1.Kiedy dwa układy wektorów są sobie równoważne -Dwa układy wektorów nazywamy równoważnymi jeżeli mają równe sumy i równe momenty ogólne względem każdego punktu 2.Definicja momenty względem punktu i względem prostej Momentem wektora a względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora o początku w punkcie O i końcu w początku wektora a przez wektor a .Moment wektora względem punktu jest równy zeru gdy wektor a=0 lub wektory rAi a są równoległe albo linia działania wektora a przechodzi przez punkt O Moment wektora względem prostej- jest to rzut na prosta momentu wektora liczonego względem dowolnego punktu tej prostej 3Twierdzenie o zmianie bieguna Zredukowanie układu sił do innego bieguna redukcji powoduje jedynie zmianę momentu głównego układu nie wywołując zmiany wektora głównego Wnioski: -Jeżeli układ ma zerową sumę to jest to układ stały -jeżeli dla trzech nie współliniowych punktów momenty są sobie równe to suma jest zerowa -parametr układu jest wielkością stałą -rzut wektora momentu na kierunek sumy jest stały - jeżeli biegun przesuwa się równolegle do kierunku sumy to moment nie ulega zmianie -wszystkie punkty leżące na prostej równoległej mają ten sam moment 4.Twierdzenie o redukcji układu wektorów Każdy układ w każdym punkcie można zredukować tzn. zastąpić układem równoważnym złożonym co najwyżej z 2,3 wektorów tj. jednego równego sumie zaczepionego w punkcie redukcji tworzących parę o momencie równym momentowi układu względem punktu redukcji 5.Redukcja do najprostszej postaci 1)S=0 Me=0, k=0 –Układ zerowy 2)S=0 Me≠0- Układ reduk się do pary wektorów o momencie Me 3)S ≠0 k=0 – Podany układ redukuje się do wypadkowej złożonej z niezerowego wektora W=S leżącej na osi o równaniu r(λ)=OO +(S xM0)/S^2 + λS 4)S ≠0 k≠0- podany układ redukuje się do skretnika złożonego z wektora sumy S leżącego na osi środkowej o równaniu r(λ) i z pary wektorów o momencie M0 19. Siły zewnętrzne- obciążenie pochodzące od innych ciał. Wzajemne oddziaływanie pomiędzy częściami ciała Siły Aby fragment bryły był w równowadze musimy zastąpić wzajemne oddziaływanie fragmentów brył przez przyłożenie w sposób ciągły do płaszczyzny a-a układu sił. Dwa układy sił A i B są równoważne gdy maja równe sumy i równe momenty liczone względem jednego punktu	7.Definicja pary, wypadkowej i skrętnika Parą wektorów nazywamy układ złożony z dwu wektorów równoległych lecz przeciwnie skierowanych i równych co do długości. Skrętnikiem nazywamy układ złożony z wektora i pary o momencie równoległym do wektora Wypadkowa-najprostszy układ zredukowany złożony z jednego wektora równego sumie zaczepionego w punkcie w którym moment równy jest zero 8 Definicja i twierdzenia o równoważności układów wektorów A .Jeżeli dwa układy mają równe sumy i równe momenty ogólne względem pewnego punktu to układy te są równoważne b .Jeżeli dwa układy maja równe momenty względem trzech punktów nie leżących na jednej prostej to układy te są równoważne c. Układ jest równoważny zeru jeżeli moment układy względem trzech punktów nie leżących na jednej prostej jest równy zeru d. Jeżeli układ złożony z trzech wektorów jest równoważny zeru to przedłużenia tych wektorów przechodzą przez jeden punkt 9.przekształcenia elementarne układu a) dodanie do układu lub usunięcie z niego kilku wektorów lezących na jednej prostej równych co do długości lecz przeciwnie skierowanych b)dodanie do układu lub usunięcie z niego kilku wektorów o wspólnym początku i o sumie równej zeru Przekształcenia elementarne nie zmieniają sumy ani momentu układu. Stosując przekształcenia elementarne otrzymamy zawsze układy z nimi równoważne Przy pomocy przekształceń elementarnych możemy : 1.punkt zaczepienia wektora przesunąć do dowolnie obranego punktu na prostej na której leży wektor 2.kilka wektorów o wspólnym początku zastąpić ich sumą o tym samym początku 3.jeden wektor zastąpić kilkoma wektorami o tym samym początku