Metoda Lagrange’a.

Niech Vo oznacza objętość pewnej masy

płynu, którą zajmuje on w pewnej chwili

początkowej t0. Po upływie czasu Δt, w

chwili t=to+Δt ta sama masa zajmuje

objętość V. Między wielkościami Vo i V

jednoznaczna zależność. Dowolny element

płynu ∂V∈V który w chwili to zajmował

położenie Po(to), przemieści się w położenie

P(to+Δt).Jego położenie określamy za

pomocą współrzędnych x, y, z, tego punktu

w przestrzeni, w którym element znajduje

się w chwili t. Bieżące współrzędne elem.

zależą nie tylko od geometrii przepływu

lecz i od położenia jakie zajmował on w

chwili to. Niech to położenie początkowe

określane będzie współrzędnymi a, b, c,

punktu Po. Matematycznym wyrazem tego

faktu są równości:

x= x (a, b, c, t)

y= y (a, b, c, t)

z= z (a, b, c, t)

Są to zarazem parametryczne równania toru

tego elementu który został wyodrębniony,

spośród innych za pomocą współrzędnych

a,b,c. Parametrem jest czas, zmieniając

wartość t określamy kolejne położenie

elementu czyli jego trajektorię (tor).

Zmieniając zaś trójkę liczb a,b,c, skierujemy

uwagę na inne elementy płynu .Wszystkie

interesujące nas wielkości (zmienne zależne)

takie jak prędkość, ciśnienie, gęstość itd.

traktujemy jako funkcję a, b, c, t pisząc np.:

V= V(a, b, c, t). Tak rozumiana czwórka

zmiennych niezależnych nosi nazwę zmiennych

(współrzędnych) Lagrange’a. Przy ustalonych

wartościach t, funkcja V= V(a, b, c, t) określa

prędkość różnych elementów płynu ,

reprezentujących ruch całej masy.

Metoda Eulera.

W przestrzeni objętej przepływem wybieramy

myślowo pewien punkt „obserwacyjny”

M.(x, y, z). Przez ten punk przechodzą kolejno

coraz inne elementy płynu z określonymi

parametrami v, p ,q itd. Interesuje nas zależność

tych wielkości od czasu t w określonym zbiorze

punktów M. Według koncepcji Eulera ruch

płynu opisuje się przez podanie funkcji:

V= v (x, y, z, t)

P= p (x, y, z, t)

Q= q (x, y, z, t)

Tak rozumiana czwórka zmiennych x, y, z, t nosi

nazwę zmiennych Eulera. W metodzie Eulera

mamy okienko i rejestrujemy prędkość przelotnej

cząstki. Badanie przepływów pod względem

kinematycznym polega na określeniu prędkości

poruszającego się płynu, znając prędkość można

znaleźć rozkład ciśnień i siły działającej w płynie.

Kinematyka płynów zajmuje się analitycznym

opisem przepływów niezależnie od przyczyn(sił)

które te przepływy wywołują. Opis ruchu jest

często geometryczny.

Klasyfikacja przepływów, pole prędkości jak

również pola pozostałych parametrów przepływu

mogą zależeć od 3wsp oraz od czasu np v=v(x,y,z,t)

Przepływ nieustalony trójwymiarowy, jeżeli

Parametry przepływu zależą tylko od współrzędnych

Położenia i nie zależą od czasu.

Prz trójw ustalony jeżeli parametry przepływu

zależą od współrzędnych położenia i czasu

przepływ dwuwymiarowy, parametry przepływu

zależą tylko od dwóch współrzędnych położenia

(zwany jest przepływem płaskim)oraz gdy we

wszystkich parametrach równoległych do pewnej

nieruchomej płaszczyzny ruch odbywa się jednakowo

i równolegle do tej płaszczyzny

Przepływ dwuwymiarowy osiowo symetryczny,

Ruch płynu jest symetryczny względem pewnej osi

Oznacza to, że w walcowym układzie wspólrz

r, Θ,z dowolny parametr przepływu nie zależy od

współ kąta Θ czyli we wszystkich elementach płynu

będąca w danej chwili na jednym okręgu, znajduje

się w jednostkowym stanie kinematycznym i fizycz

składowe wektró prędkości zapiszemy wtedy w postaci:

