1

Fale w ośrodkach sprężystych

fale podłu

ż

ne

fale poprzeczne

Rodzaje fal

• Podczas rozchodzenia si

ę

fali sam o

ś

rodek nie przesuwa si

ę

, a jedynie jego

elementy wykonuj

ą

drgania.

• Drgania, dzi

ę

ki wła

ś

ciwo

ś

ciom spr

ęż

ystym o

ś

rodka, s

ą

przekazywane do kolejnych

cz

ęś

ci o

ś

rodka. W ten sposób zaburzenie przechodzi przez cały o

ś

rodek.

• Do rozchodzenia si

ę

fal mechanicznych potrzebny jest o

ś

rodek o własno

ś

ciach

spr

ęż

ystych (F=-k

s

x)

Definicja:

Ruchem falowym nazywamy rozchodzenie si

ę

zaburzenia w o

ś

rodku

•Wła

ś

ciwo

ś

ci spr

ęż

yste o

ś

rodka decyduj

ą

o pr

ę

dko

ś

ci rozchodzenia si

ę

fali

OPIS FAL BIEGN

Ą

CYCH

2

)

(

,

0

x

f

y

t

=

=

vt)

f(x

y

t

−

=

,

W czasie

t

impuls falowy (fala) poruszaj

ą

cy si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

v

przesuwa si

ę

w prawo wzdłu

ż

sznura o odcinek równy

vt

, bez zmiany kształtu

Fala biegn

ą

c

ą

w kierunku ujemnym osi

x

(w lewo) ma posta

ć

:

vt)

f(x

y

+

=

Rozchodzenie si

ę

fali w przestrzeni – równanie kinematyczne fali

Je

ś

li na ko

ń

cu sznura (spr

ęż

yny) przyło

ż

ymy

drgania harmoniczne (sinusoidalne), to powstanie
fala sinusoidalna.

fala podłużna

∆

x

fala poprzeczna

∆

y

Dla dowolnej chwili czasu mo

ż

emy zrobi

ć

fotografi

ę

fali i opisa

ć

j

ą

równaniem:

fala poprzeczna:













+

=













+

=

∆

=

π

λϕ

λ

π

ϕ

λ

π

2

2

sin

2

sin

0

0

x

A

x

A

y

y

Umówmy si

ę

,

ż

e zaczynamy mierzy

ć

czas w

chwili t

0

=0 i

ż

e

ϕ

0

odpowiada fazie

pocz

ą

tkowej.

dla t=0

fala podłu

ż

na:













+

=

∆

0

2

sin

ϕ

λ

π

x

A

x

dla t=0

3

(

)









+

−

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

t

v

x

A

y

A - amplituda fali

l - długo

ść

fali

faza fali

0

2

ϕ

λ

π

+

−

t)

v

(x

0

ϕ

faza pocz

ą

tkowa

... a jak b

ę

dzie wygl

ą

dała fala po czasie t ?













+

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

x

A

y

dla t=0

Czas, w którym fala przebiega odległo

ść

równ

ą

l

nazywamy okresem

T.

v

λ

T

=

w danej chwili t taka sama faza jest w punktach

x,

x + l, x + 2l

, itd., oraz,

ż

e w danym miejscu x faza

powtarza si

ę

w chwilach

t, t + T, t + 2T

, itd.













+













−

=

0

2

sin

ϕ

λ

π

T

t

x

A

y

....a tak wygl

ą

da ruch punktu o

ustalonej współrz

ę

dnej w zale

ż

no

ś

ci

od czasu

t

.

f

T

k

π

π

ω

λ

π

2

2

2

=

=

=

)

sin(

0

ϕ

ω

+

−

=

t

x

k

A

y

k

ω

λf

T

λ

v

=

=

=

liczba falowa

cz

ę

sto

ść

k

ą

towa

Napiszmy równanie kinematyczne fali w nieco innej, prostszej postaci :

Ś

ledzimy jak przemieszcza si

ę

w czasie wybrana cz

ęść

fali czyli okre

ś

lona faza (np.

maks.)

pr

ę

dko

ść

fazowa

vt)

f(x

y

−

=

const.

vt

x

=

−

0

=

−

v

dt

dx

v

dt

dx

=

Pr

ę

dko

ść

fazowa i kształt fali

4

vt)

f(x

y

−

=

2

2

2

vt)v

''(x

f

t

y

−

=

∂

∂

vt)

''(x

f

x

y

−

=

∂

∂

2

2

2

2

2

2

2

1

t

y

v

x

y

∂

∂

=

∂

∂

Równanie ruchu falowego stosuje si

ę

do wszystkich rodzajów fal spr

ęż

ystych.