co wektor dany i o sumie równej danemu wektorowi Tw1. Wszelki układ wektorów można sprowadzić przy pomocy przekształceń elementarnych do układu z nim równoważnego złożonego z trzech wektorów. Tw2. Układ równoważny zeru można przy pomocy przekształceń elementarnych sprowadzić do wektora zerowego. Tw3. Jeżeli dwa układy wektorów są równoważne przy pomocy przekształceń elementarnych można jeden układ przeprowadzić w drugi 6.Przypadki reduk do najprostszej postaci a)Płaski S≠0, S ∈ ᴨ Mo⊥ ᴨ, S⊥M0 k=S·M=0 nie ma redukcji do skrętnika b)Równoległy S⊥M0 k=0 nie ma skrętnika , wypadkowa c)Zbieżny MA=0 S=0 (zerowy) S≠0 (wypadkowa) 17.Podać równania równowagi : Dla bryły sztywnej swobodnej δSi=δS0+δω x OAi δL=∑Fi· δSi=S δS0 +M­­­­­­o δ ω = 0 S=0 M­­­o=0 Równania równowagi dla ciała podpartego w jednym punkcie V­­­i =ω x OAi ; kV­­­i =kω x OAi; δS i= δω x OAi δL=Moδω=0 MO = 0 Równania równowagi dla ciała podpartego w dwóch punktach M­­­­­­­­­­l = 0, S(F+R)= 0 Mo(F+R)= 0	10. osią środkową nazywamy miejsce geometryczne punktów względem których wektor momentu układu jest równoległy do wektora sumy lub jest wektorem zerowym 11. stopniem swobody nazywa się możliwość wykonania ruchu ciała niezależnego od innych ruchów Ciało sztywne ma na płaszczyźnie trzy a w przestrzeni sześć stopni swobody -trzy stopnie swobody ciała sztywnego na płaszczyźnie oznaczają możliwość dwóch przesunięć niezależnych w kierunku os i x i y oraz możliwość obrotu ciała w płaszczyźnie Oxy -sześć stopni swobody ciała w przestrzeni oznaczają możliwość trzech niezależnych przesunięć w kierunku osi x y z oraz możliwość niezależnego obrotu ciała wokół tych osi 13. Ruch obrotowy Ruch bryły sztywnej nazywamy obrotowym, jeżeli istnieje jedna prosta związana z bryłą, której punkty w czasie ruchu pozostają w spoczynku. Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bryły, w czasie którego jeden z punktów z nią związanych jest nieruchomy Ruchem płaskim nazywamy taki ruch, w którym tory wszystkich punktów bryły są równoległe do pewnej płaszczyzny nazywanej płaszczyzną ruchu. 14.Aksjomat bezwładności –istnieją układy odniesienia w których jeśli na punkt materialny nie działa żadna siła to pęd punktu jest stały Aksjomat ruchu – istnieją układy odniesienia w których jęsli na punkt materialny działa siła to zmienia jego pęd Aksjomat wzajemnego działania- dwa punkty materialne działaja na siebie zawsze wzajemnie z siłami równymi ,przeciwnie skierowanymi i lezącymi na jednej prostej 15 równowaga sił –układ dwóch sił pozostaje w równowadze jeżeli siły te leża na jednej prostej maja przeciwne zwroty i takie same miary Dowolny układ sił przyłożonych do ciała stałego wywoła skutek mechaniczny, zależny na ogół od punktu przyłożenia tych sił. Jako skutek mechaniczny rozumiemy zmianę ruchu lub odkształcenia tego ciała. Cechą charakteryzującą ciało sztywne jest to, że nie może się ono odkształcać pod wpływem przyłożonych sił. Jedynym skutkiem mechanicznym sił działających na ciało sztywne może więc być tylko zmiana ruchu. 16. Zasada prac wirtualnych: Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi sil działających na układ materialny swobodny lub nie swobodny ale ów więzach idealnych jest by suma prac wirtualnych od wszystkich sil czynnych na dowolnym przesunięciu wirtualnym punktu przyłożenia tych sil była równa zero. 18.układ statycznie wyznaczalny-jeżeli wszystkie reakcje zewnętrzne i wewnętrzne można wyznaczyć z równań równowagi Układ statycznie niewyznaczalny- jeżeli liczba niewiadomych jest większą od liczby równań równowagi nazywamy takim układem Stopnień statycznej niewyznaczalności SSN, jest to liczba więzów jaką należałoby odrzucić, aby układ stał się statycznie wyznaczalny. Więzy można odrzucić tylko w taki sposób, aby powstały układ był geometrycznie niezmienny. Układ geometrycznie zmienny-układ dla którego równania równowagi stanowią sprzeczny układ równań algebraicznych