CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Zakładamy, że funkcja f(x) jest określona w otoczeniu punktu x₀

Mówimy, że funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀, jeżeli

Zatem funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x₀ jeżeli:
1) ma w punkcie x₀ granicę równą g
2) posiada w punkcie x₀ wartość f(x₀)
3) granica g równa jest wartości funkcji f(x₀)

Sprawdzimy, czy funkcja jest ciągła w punkcie x₀=1

W tym celu obliczamy granicę lewostronną i prawostronną:

a następnie lewostronną:

Ponieważ w punkcie x₀=1 granice prawostronna i lewostronna nie są sobie równe, to nie istnieje granica w tym punkcie, a funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.

Warto jeszcze przyjrzeć się wykresowi tej funkcji, aby móc sobie wyobrazić na czym polega ciągłość lub brak ciągłości funkcji w punkcie.

Zauważ, że w każdym innym punkcie funkcja ta jest ciągła

Jeżeli w danym punkcie funkcja posiada granicę tylko jednostronną, to mówimy o ciągłości jednostronnej (prawostronnej lub lewostronnej).

Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale otwartym (a,b), wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b>, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale (a,b) oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie x₀=a i lewostronnie ciągła w punkcie x₀=b.

Twierdzenie o ciągłości funkcji elementarnych
Wszystkie funkcje elementarne(wielomiany, funkcje wymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne) są ciągłe w swoich dziedzinach

Poniższa ilustracja pokazuje dwie różne funkcje. Jedna z nich jest ciągła, druga nie:

GRANICA FUNKCJI - WZORY PODSTAWOWE

Przy obliczaniu granic w praktyce posługujemy się podstawowymi równościami, które zostały wymienione niżej:

Stosujemy także kilka wzorów rachunku granic. Oto one:

Jeżeli funkcja f(x) oraz g(x) mają w punkcie x₀ granice

to:

Dodatkowo na podstawie powyższych zależności można wywnioskować, że:

Oto kilka przykładów obliczania granic funkcji w punkcie z wykorzystaniem powyższych twierdzeń i wzorów:

SĄSIEDZTWO PUNKTU

Sąsiedztwem punktu x₀ o promieniu r nazywamy zbiór:

Sąsiedztwo punktu będziemy oznaczać następująco: S(x₀,r)

Poniższy rysunek ilustruje pojęcie sąsiedztwa punktu. Jest to zbiór zaznaczony kolorem niebieskim.

Warto zauważyć podobieństwo między sąsiedztwem punktu a otoczeniem punktu. Do sąsiedztwa punktu x₀ należą wszystkie punkty otoczenia tego punktu za wyjątkiem punktu x₀