Równanie falowe

Powierzchni

ę

ł

ą

cz

ą

c

ą

punkty, o takiej samej fazie nazywamy powierzchni

ą

falow

ą

. Powierzchnie falowe poruszaj

ą

si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

fazow

ą

. Ze wzgl

ę

du

na kształt powierzchni falowej wyró

ż

niamy fale płaskie i fale kuliste.

fala płaska

fala kulista

θ

θ

θ

Fd

F

F

F

y

wyp

≅

−

=

1

2

)

(

sin

sin

Wypadkowa siła działaj

ą

ca na kawałek sznura

o długo

ś

ci

dx

:

Przykład: Równanie falowe dla napr

ęż

onego sznura lub struny

ma

F

y

wyp

=

)

(

Z drugiej strony:

(druga zasada dynamiki)

(*)

2

2

)

(

dt

y

d

dx

F

y

wyp

µ

=

- g

ę

sto

ść

liniowa

dla elementu struny o długo

ś

ci

dx

:

µ

(**)

2

2

dt

y

d

dx

Fd

µ

θ

=

2

2

dt

y

d

F

dx

d

µ

θ

=

Ze wzorów (*) i (**) mamy:

i dalej

dx

dy

≅

θ

Dla małych katów

2

2

2

2

dt

y

d

F

dx

y

d

µ

=

, czyli ostatecznie:

równanie falowe

5

2

2

2

2

dt

y

d

F

dx

y

d

µ

=

równanie falowe dla struny

2

2

2

2

2

1

dt

y

d

v

dx

y

d

=

ogólne równanie falowe

µ

F

v

=

(*)

(**)

)

sin(

0

ϕ

ω

+

−

=

t

kx

A

y

Sprawd

ź

my to równanie (*) dla rozwi

ą

zania:

)

sin(

2

2

2

t

kx

Ak

x

y

ω

−

−

=

∂

∂

Wyliczmy pochodne:

)

sin(

2

2

2

t

kx

A

t

y

ω

ω

−

−

=

∂

∂

Po podstawieniu do
(*):

µ

ω

F

k

v

=

=

2

2

ω

µ

F

k

=

Pr

ę

dko

ść

v

rozchodzenia si

ę

fali jest niezale

ż

na od amplitudy i cz

ę

stotliwo

ś

ci,

dla fal mechanicznych zale

ż

y od spr

ęż

ysto

ś

ci o

ś

rodka i jego bezwładno

ś

ci.

µ

F

v

=

Pr

ę

dko

ś

ci fal w ró

ż

nych o

ś

rodkach

1. napr

ęż

ony sznur lub struna

(poprzeczna)

ρ

E

v

=

2. pr

ę

t

(podłu

ż

na)

gdzie:

l

l

E

S

F

∆

=

(E- moduł Younga)

3. fala akustyczna

(podłu

ż

na)

ρ

K

v

=

gdzie:

V

V

K

p

∆

−

=

∆

(K- moduł sci

ś

liwo

ś

ci obj

ę

to

ś

ciowej)

fala podłu

ż

na w

rurce z tłokiem

(

)

0

sin

ϕ

ω

+

−

∆

=

∆

t

kx

p

p

m

Fala akustyczna opisuje rozchodzenie si

ę

lokalnej zmiany ci

ś

nienia

gdzie

∆

p

m

jest amplitud

ą

zmian ci

ś

nienia

6

2

cos

2

sin

2

sin

sin

β

α

β

α

β

α

−

+

=

+

)

sin(

1

t

kx

A

y

ω

−

=

)

sin(

2

t

kx

A

y

ω

+

=

interferencja dwu fal rozchodz

ą

cych si

ę

w przeciwnych kierunkach na przykład

+x

i

-x

t

x

k

A

y

y

y

ω

cos

sin

2

2

1

=

+

=

Fale stoj

ą

ce

Punkty, które maj

ą

maksymaln

ą

amplitud

ę

nazywamy strzałkami, a te które maj

ą

zerow

ą

amplitud

ę

i nazywane s

ą

w

ę

złami.

Cz

ą

stki o

ś

rodka drgaj

ą

ruchem harmonicznym prostym ale w przeciwie

ń

stwie do fali

biegn

ą

cej, ró

ż

ne punkty o

ś

rodka maj

ą

ró

ż

ne amplitudy drga

ń

zale

ż

ne od ich poło

ż

enia

x

.

