Z codziennego doświadczenia znamy liczne zjawiska, będące przykładami ruchu falowego (fale na wodzie, fale dźwiękowe, fale elektromagnetyczne np. świetlne, radiowe, mikrofale). Ze zjawiskami falowymi spotykamy się również w mikroświecie.
Na dzisiejszym wykładzie zajmiemy się opisem zjawisk falowych, przy czym skoncentrujemy się przede wszystkim na falach mechanicznych, czyli falach powstających w sprężystych ośrodkach materialnych. Fala mechaniczna powstaje na skutek wychylenia fragmentu ośrodka sprężystego z położenia równowagi, co następnie powoduje drgania fragmentu wokół tego położenia (na skutek działania międzycząsteczkowych sił sprężystości). Drgający fragment będzie z kolei oddziaływał na sąsiadujące fragmenty, pobudzając je do takich samych drgań. W ten sposób zaburzenie, lub inaczej mówiąc fala, będzie przemieszczało się w ośrodku. Należy podkreślić, że sam ośrodek nie przemieszcza się wraz z falą – jego fragmenty wykonują drgania wokół swoich położeń równowagi, nie przemieszczając się na odległości większe niż amplituda drgań. Mamy więc tu do czynienia z transportem energii w ośrodku materialnym, nie zaś z transportem samej materii. Tak więc na przykład wiatr nie jest falą, ponieważ przenosi energię dzięki przesuwaniu się mas powietrza.
Właściwościami ośrodka decydującymi o rozchodzeniu się w nim fal są jego bezwładność i sprężystość. Sprężystość jest czynnikiem, który powoduje pojawienie się sił przywracających, gdy jakaś część ośrodka zostanie wychylona z położenia równowagi, natomiast bezwładność decyduje o tym jak będzie zachowywała się wychylona część ośrodka pod działaniem tych sił. Oba te czynniki łącznie określają prędkość rozchodzenia się zaburzenia (fali) w ośrodku.
Jak powiedzieliśmy, do rozchodzenia się fal mechanicznych niezbędny jest ośrodek materialny. Inaczej jest w przypadku fal elektromagnetycznych np. światła, które mogą rozchodzić się także w próżni (np. przestrzeni międzygwiezdnej) – w tym przypadku przemieszczające się zaburzenie nie jest związane z ruchem materii, lecz ze zmianami natężenia pola elektromagnetycznego
W rozważaniach nad ruchem falowym będziemy posługiwać się następującymi pojęciami podstawowymi:
promień fali – kierunek rozchodzenia się zaburzenia,
powierzchnia falowa – zbiór punktów mających taką samą fazę,
czoło fali – powierzchnia falowa najbardziej odległa od źródła.
Podziału fal można dokonać ze względu na różne kryteria:
Ze względu na kąt pomiędzy promieniem fali a kierunkiem drgań cząstek ośrodka wyróżniamy: fale poprzeczne – gdy kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali, np. fale rozchodzące się w strunach instrumentów muzycznych (do fal poprzecznych zaliczamy również fale e-m, ze względu na to, że kierunki wektorów natężenia pola elektrycznego i magnetycznego są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali) fale podłużne - jeśli cząstki ośrodka poruszają się równolegle do kierunku rozchodzenia się fali, np. fale dźwiękowe. inne – np. w falach na powierzchni wody cząsteczki wody zakreślają tory eliptyczne
Ze względu na liczbę wymiarów przestrzeni, w której rozchodzi się fala wyróżniamy: fale jednowymiarowe – np. fale biegnące wzdłuż napiętej liny, gumy lub sprężyny fale dwuwymiarowe – np. fale na powierzchni wody fale trójwymiarowe – np. dźwiękowe, świetlne – rozchodzą się we wszystkich kierunkach
Ze względu na zachowanie się cząstek ośrodka w czasie rozchodzenia się fali wyróżniamy: impuls falowy – fala wywołana przez pojedyncze drgnięcie ciąg falowy – wywołany przez wiele drgań następujących jedno po drugim. Jeśli przyczyna wywołująca zaburzenie działa w sposób periodyczny otrzymujemy periodyczny ciąg falowy, wówczas każda cząstka ośrodka porusza się w sposób periodyczny. Najprostszym przykładem periodycznego ciągu falowego jest fala harmoniczna.
