TEORIA PORTFELA – PORTFEL DWÓCH SPÓŁEK

Oczekiwana stopa zwrotu portfela 2 - składnikowego

Rp = w₁R₁ + w₂R₂

w₁ – udział pierwszej akcji w portfelu

R₁ – oczekiwana stopa zwrotu pierwszej akcji

w₂ – udział drugiej akcji w portfelu

R₂ – oczekiwana stopa zwrotu drugiej akcji

Zadanie 18

Obliczy oczekiwaną stopę zwrotu portfela składającego się w 30% z akcji spółki C i w 70% akcji spółki D . Oczekiwana stopa zwrotu dla spółki C wynosi 20,01%, a dla spółki D 6,80%.

Rp = 0, 3 × 0, 2001 + 0, 7 × 0.068 = 0, 10763  → 10, 76 %

Ryzyko portfela akcji dwóch spółek (wzór będzie podany na teście)

S_p² = w₁²s₁² + w₂²s₂² + 2w₁s₁w₂s₂σ₁₂

s₁ – odchylenie standardowe pierwszej akcji

s₂ – odchylenie standardowe drugiej akcji

σ₁₂ – korelacja stóp zwrotu pierwszej i drugiej akcji

Współczynnik korelacji określa siłę i kierunek powiązań stóp zwrotu dwóch akcji

Własności współczynnika korelacji

• przyjmujemy wartość z przedziału <-1;1> - im bliżej jedności tym powiązanie będzie silniejsze,

• wartość bezwzględna określa siłę powiązania (stóp zwrotu akcji)

• znak współczynnika określa kierunek powiązania (stop zwrotu akcji)

Współczynnik korelacji pomiędzy akcjami C i D wynosi:

σ₁₂ = 0, 4559 ∖tS_c = 0, 721

S_D = 0, 2955

Zadanie 19

Obliczyć ryzyko portfela składającego się w 30% z akcji spółki C i w 70% z akcji spółki D.

S_p² = 0, 3²×0, 721² + 0, 7²×0, 2955² + 2 × 0, 3 × 0, 721 × 0, 7 × 0, 2955 × 0, 4559 = 0, 147 + 0, 043 + 0, 041 = 0, 131

$$\mathbf{S}\mathbf{p =}\sqrt{\mathbf{0,131}}\mathbf{= 0,}\mathbf{3619 \rightarrow 36.19\%}$$

Portfele dwuskładnikowe przypadki szczególne

σ₁₂ = 1

Jeżeli za σ₁₂ podstawimy 1 to nie ma tej wartości we wzorze i otrzymujemy:

Sp = w₁s₁w₂s₂

Zadanie 20a

Oblicz ryzyko portfela składającego się w 50% z akcji spółki C i w 50% z akcji spółki D, a współczynnik korelacji wynosi 1.

Sp =  0, 5 × 0, 721 + 0, 5 × 0, 2955 = 0, 50825 → 50, 825%

σ₁₂ = 0

$$Sp = \sqrt{w_{1}^{2}s_{1}^{2} + w_{2}^{2}s_{2}^{2}}$$

Zadanie 20b

Oblicz ryzyko portfela składającego się w 50% z akcji spółki C i w 50% z akcji spółki D, a współczynnik korelacji wynosi 0.

$$Sp = \sqrt{{0,5}^{2} \times {0,721}^{2} + {0,5}^{2} \times {0,2955}^{2}} = \sqrt{0,25 \times 0,52 + 0,25 \times 0.087} = \sqrt{0,1518} = 0,3896 \rightarrow 38,96\%$$

σ₁₂ = −1

Sp = |w₁s₁−w₂s₂|

Zadanie 20c

Oblicz ryzyko portfela składającego się w 50% z akcji spółki C i w 50% z akcji spółki D, a współczynnik korelacji wynosi -1.

