qa*4.5a - q*\frac{{(4.5a)}^{2}}{2} = 3.375\text{qa}^{2}$$

Oś obojętna

$$z = y\frac{M_{z}}{M_{y}}*\frac{J_{y}}{J_{z}} = - \tan\varphi_{0}*\frac{J_{y}}{J_{z}}*y = - \tan{12.96}*\frac{2960.968}{318.506}*y$$

z = −2.139y

1. Naprężenia normalne

   1. Dla punktu pierwszego

y₁ = 1[cm]

z₁ = 20[cm]

y_o = y₁ − y_c = 1 − (−0.123) = 1.123[cm]

z_o = z₁ − z_c = 20 − (8.856) = 11.144[cm]

y = y₀cosφ₀ + z₀sinφ₀ = 1.123*cos12.96 + 11.144 * sin12.96 = 3.594[cm]

z = −y₀sinφ₀ + z₀cosφ₀= − 1.123 * sin12.96 + 11.144*cos12.96 = 10.608[cm]

$${\sigma_{x}^{} = \frac{M_{y}}{J_{y}}*z - \frac{M_{z}}{J_{z}}*y = M}_{y0}*\left\lbrack \frac{\cos\varphi_{0}}{J_{y}}*z + \frac{\sin\varphi_{0}}{J_{z}}*y \right\rbrack = M_{y0}*6.022*10^{3}$$

Dla punktu drugiego

y₁ = 5.5[cm]

z₁ = 0[cm]

y_o = y₁ − y_c = −5.5 − (−0.123) = −5.377[cm]

z_o = z₁ − z_c = 0 − (8.856) = −8.856[cm]

y = y₀cosφ₀ + z₀sinφ₀ = −5.377*cos12.96 − 8.856 * sin12.96 = −7.226[cm]

z = −y₀sinφ₀ + z₀cosφ₀=5.377 * sin12.96 − 8.856*cos12.96 = −7.425[cm]

$${\sigma_{x}^{} = \frac{M_{y}}{J_{y}}*z - \frac{M_{z}}{J_{z}}*y = M}_{y0}*\left\lbrack \frac{\cos\varphi_{0}}{J_{y}}*z + \frac{\sin\varphi_{0}}{J_{z}}*y \right\rbrack = M_{y0}* - 7.532*10^{3}$$

σ_x = M_y0 * −7.532 * 10⁻³ = qa² * −7.532 * 10⁻³ ≤ K_g

Wyznaczanie q_dop

Największe naprężenie występuje w punkcie

$$q_{\text{dop}} = \frac{215}{1^{2}* - 7.532*10^{- 3}*6.75} = 4.229\frac{\text{kN}}{m}$$

1. Rozwiązanie ogólne metodą obciążeń wtórnych(MOW)

   1. Wykres M_yo

Belka wtórna

Schemat statyczny belki wtórnej

Obciążenie belki wtórnej

Sposób rozkładu obciążenia o zmienności parabolicznej na składowe figury proste

Przemieszczenia

$$\backslash t\backslash tN_{1}^{*} = 3.375qa^{2}*4.5a*\frac{1}{2} = \frac{243}{32}qa^{3}$$

$$N_{2}^{*} = \frac{2}{3}4.5a*\frac{q\left( 4.5a \right)^{2}}{8} = \frac{243}{32}qa^{3}$$

$$N_{3}^{*} = 6.75qa^{2}*4.5a*\frac{1}{2} = \frac{243}{16}qa^{3}$$

$$N_{4}^{*} = 3.75qa^{2}*2.5a*\frac{1}{2} = \frac{75}{16}qa^{3}$$

T_B^* = −N₁^* − N₂^* + N₃^* = 0

$$M_{A}^{*} = T_{B}^{*}*2.5a + N_{4}^{*}*\frac{2}{3}*2.5a = \frac{125}{16}qa^{4}$$

Wyznaczenie przemieszczeń i kątów obrotu

q_z = q * cosφ₀

q_y = q * sinφ₀

Przemieszczenia w płaszczyźnie xz

$$w_{A} = \frac{125}{16}\frac{q_{z}a^{4}}{EJ_{y}} = \frac{125*4.229*\cos{12.96*1^{2}}}{16*205*2960.968} = 0.005304\lbrack m\rbrack$$

$${w'}_{A} = 0\frac{q_{z}a^{3}}{EJ_{y}} = 0$$

Przemieszczenia w płaszczyźnie xy

$$v_{A} = \frac{125}{16}\frac{q_{y}a^{4}}{EJ_{z}} = \frac{125*4.229*\sin{12.96*1^{2}}}{16*205*318.506} = 0.01135\lbrack m\rbrack$$

$${v'}_{A} = 0\frac{q_{z}a^{3}}{EJ_{z}} = 0$$

1. Złożenie przemieszczeń

   1. Przemieszczenia w₀

w = w_A * cosφ₀ + v_Asinφ₀ = 7.714 * 10⁻³[m]