Ze względu na kształt powierzchni falowej wyróżniamy fale: płaskie, kuliste, eliptyczne, walcowe i inne.
Własności sprężyste ośrodków materialnych zależą przede wszystkim od siły wzajemnego oddziaływania cząstek ośrodka oraz od charakteru ich ruchu cieplnego. Np. gazy nie mają sprężystości postaci tzn. swobodnie zmieniają swój kształt, zgodnie z kształtem zbiornika, natomiast wykazują sprężystość objętości tzn. stawiają opór przy zmianie objętości. W związku z tym w gazach mogą rozchodzić się jedynie fale podłużne, mające charakter zmian ciśnienia. Sprężystość krystalicznego ciała stałego związana jest natomiast z dużymi siłami wzajemnego oddziaływania cząstek tworzących to ciało. Siły te przeciwstawiają się zarówno zmianom objętości ciała stałego, jak i jego kształtu. Mówimy więc, że ciała stałe charakteryzują się sprężystością objętości, jak również sprężystością postaci, polegającą na przeciwstawianiu się odkształceniom ścinania. W związku z tym w ciałach stałych mogą rozchodzić się zarówno fale podłużne jak i poprzeczne.
Po swobodnej powierzchni cieczy rozchodzą się fale, które na pierwszy rzut oka sprawiają wrażenie poprzecznych. W rzeczywistości zaburzenie to nie polega jednak na poprzecznych drganiach cząstek znajdujących się na powierzchni cieczy, lecz biorą w nim udział również cząstki pochodzące z głębszych warstw cieczy. Okazuje się, że cząstki cieczy wykonują jednocześnie drgania poprzeczne i podłużne, zakreślając tory kołowe (na głębokiej wodzie), eliptyczne (na płytkiej wodzie), lub bardziej złożone. Przebieg tego powszechnie znanego zjawiska jest więc dość skomplikowany. Decydującą rolę odgrywają w nim siła grawitacji oraz siły napięcia powierzchniowego cieczy.
Falę mechaniczną nazywamy falą harmoniczną, lub sinusoidalną jeśli odpowiadające jej drgania cząsteczek ośrodka są drganiami harmonicznymi. Przeanalizujemy teraz mechanizm powstawania fali harmonicznej w ośrodku jednowymiarowym.
Rozważmy ośrodek jednowymiarowy (np. napięty sznur) rozciągnięty w przestrzeni w kierunku osi x. Przypuśćmy, że w chwili t = 0 element ośrodka leżący w początku układu współrzędnych wprawiony zostaje w ruch harmoniczny w kierunku osi OY według równania , gdzie y jest przemieszczeniem poprzecznym z położenia równowagi. Drgania źródła przekazywane są sąsiednim cząsteczkom ośrodka, w wyniku czego dla t>0 w ośrodku zaczyna rozchodzić się fala harmoniczna. Po upływie czasu t0 zaburzenie dociera do punktu B znajdującego się w odległości x na prawo od początku układu. Jeśli ośrodek jest jednorodny, zaburzenie rozchodzi się w nim ze stałą prędkością v , a więc zaś . Dla ośrodków rzeczywistych amplituda drgań cząstek ośrodka maleje w miarę wzrostu odległości od źródła na skutek tłumienia, jednak w dalszym ciągu rozważań będziemy zajmować się ośrodkiem doskonale sprężystym, w którym tłumienie jest zaniedbywalnie małe. W takim wypadku wychylenie punktu B z położenia równowagi opisywane jest równaniem:
(1)
W równaniu (1), ω - jest częstością kołową drgań cząstek ośrodka, okres tych drgań wynosi , zaś argument funkcji sinus nazywamy fazą drgań. Określa ona wielkość wychylenia cząstek ośrodka z położenia równowagi w dowolnej chwili czasu t. (rysunek – pokazać czoło fali, powierzchnie falowe).
A więc równanie fali harmonicznej rozchodzącej się w dodatnim kierunku osi OX w ośrodku nie tłumiącym ma postać:
. (2a)
zaś równanie fali harmonicznej rozchodzącej się w kierunku przeciwnym będzie następujące:
(2b)
W równaniu (2a) pojawiła się nowa wielkość charakteryzująca falę harmoniczną zwana liczbą falową
(3)
wielkość λ=vΤ nazywamy długością fali – jest to odległość którą przebywa zaburzenie w ośrodku w czasie jednego okresu. Długość fali jest również najmniejszą odległością pomiędzy punktami ośrodka o takiej samej fazie drgań.