Sp =  |0,5×0,721−0,5×0,2955| = |0,3605−0,1478| = 0, 2127 → 21, 27%

Portfel o zerowym ryzyku tylko gdy σ = -1

$w_{1} = \frac{s_{2}}{{s_{1} + s}_{2}}$ $w_{2} = \frac{s_{1}}{{s_{1} + s}_{2}}$

Zadanie 21

Obliczyć udziały w akcji w portfelu dwuskładnikowym, jeśli współczynnik korelacji wynosi -1, tak by stworzyć portfel o zerowym ryzyku.

$w_{1} = \frac{0,2955}{0,721 + 0,2955}\backslash t = 0,2907 \rightarrow 29,07\%$ $w_{2} = \ \frac{0,721}{0,721 + 0,2955} = 0,7093 \rightarrow 70,92\%$

Krótka sprzedaż portfela dwuskładnikowego przypadki szczególne

σ₁₂ = 1

Sp = |w₁s₁+w₂s₂|

w₁ ; W₂ – mogą być wartościami ujemnymi

Portfel o zerowym ryzyku

$w_{1} = \frac{s_{2}}{{s_{2} - s}_{1}}$ $w_{2} = \frac{{- s}_{1}}{{s_{2} - s}_{1}}$

Zadanie 22

Obliczyć udziały akcji w portfelu dwuskładnikowym jeśli współczynnik korelacji wynosi 1 tak, by stworzyć portfel o zerowym ryzyku, (możliwa krótka sprzedaż)

$w_{1} = \frac{0,2955}{0,2955 - 0,721} = \ - 0,6945$ $w_{2} = \ \frac{0,721}{0,2955 - 0,721} = \ 1,6945$

σ₁₂ = 0

σ₁₂ = −1

Portfel o minimalnym ryzyku dla dowolnego współczynnika korelacji (wzór będzie podany na teście)

$w_{1} = \frac{s_{2}^{2} - s_{1}{\times s}_{2} \times \delta_{12}}{s_{1}^{2} + s_{2}^{2} - 2{\times s}_{1} \times s_{2}{\times \delta}_{12}}$ $w_{2} = \frac{s_{1}^{2} - s_{1} \times s_{2}{\times \delta}_{12}}{s_{1}^{2} + s_{2}^{2} - 2 \times s_{1}{\times s}_{2}{\times \delta}_{12}}$

Zadanie 23

Obliczyć udziały akcji w portfelu dwuskładnikowym jeśli współczynnik korelacji wynosi 0,4559 tak by stworzyć portfel o minimalnym poziomie ryzyka

$$w_{1} = \frac{{0,2955}^{2} - 0,721 \times 0,2955 \times 0,4559}{{0,721}^{2} + {0,2955}^{2} - 2 \times 0,721 \times 0,2955 \times 0,4559} = \frac{0,0873 - 0,0971}{0,5198 + 0,0873 - 0,1943} = - 0,0237$$

w₂ = 1, 0237

Do testu

1. 3 zagadnienia z zakresu teorii

   • 2 wykresy (1 składnikowe; 2 składnikowe) – które z portfeli są nieefektywne

   • teoria np.: rodzaje ryzyka, podział ryzyka itp.

2. Zadania: około 9

• zrealizowana stopa dochodu z obligacją którą trzymamy do terminu wykupu

• zrealizowana stopa dochodu z obligacją którą sprzedajemy przed terminem wykupu

• średni termin wykupu obligacji

• wypukłość obligacji – wzór podany

• ile zmieni się cena obligacji jeśli YTM wzrośnie lub zmaleje o np.: 2 punkty %; za pomocą średniego terminu wykupu lub zmodyfikowane uwzględniając wypukłość obligacji

• cena akcji – (stała dywidenda, lub stały wzrost dywidendy

• oczekiwana stopa wzrostu portfela wieloskładnikowego

• odchylenie standardowe w portfelu dwuskładnikowym (wzór będzie podany ale na WARIANCJĘ)

• obliczyć udziały akcji w portfelu dwuskładnikowym aby powstał portfel o minimalnym ryzyku (wzór będzie podany)