Ruch harmoniczny

z

amplitud

ą

kx

A

A

sin

2

'

=

t

A

y

ω

cos

'

=

INTERFERENCJA FAL

Fale stoj

ą

ca dla struny

(pr

ę

ta) zamocowanej na obu ko

ń

cach.

n

L

n

2

=

λ

f

λ

T

λ

v

=

=

µ

F

v

=

µ

F

L

n

v

L

n

f

n

2

2

=

=

Najni

ż

sza cz

ę

sto

ść

cz

ę

sto

ść

podstawowa,

pozostałe

wy

ż

sze harmoniczne (alikwoty)

pr

ę

t zamocowany

na jednym ko

ń

cu

....)

5

,

3

,

1

(

4

=

=

n

n

L

n

λ

pr

ę

t swobodny

na ko

ń

cach

n

L

n

2

=

λ

7

n

L

n

2

=

λ

Fale stoj

ą

ce w piszczałce

....)

5

,

3

,

1

(

4

=

=

n

n

L

n

λ

Barwa dzwi

ę

ku

zale

ż

y od amplitud dla harmonicznych

wy

ż

szego rz

ę

du o cz

ę

stotliwo

ś

ciach

f

n

.

v

L

n

f

n

2

=

v

L

n

f

n

4

=

Fale stoj

ą

ce

fale o tej samej cz

ę

stotliwo

ś

ci, interferencja „w przestrzeni”.

Dudnienia

fale o nieco ró

ż

ni

ą

cej si

ę

cz

ę

stotliwo

ś

ci, interferencja „w czasie”.

t

f

A

t

A

y

1

1

1

2

π

ω

sin

sin

=

=

t

f

A

t

A

y

2

2

2

2

π

ω

sin

sin

=

=













+

























−

=

+

=

t

f

f

t

f

f

A

y

y

y

2

2

sin

2

2

cos

2

2

1

2

1

2

1

π

π

)

2

sin(

'

)

sin(

'

t

f

A

t

A

y

π

ω

=

=

2

2

1

f

f

f

+

=

Drgania wypadkowe

o cz

ę

stotliwo

ś

ci

i amplitudzie zmieniaj

ą

cej si

ę

w czasie z cz

ę

stotliwo

ś

ci

ą

2

2

1

f

f

f

amp

−

=

Dudnienia

2

cos

2

sin

2

sin

sin

β

α

β

α

β

α

−

+

=

+

8

Je

ż

eli cz

ę

stotliwo

ś

ci

f

1

i f

2

s

ą

bliskie

siebie to amplituda zmienia si

ę

powoli

(

f

amp

jest mała).

Mamy do czynienia z modulacj

ą

amplitudy (AM – amplitude modulation).

2

2

1

f

f

f

amp

−

=

y

y

t

t

Zastosowanie modulacji ma na celu „wprowadzenie” do fali potrzebnej informacji,
która ma by

ć

przesłana.

Modulacja amplitudy jest najstarszym i najbardziej rozpowszechnionym (obok
modulacji cz

ę

stotliwo

ś

ci FM) sposobem przesyłania informacji za pomoc

ą

fal

radiowych

drganie wypadkowe

n = 7

n = 5

n = 3

n = 1

t

Wypadkowe drganie (chocia

ż

okresowe)

nie musi by

ć

harmoniczne (nie daje si

ę

opisa

ć

funkcj

ą

sinus lub cosinus).

Dowolne drganie okresowe o okresie T mo

ż

emy przedstawi

ć

jako

kombinacj

ę

liniow

ą

(sum

ę

) drga

ń

harmonicznych o okresach danych

wzorem T

n

= T/n, gdzie n jest liczb

ą

naturaln

ą

.

Analiza Fouriera

Analiza fal zło

ż

onych

9

Zjawisko Dopplera wyst

ę

puje dla wszystkich fal.

ZJAWISKO DOPPLERA

Zjawisko Dopplera polega na pozornej zmianie cz

ę

stotliwo

ś

ci fali z powodu

ruchu obserwatora lub

ź

ródła fali.

Przykład: Fale d

ź

wi

ę

kowe - ruch

ź

ródła i obserwatora wzdłu

ż

ł

ą

cz

ą

cej ich prostej.

Porusza si

ę

tylko obserwator:

• do nieruchomego obserwatora dociera

powierzchni falowych (o długo

ś

ci

l

i pr

ę

dko

ś

ci

v

),

vt/λ

• je

ż

eli obserwator porusza si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

v

0

w

kierunku

ź

ródła (wychodzi falom na przeciw) to

odbiera on powierzchni falowych.

f

v

v

v

λ

v

v

t

λ

t

v

v

f'

o

o

o

+

=

+

=

+

=

)

(

v

v

v

f

f'

o

+

=

λ

t

v

v

o

)

(

+

W sytuacji kiedy porusza si

ę

zarówno

ź

ródło jak i obserwator













±

=

z

o

v

v

v

v

f

f'

m

Znaki "górne" odpowiadaj

ą

zbli

ż

aniu si

ę ź

ródła

i obserwatora, a znaki "dolne" ich oddalaniu si

ę

.