Dowód: Funkcja sinus jest funkcją periodyczną z okresem 2π, zatem w ustalonej chwili czasu t ma tę samą wartość w punktach ośrodka których faza różni się o całkowitą wielokrotność 2π (powierzchnie o zgodnych fazach, powierzchnie falowe). Obliczmy odległość pomiędzy dwiema powierzchniami falowymi:
,
(warunek zgodności faz)
Pokazaliśmy w ten sposób, że w dowolnej chwili czasu powierzchnie falowe znajdują się w odległościach będących całkowitą wielokrotnością długości fali, zatem minimalna odległość pomiędzy powierzchniami falowymi wynosi λ.
Zauważmy, że prędkość jest powierzchnią przemieszczania się powierzchni o tej samej fazie (powierzchni falowych), dlatego nazywana jest prędkością fazową. Prędkość fazowa fali w danym ośrodku jest ściśle związana z jego sprężystością.
Przykład: Fale podłużne w długim, cienkim pręcie metalowym
Rozchodzenie się tego rodzaju fal polega na wzdłużnym ściskaniu i rozciąganiu pręta, prędkość fazowa takich fal wynosi , gdzie E jest modułem Younga a ρ gęstością materiału, z którego zrobiony jest pręt. Moduł Younga jest równy takiemu naprężeniu normalnemu σ, przy którym długość pręta uległaby podwojeniu . Jednostką modułu Younga jest paskal (1Pa=1N/m2).
Fale biegnące przenoszą energię w przestrzeni. Natężenie fali I jest równe mocy przenoszonej przez falę przez jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. Natężenie biegnącej fali harmonicznej jest proporcjonalne do kwadratu jej amplitudy. Jeśli fala kulista rozchodzi się w ośrodku bez absorpcji (nie pochłaniającym), to przez dowolną powierzchnię kulistą o promieniu r wokół źródła przekazywana jest w jednostce czasu taka sama ilość energii, równa energii emitowanej w tym czasie przez źródło fali : . Widzimy więc, że w miarę oddalania się od źródła natężenie oraz amplituda fali kulistej maleje: , (gdzie i0 i a0 są równe co do wartości odpowiednio natężeniu i amplitudzie fali w odległości jednostkowej od źródła). Podobnie można pokazać, ze w przypadku fali harmonicznej płaskiej rozchodzącej się w ośrodku bez absorpcji amplituda i natężenie fali są stałe.
Biegnąca fala harmoniczna nie przenosi żadnego sygnału. Nie można za jej pomocą przesłać żadnej informacji poza samym faktem, że fala została wysłana i dotarła do określonego punktu. Aby za pomocą fali przesyłać informacje należy ją zmodulować tzn. zmodyfikować jej amplitudę lub częstość. W fali modulowanej częstość zależy od długości fali, a więc i od liczby falowej . Prędkość z jaką rozchodzi się modulacja (czyli prędkość przekazywania sygnału, a więc informacji) nosi nazwę prędkości grupowej i jest zdefiniowana następująco: . Dyspersją fal nazywamy zależność prędkości fazowej fal harmonicznych w ośrodku od ich częstości. W ośrodkach bez dyspersji fale o różnych częstościach rozchodzą się z taką samą prędkością fazową równą prędkości grupowej. Większość ośrodków jest jednak ośrodkami dyspersyjnymi. W takich ośrodkach fale o różnych częstościach mają różne prędkości fazowe, a więc dowolny sygnał, który można przedstawić jako grupę składowych fal harmonicznych, w miarę rozchodzenia się ulega rozmyciu. W większości ośrodków dyspersyjnych prędkość grupowa jest mniejsza od prędkości fazowej.
W ośrodkach liniowych fale przebiegają ten sam obszar przestrzeni niezależnie od siebie, a więc podczas jednoczesnego rozchodzenia się kilku fal w ośrodku wypadkowe zaburzenie w dowolnym punkcie tego ośrodka jest sumą zaburzeń, jakie wywołałyby poszczególne fale. Proces wektorowego dodawania zaburzeń nazywamy superpozycją (lub nakładaniem się) fal. Zasada superpozycji jest spełniona przypadkach, gdy nie zostaje przekroczona granica sprężystości ośrodka, a więc gdy siła przywracająca cząstki ośrodka do położenia równowagi jest proporcjonalna do odkształcenia (jest harmoniczna). Przestaje obowiązywać w przypadkach bardzo silnych zaburzeń takich jak np. fale uderzeniowe (są to podłużne fale mechaniczne powstające podczas eksplozji), tsunami itp.
