Zadanie 1
Oblicz cenę rynkową obligacji 4-letniej o wartości nominalnej 5 000 zł i oprocentowaniu 8%, jeżeli kupony płatne są co rok, a YTM wynosi 10%.
K = 400
P = 4 683, 013
Zadanie 3: Obliczyć zrealizowana stopę zwrotu z inwestycji w obligacje jeśli odsetki są reinwestowane przy stopie równej 8%.
| 400 | 400 | 400 | 400+5000 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 8% | 8% | 8% | |||
FV = PV(1+r)n
400 × (1, 08)3 = 503, 88
400 × (1, 08)2 = 466, 56
400 × (1, 08)1 = 432, 00
400 × (1, 08)0 = 400, 00
∖ t5000, 00
Razem 6802,44
$$\text{RCY} = \sqrt[4]{\frac{6802,44}{4683,013}} - 1 = 0,0978 \rightarrow 9,78\%$$
Zadanie 4: Obliczyć zrealizowana stopę zwrotu z inwestycji w obligacje jeśli odsetki są reinwestowane przy stopie równej 12%.
FV = PV(1+r)n
400 × (1, 12)3 = 561, 97
400 × (1, 12)2 = 501, 76
400 × (1, 12)1 = 448, 00
400 × (1, 12)0 = 400, 00
∖ t5000, 00
Razem 6911,73
$$\text{RCY} = \sqrt[4]{\frac{6911,73}{4683,013}} - 1 = 0,1022 \rightarrow 10,22\%$$
Ryzyko – sprzedaż przed terminem
| 400 | 400 | 400 | P | 400+5000 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 10% | 10% | 10% | ||||
| FVn |
P – moment sprzedaży
Zadanie 5: Obliczyć zrealizowana stopę zwrotu z inwestycji w obligacje jeśli odsetki są reinwestowane przy stopie równej 10%, a sprzedaż następuje rok przed terminem.
K = 400
$$Ps = \frac{400}{(1 + 0,1)^{1}} + \frac{5000}{(1 + 0,1)^{1}} = 363,636 + 4545,455 = 4909,09$$
400 × (1, 1)2 = 484, 00
400 × (1, 1)1 = 440, 00
400 × (1, 1)0 = 400, 00
∖ t4909, 09
Razem 6233,09
$$\text{RCY} = \sqrt[3]{\frac{6233,09}{4683,013}} - 1 = 0,1 \rightarrow 10\%$$
Zadanie 6: Obliczyć zrealizowana stopę zwrotu z inwestycji w obligacje jeśli odsetki są reinwestowane przy stopie równej 8%, a sprzedaż następuje rok przed terminem.
K = 400
$$Ps = \frac{400}{(1 + 0,08)^{1}} + \frac{5000}{(1 + 0,08)^{1}} = 370,37 + 4629,63 = 5000$$
400 × (1, 08)2 = 466, 56
400 × (1, 08)1 = 432, 00
400 × (1, 08)0 = 400, 00
∖ t5000, 00
Razem 6298,56
$$\text{RCY} = \sqrt[3]{\frac{6298,56}{4683,013}} - 1 = 0,1038 \rightarrow 10,38\%$$
Zadanie 7: Obliczyć zrealizowana stopę zwrotu z inwestycji w obligacje jeśli odsetki są reinwestowane przy stopie równej 12%, a sprzedaż następuje rok przed terminem.
K = 400
$$Ps = \frac{400}{(1 + 0,12)^{1}} + \frac{5000}{(1 + 0,12)^{1}} = 357,143 + 4464,286 = 4821,43$$
400 × (1, 12)2 = 501, 76
400 × (1, 12)1 = 448, 00
400 × (1, 12)0 = 400, 00
∖ t4821, 43, 00
Razem 6171,19
$$\text{RCY} = \sqrt[3]{\frac{6171,19}{4683,013}} - 1 = 0,0963 \rightarrow 9,63\%$$
Ogólny wzór na zrealizowaną stopę dochodu z obligacji
$$RCY = \left( \frac{K\left( 1 + r_{2} \right)\left( 1 + r_{3} \right)\ldots\left( 1 + r_{n} \right) + K\left( 1 + r_{3} \right)\left( 1 + r_{4} \right)\ldots\left( 1 + r_{n} \right) + K\left( 1 + r_{n} \right) + K + P_{n}}{P} \right)^{\frac{1}{n}} - 1$$
P – cena zakupu obligacji
Pn – cena sprzedaży obligacji po n-latach
rt – stopa reinwestycji w t-tym roku posiadania obligacji
Zadanie 8: Obliczyć zrealizowana stopę zwrotu z inwestycji w obligacje 5-letnią o wartości nominalnej 5 000 zł i oprocentowaniu 12%, jeśli odsetki są reinwestowane przy stopie równej 8% po pierwszym roku i 9% po drugim roku a sprzedaż następuje 2 lata przed terminem wykupu. Cena zakupu obligacji wynosi 5379.08.