Vr=Vr(r,z,t),V Θ=V Θ(r,z,t), Vz=Vz(r,z,t)

Równanie ciągłości przepływu jest to jedno z

Podstawowych zasad mechaniki klasycznej. Głosi

Że w zamkniętym układzie fizycznym masa nie może

Się zmienić (maleć lub wzrastać).Czyli poruszający

Się płyn wypełnia całkowicie obszar objęty przepływem

Nie powstają tam przerwy,próżnia ani inne nieciągłości

div(pv)=pddiv+v*grad ro, δro/ δt+v*grad ro+ δdiv v=0

d ro/dt+rodiv v=0.Gdy płyn jest ściśliwy to div(ro v)=0

Gdy płyn jest nieściśliwy to: div v= δvx/ δx+ δvy/ δy+

δ vz/ δz=0

Diwergencja prędkości-weźmy dowolną masę m płynu

Która w pewnej chwili zajmuje objętość v. Podczas

Przepływu gęstość i objętość mogą się równocześnie

Zmieniać jednak m=ro v=const lub dm/dt=d ro/dt+

ro*dv/dt=0, 1/v*dv/dt=-1/ro*d ro/dt, div v=1/v*dv/dt

czyli diwergencja prędkości określa tempo zmiany

objętości właściwej płynu.

Cyrkulacja prędkości, w poruszającym się płynie

wyodrębniamy zamkniętą krzywą K. Niech wektor

prędkości prędkości V w dowolnym pkt na tej krzywej

nachylony jest pod kątem alfa do wektora elementu

ds krzywej.(wykres). Cyrkulacja prędkości rk wzdłuż

konturu K nazywamy całkę krzywoliniową z iloczynu

skalarnego wektora prędkości przez wektor elem krzywej

Jeżeli chcemy obliczyć w prostokątnym układzie współ.

Element płynu znajdujących się na konturze K wykazuje

tendencję do poruszania się w kierunku zgodnym z kier.

całkowania. Jeżeli rK=0 znaczy to że tendencja do ruchu

w kierunku dodatnim występuje po części konturu, znosi

się tendencja przeciwna na pozostałej części konturu albo

że wektory prędkości są prostopadłe do elementu ds.

Przepływ wirowy to taki przepływ podczas którego

występuje wirowość. Pierwotnym jej źródłem jest lepkość

z powodu której na powierzchni ciał opływanych,

powstają cienkie warstwy przyścienne. Warstwy te mają

skłonność do odrywania się wskutek czego powstają wiry

które łatwo możemy zaobserwować. Tylko przy warstwie

przyściennej opływ jest wirowy a poza nią potencjalny.

Naprężenia styczne są związkiem i zarazem nośnikiem

wirowości.

Przepływ potencjalny cieczy idealnej nigdzie nie mógłby

się przekształcić w przepływ wirowy ze względu na brak

naprężeń stycznych

Równanie Stokesa, intensywność wirów można określić

Za pomocą cyrkulacji prędkości(rys)

Przepływ potencjalny. Potencjał jest funkcją wielozna-

czną czyli przy każdorazowym pełnym obiegu danego

konturu potencjał wzrasta o stałą wartość. Pola prędkości

takich przepływów są potencjalne z wyjątkiem pewnego

zbiornika punktów osobliwych. Wirowość nie jest=0.

Zbiór tych linii jest linią powierzchniową(linią wirową

lub rurką)

Przepływ płaski, Funkcja prądu. Przepływ odbywa się

w płaszczyźnie 0xy. Wektor prędkości leży stale w tej

płaszczyźnie i ma tylko 2 składowe. Vx=Vx(x,y)

Vy=Vy(x,y), więc V=Vx+Vy

Linie prądu są krzywymi płaskimi dx/Vx=Dy/Vy

Ψ(x,y)=const, d ψ =0-> ψ(x,y) – spełnia równanie dlatego

nazywa się funkcją prądu. Linia prądu to linia do której

w danej chwili w każdym jej pkt wektory prędkości

elementu płynu, leżących na tej linii są styczne (linie

prądu nie mogą się krzyżować, wyrażone dla dwóch