Dwie fale nazywamy spójnymi (koherentnymi) jeśli różnica ich faz nie zależy od czasu. Spójnym falom odpowiadają spójne drgania cząstek ośrodka. A więc fale harmoniczne o jednakowych częstościach są zawsze spójne.
Rozważmy nakładanie się 2 kulistych fal harmonicznych wzbudzonych przez źródła punktowe Z1 i Z2 (rysunek).
W wyniku nałożenia się tych dwóch fal powstaje zaburzenie wypadkowe
, gdzie
(bo wartość średnia funkcji cos w czasie 1 okresu jest równa 0)
A więc podczas nakładania się fal niespójnych dodają się kwadraty ich amplitud (natężenia)
Widzimy, ze w wyniku nakładania się dwóch harmonicznych fal spójnych otrzymujemy falę harmoniczną o tej samej częstości, co fale składowe. Amplituda fali wypadkowej nie zależy od czasu, natomiast jest różna w różnych punktach przestrzeni. Zjawisko takie nazywamy interferencją fal. Ponieważ różnica faz początkowych obu fal składowych jest stała , więc wynik interferencji dwóch fal w różnych punktach przestrzeni będzie zależał jedynie od różnicy dróg przebytych przez obie fale .
Amplituda drgań wypadkowych jest maksymalna i wynosi w punktach spełniających warunek , są to tzw. maksima interferencyjne, natomiast w punktach spełniających warunek występują minima interferencyjne, w których amplituda fali wypadkowej jest minimalna i wynosi .
Po skorzystaniu z tożsamości trygonometrycznej otrzymujemy
Jak widać amplituda drgań wypadkowych jest okresową funkcją współrzędnej przestrzennej x, a więc jest różna w różnych punktach ośrodka. Fala nie przemieszcza się w przestrzeni, dlatego nazywamy ja falą stojącą. Punkty ośrodka, których amplituda drgań jest maksymalna i wynosi 2A nazywamy strzałkami fali stojącej, natomiast punkty pozostające w spoczynku nazywamy węzłami fali stojącej. Odległości pomiędzy dwoma sąsiednimi węzłami oraz dwoma sąsiednimi strzałkami są jednakowe i wynoszą λ/2, gdzie λ jest długością fali biegnącej.
Rozważmy teraz falę stającą otrzymaną podczas superpozycji fali padającej i odbitej. Wprowadźmy układ współrzędnych, taki ze x określa odległość od punktu odbicia fali.
Możliwe są 2 przypadki:
Punkt odbicia jest nieruchomy (np. przy odbiciu od sztywnej powierzchni), wówczas powstanie tam węzeł fali stojącej, a więc
Punkt odbicia może poruszać się swobodnie, wówczas wytworzy się tam strzałka gali stojącej, czyli
Z powyższych rozważań wynikają następujące wnioski:
Podczas odbicia od ośrodka bardziej sztywnego następuje zmiana fazy drgań na przeciwną, natomiast przy odbiciu od ośrodka mniej sztywnego zmiana fazy nie występuje.
Przykłady: Fale stojące wytwarzane w instrumentach muzycznych (struna, piszczałka otwarta, piszczałka zamknięta) interferometr Quinckiego, rura Quinckiego
Zjawisko Dopplera jest efektem charakterystycznym dla wszystkich rodzajów fal. Polega ono na tym, że obserwator odbiera falę o innej częstotliwości niż fala emitowana przez źródło, jeżeli obserwator i źródło fali poruszają się względem siebie.
Falami dźwiękowymi (akustycznymi) nazywamy fale podłużne o małym natężeniu rozchodzące się w ośrodkach sprężystych, np. słyszymy mowę lub dźwięki instrumentów dzięki dochodzącym do naszych uszu zmianom ciśnienia powietrza wywołanym przez źródła dźwięku.