•Zmiany cz

ę

stotliwo

ś

ci zale

żą

od tego czy porusza si

ę ź

ródło czy obserwator.

•Powy

ż

sze wzory s

ą

słuszne gdy pr

ę

dko

ś

ci

ź

ródła i obserwatora s

ą

mniejsze od pr

ę

dko

ś

ci d

ź

wi

ę

ku.

f

v

f

v

f

v

T

v

z

z

z

−

=

−

=

−

=

′

λ

λ

λ

•rejestrowana przez obserwatora O cz

ę

stotliwo

ść

:

(

)

z

f

v

v

v

v

v

f

v

v

f

z

−

=

=

′

=

′

−

λ

•skróceniu ulega długo

ść

fali emitowanej ze

ź

ródła Z:

Dla pr

ę

dko

ś

ci

ź

ródła wi

ę

kszej

od pr

ę

dko

ś

ci d

ź

wi

ę

ku

powstaje sto

ż

ek Macha

Porusza si

ę

tylko

ź

ródło:

10

A

A

fala: prędkość V

Rozchodz

ą

ca si

ę

fala wprawia

cienk

ą

warstw

ą

o

ś

rodka w

ruch drgaj

ą

cy.

Całkowita energia w ruchu
drgaj

ą

cym jest równa

maksymalnej energii kinetycznej:

2

2

2

0

2

1

2

1

A

m

mv

E

ω

∆

=

∆

=

∆

gdy

ż

Wyra

ż

aj

ą

c mas

ę

warstwy

∆

m

przez jej obj

ę

to

ść

i g

ę

sto

ść

o

ś

rodka (

ρ

), energia

warstwy wynosi:

(

)

2

2

2

1

A

x

S

E

ω

ρ

∆

=

∆

A

v

ω

=

0

fala podłu

ż

na w

rurce z tłokiem

ρ

K

v

=

NAT

Ęś

ENIE FALI (na przykładzie fali d

ź

wi

ę

kowej)

Ostatecznie, nat

ęż

enie

biegn

ą

cej fali płaskiej

(czyli moc na jednostk

ę

powierzchni)

wynosi:

v

A

S

P

I

2

2

2

1

ρω

=

=

r

Dal fali kulistej mamy:

2

4 r

P

S

P

I

r

π

=

=

2

1

r

I

∝

(

)

2

2

2

1

A

x

S

E

ω

ρ

∆

=

∆

Pr

ę

dko

ść

przekazu energii w czasie

Δ

t

(moc) do ka

ż

dej kolejnej warstwy o

szerokosci

Δ

x

:

v

A

S

A

t

x

S

t

E

P

2

2

2

2

2

1

2

1

ω

ρ

ω

ρ

=

∆

∆

=

∆

∆

=

11

(NADOBOWIĄZKOWO)

Przybli

ż

ony zwi

ą

zek mi

ę

dzy fizycznym

nat

ęż

eniem d

ź

wi

ę

ku (

I

), a subiektywnym

poziomem d

ź

wi

ę

ku (

L

) ujmuje prawo

Webera

−

Fechnera:

I

L

log

∝

Nat

ęż

enie d

ź

wi

ę

ku wyra

ż

amy w decybelach (dB):

0

log

10

I

I

I

dB

=

gdzie

I

0

(10

-12

W/m

2

) jest nat

ęż

eniem progu słyszalno

ś

ci dla tonu o cz

ę

stotliwo

ś

ci

1000 Hz.

CZUŁO

ŚĆ

UCHA LUDZKIEGO

4

24

64

74

94

114

Szelest liści

Szept

Rozmowa

Orkiestra

Metro

Grzmot

I

dB

(dB)

Rodzaj
dźwięku

Poziom wra

ż

enia d

ź

wi

ę

ku

L

zale

ż

y od cz

ę

stotliwo

ś

ci i wyra

ż

amy go w fonach.

D

ź

wi

ę

k o danym nat

ęż

eniu i cz

ę

stotliwo

ś

ci ma tyle fonów ile decybeli ma d

ź

wi

ę

k

o takim samym wra

ż

eniu gło

ś

no

ś

ci i o cz

ę

stotliwo

ś

ci równej 1 kHz.

Zakres słyszalno

ś

ci ucha ludzkiego rozci

ą

ga si

ę

od 20 Hz do 20 kHz

(NADOBOWIĄZKOWO)