| 600 | 600 | P | 600 | 600+5000 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 8% | 9% | |||||
| FVn |
K = 600
$$Ps = \frac{600}{(1 + 0,09)^{1}} + \frac{600}{(1 + 0,09)^{2}} + \frac{5000}{(1 + 0,09)^{2}} = 550,46 + 505,011 + 4208,40 = 5263,87$$
600 × (1, 08)1 × (1, 09)1 = 706, 32
600 × (1, 09)1 = 654, 00
600 × (1, 09)0 = 600, 00
∖ t5263, 87
Razem 7224,19
$$\text{RCY} = \sqrt[3]{\frac{7224,19}{5379,08}} - 1 = 0,1033 \rightarrow 10,33\%$$
DURATION – średni termin wykupu i czas trwania obligacji.
Jest to średni wazony termin zapłaty całego strumienia płatności, gdzie termin każdego uiszczenia jest ważony przez iloraz płatności i całkowitej wartości obligacji.
Punkt w którym następuje zróżnicowanie wartości.
Duration a termin wykupu obligacji
Termin wykupu informuje nas jedynie o ostatniej zapłacie w całym strumieniu płatności, nie zwracając uwagi na płatności dokonywane do tego terminu.
W związku z tym obligacja 10-letnia z kuponami płaconymi co pół roku będzie miała taki sam termin wykupu co obligacja 10-letnia zero kuponowa.
Średni termin wykupu lepiej pokazuje czas niezbędny do odzyskania środków, które zainwestowano w obligacje.
Obligacja z kuponami płaconymi co pół roku będzie miała krótszy średni termin wykupu niż obligacja zero kuponowa.
Wskaźnik ten służy do szacowania ryzyka zmiany ceny (stopy procentowej). Pozwala porównać obligacje o różnych terminach wykupu i różnym oprocentowaniu.
Im niższe oprocentowanie tym większe ryzyko zmiany ceny obligacji. Im dłuższy okres do terminu wykupu tym większe ryzyko zmiany ceny.
Duration zależy od:
Oprocentowania obligacji (im wyższe oprocentowanie tym krótszy czas trwania)
Czasu do terminu wykupu (im czas ten dłuższy tym dłuższy czas trwania)
Stopy dochodu w okresie do wykupu (im wyższe YTM tym krótszy czas trwania)
Ograniczenia wykorzystania duration:
Odnosi się jedynie do ryzyka związanego ze zmianami rynkowych stóp procentowych, pomijając ryzyko niedotrzymania warunków emisji (brak płatności kuponowych, ryzyko wcześniejszego wykupu, możliwość konwersji na akcje)
Możliwe jest szacowanie zmian stóp zwrotu jeśli przejdziemy z jednej struktury płaskiej stóp procentowych na inną (wyższą lub niższą) strukturę stóp procentowych.
Stopa zwrotu w terminie do wykupu w przypadku krótkiego czasu trwania jest bardziej zmienna niż w przypadku dłuższego czasu trwania
Trudno wyznaczyć czas trwania dla innych papierów wartościowych (akcji) więc jeszcze trudniej będzie dla portfeli mieszanych.
Duration
$$D = \frac{\sum_{t = 1}^{n}\frac{t \times Kc}{{(1 + YTM)}^{t}}}{P}$$
D – średni termin wykupu obligacji
$$D = \frac{\frac{1K}{{(1 + YTM)}^{1}} + \frac{2K}{{(1 + YTM)}^{2}} + \ldots + \frac{n(K + Wn)}{{(1 + YTM)}^{n}}}{P}$$
Zadanie 9: Oblicz średni termin wykupu obligacji 4-letniej o wartości 5 000 zł i oprocentowaniu 8% jeśli YTM wynosi 10%.
K = 400
P = 4 683, 013
$$D = \frac{\frac{1 \times 400}{{(1 + 0,1)}^{1}} + \frac{2 \times 400}{{(1 + 0,1)}^{2}} + \frac{3 \times 400}{{(1 + 0,1)}^{3}} + \frac{4(400 + 5000)}{{(1 + 0,1)}^{4}}}{4683,013} = \frac{363,636 + 661,157 + 901,578 + 14753,091}{4683,013} = 3,562$$