Kąt obrotu

w′₀ = w′_A * cosφ₀ + v′_Asinφ₀ = 0

Siły wewnętrzne

$$\sum_{}^{}M_{A} = 0$$

M_A = −R_B * 3 + 30 * 5 + 0.5 * 10 * 2.75

R_B = 54.58(3)[kN]

$$\sum_{}^{}T_{Z} = 0$$

R_A + R_B − 30 − 5 = 0

R_A = −19.58(3)[kN]

M_y^B − B = R_A * 2.5

M_y^B − B = 44.0625[kNm]

T_z^B − B = 19.583[kN]

1. Charakterystyki geometryczne

   1. Środek ciężkości

A = 5 * 8.5 + 5.6 * 19.5 + 8.6 * 2.7 * 2 = 198.14[cm²]

$$S_{y1} = 5*8.5*\frac{8.5}{2} + 19.5*5.6*11.3 + 2.7*8.6*18.4*2 = 2269.081\lbrack\text{cm}^{3}\rbrack$$

$$z_{c} = \frac{2269.081}{198.14} = 11.45\lbrack cm\rbrack$$

Moment bezwładności J_y

$$J_{y} = \frac{5*8.5^{3}}{12} + 5*8.5*{7.15}^{2} + \frac{5.6*{19.5}^{3}}{12} + 19.5*5.6*{0.15}^{2} + 2\left( \frac{8.6*{2.7}^{3}}{12} + 8.6*2.7*{6.95}^{2} \right) = 5267.31\lbrack\text{cm}^{4}\rbrack$$

Moment statyczny odciętej części przekroju i szerokości przekroju

$$\overline{S_{1}} = 0$$

$$\overline{S_{A}} = 2.7*6.02*8.24 = 267.866\lbrack\text{cm}^{3}\rbrack$$

$$\overline{S_{2}} = 2.7*6.95*8.6 = 322.758\lbrack\text{cm}^{3}\rbrack$$

$$\overline{S_{3}} = \overline{S_{2}} - 19.5*5.6*0.15 = 306.378\lbrack\text{cm}^{3}\rbrack$$

b₁ = b_A = b₂^d = 2.7 * 2 = 5.4[cm]

b₂^g = b₃^d = 19.5[cm]

1. Naprężenia

   1. Naprężenia normalne

$$\sigma_{1} = \frac{- 44.0625*11.25}{5276.31} = - 93.95\lbrack MPa\rbrack$$

$$\sigma_{A} = \frac{- 44.0625*8.24}{5276.31} = - 43.676\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack$$

$$\sigma_{4} = \frac{- 44.0625* - 11.45}{5276.31} = 95.652\lbrack MPa\rbrack$$

Naprężenia styczne

$$\tau_{1} = \frac{T_{z}*\overline{S_{1}}}{J_{y}*b_{1}} = 0$$

$$\tau_{\text{xz}}^{(2d)} = \frac{T_{z}*\overline{S_{2}}}{J_{y}*b_{2}^{d}} = \frac{19.583*322.758}{5276.31*5.4} = 2.218\lbrack MPa\rbrack$$

$$\tau_{\text{xz}}^{(A)} = \frac{T_{z}*\overline{S_{A}}}{J_{y}*b_{A}} = \frac{19.583*267.866}{5276.31*5.4} = 1.841\lbrack MPa\rbrack$$

$$\tau_{\text{xz}}^{(2g)} = \frac{T_{z}*\overline{S_{2}}}{J_{y}*b_{2}^{g}} = \frac{19.583*322.758}{5276.31*19.5} = 0.614\lbrack MPa\rbrack$$

$$\tau_{\text{xz}}^{(3d)} = \frac{T_{z}*\overline{S_{3}}}{J_{y}*b_{2}^{g}} = \frac{19.583*306.378}{5276.31*19.5} = 0.583\lbrack MPa\rbrack$$

$\tau_{\text{xz}}^{(3g)} = \frac{T_{z}*\overline{S_{3}}}{J_{y}*b_{3}^{g}} = \frac{19.583*306.378}{5276.31*5} = 2.274\lbrack MPa\rbrack$

Naprężenia zredukowane

$$\sigma = \sqrt{\sigma_{x} + 4\tau_{\text{xz}}^{2}} = 43.831\lbrack MPa\rbrack$$