Fale dźwiękowe ze względu na ich częstotliwość można podzielić na następujące zakresy
f<20 Hz – infradźwięki są to fale generowane przez źródła o bardzo dużych rozmiarach, np. powstające podczas trzęsień ziemi
20<f<20000 Hz – dźwięki słyszalne
f>20 kHz – ultradźwięki np. wytwarzane w zjawisku piezoelektrycznym
Wrażliwość ucha ludzkiego na dźwięki jest bardzo zróżnicowana. Rysunek przedstawia zakres częstotliwości i natężeń dźwięku odbieranych przez ucho ludzkie (obszar słyszalności). Jak widać, minimalne rejestrowane natężenie dźwięku (dolny próg słyszalności) waha się od 10-6 W/m2 dla Hz do 10-12 W/m2 dla 1 kHz. Górny próg słyszalności zwany progiem bólu zmienia się w granicach od 10-6 W/m2 dla Hz do 1 W/m2 dla 1 kHz. Widzimy, że ucho ludzkie jest najbardziej czułe na dźwięki o częstotliwości ok. 1 kHz (rozpiętość czułości od 10-12 W/m2 do 1 W/m2 - 13 rzędów wielkości !). Duży zakres odbieranych przez ucho natężeń dźwięku sprawia, że dla wygody tradycyjnie wyraża się je w skali logarytmicznej przyjmując jako natężenie odniesienia dolny próg słyszalności dla 1 kHz (W/m2 ) Nową wielkość, zwaną poziomem natężenia dźwięku definiuje równanie: [dB]. Zmiana poziomu natężenia dźwięku o 1 dB jest najmniejszą zmianą uchwytną przez ucho ludzkie. Ponieważ ucho ludzkie nie jest jednakowo wrażliwe na dźwięki o różnych częstotliwościach, wprowadzono dodatkową wielkość, zwaną głośnością . Pozwala ona porównywać wrażenia wywierane na ucho przez dźwięki o różnych częstotliwościach. Jednostką głośności jest fon. W szczególności 0 i 120 fonów odpowiada dolnemu i górnemu progowi słyszalności (rys.).
Oczywiście wszystkie podane wielkości graniczne dotyczą wielkości przeciętnych i mogą zmieniać się w zależności od indywidualnych odczuć i właściwości ucha.
Narastającym problemem naszej cywilizacji jest wszechobecny hałas, który coraz częściej wymienia się na pierwszym miejscu dokuczliwych zagrożeń. Jako poziom szkodliwy dla człowieka przyjmuje się dźwięki o natężeniu powyżej 60 dB. Oprócz tak oczywistych szkodliwych skutków jak uszkodzenie narządu słuchu (głuchota), hałas powoduje się pojawienie problemów z których wiele osób nie zdaje sobie sprawy. Denerwujące lub głośne dźwięki wywołują poważne zaburzenia fizjologiczne (wydzielanie adrenaliny, podwyższenie ciśnienia krwi co zwiększa ryzyko chorób układu krążenia), podrażnienie układu nerwowego (ostry stres, niejednokrotnie prowadzący do nadmiernej agresji i zwiększenia podatności na choroby psychiczne) oraz ogólnego osłabienia systemu odpornościowego organizmu.
Walka z hałasem jest utrudniona, ponieważ często nie zdajemy sobie sprawy z jego uciążliwości – szkodliwe oddziaływanie kumuluje się stopniowo i jego skutki nie sa początkowo odczuwane. Efektywna walka z hałasem to nie tylko konstruowanie ciszej działających maszyn, czy budowa ekranów akustycznych wzdłuż arterii komunikacyjnych, ale również konieczność zmiany naszych zachowań. Badania wykazały, ze nieszczęśni nauczyciele narażeni bywają na dźwięki o natężeniu przekraczającym 100 dB!
Polskie normy przyjmują jako bezpieczną dla człowieka stałą ekspozycję na dźwięki o natężeniu 40 dB w dzień i 30 dB w nocy. Niestety normy te są często przekraczane zwłaszcza w dużych miastach np. w Warszawie hałas komunikacyjny dochodzi do 87 dB. Polska przoduje w generacji hałasu z uwagi na wadliwą konstrukcję wielu torowisk tramwajowych, słabe wyciszenie bloków mieszkalnych (działających często jak pudła rezonansowe), przestarzały park maszynowy itp.