Zadanie 2

Z wykorzystaniem równań Lagrange’a II rodzaju

dane są warunki:

$m_{2} = m_{3} = {\frac{1}{3}m}_{1}$ $r_{2} = r_{3} = {\frac{1}{2}r}_{1}$

równanie Lagrange’a II rodzaju ma postać:

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\text{dE}}{d{\dot{q}}_{i}} \right) - \frac{\text{dE}}{dq_{i}} + \frac{\text{dU}}{dq_{i}} + \frac{\text{dR}}{d{\dot{q}}_{i}} = Q_{i}$$

przyjmujemy następujące założenia dotyczące współrzędnych uogólnionych:

i = 1 q = φ₁

obliczenia rozpoczynamy od znalezienia warunków geometrycznych, które nie są znane:

$\varphi_{2} = {\frac{1}{2}\varphi}_{1}\frac{r_{1}}{r_{2}} = {\frac{1}{2}\varphi}_{1}\frac{r_{1}}{{\frac{1}{2}r}_{1}} = {\frac{1}{2}\varphi}_{1} \bullet 2 = \varphi_{1}$ $\varphi_{3} = {\frac{1}{2}\varphi}_{1}\frac{r_{1}}{r_{3}} = {\frac{1}{2}\varphi}_{1}\frac{r_{1}}{{\frac{1}{2}r}_{1}} = \varphi_{1}$

$x_{2} = \frac{1}{2}\varphi_{1}r_{1}$ $x_{3} = \frac{1}{2}\varphi_{1}r_{1}$

$I_{1} = \frac{1}{2}m_{1}r_{1}^{2}$ $I_{2} = \frac{1}{2}m_{2}r_{2}^{2} = \frac{1}{24}{m_{1}r}_{1}^{2}$ $I_{3} = \frac{1}{2}m_{3}r_{3}^{2} = \frac{1}{24}{m_{1}r}_{1}^{2}$

zapisanie poszczególnych energii:

$$E = \frac{1}{2}m_{3}{\dot{x}}_{3}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}{\dot{x}}_{2}^{2} + \frac{1}{2}I_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2} + \frac{1}{2}I_{2}{\dot{\varphi}}_{2}^{2} + \frac{1}{2}I_{3}{\dot{\varphi}}_{3}^{2}$$

U = m₃gx₃ + m₂gx₂

sprowadzenie do najprostszej postaci:

$$E = \frac{1}{24}m_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}r_{1}^{2} + \frac{1}{24}m_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}r_{1}^{2} + \frac{1}{4}m_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}r_{1}^{2} + \frac{1}{48}m_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}r_{1}^{2} + \frac{1}{48}m_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}r_{1}^{2} = \frac{3}{8}m_{1}{\dot{\varphi}}_{1}^{2}r_{1}^{2}$$

$$U = {\frac{1}{6}m}_{1}g\varphi_{1}r_{1} + {\frac{1}{6}m}_{1}g\varphi_{1}r_{1} = {\frac{1}{3}m}_{1}g\varphi_{1}r_{1}$$

obliczenie pochodnych energii:

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\text{dE}}{d{\dot{\varphi}}_{1}} \right) = \frac{3}{4}m_{1}{\ddot{\varphi}}_{1}r_{1}^{2}$$

$$\frac{\text{dE}}{d\varphi_{1}} = 0$$

$$\frac{\text{dU}}{d\varphi_{1}} = {\frac{1}{3}m}_{1}gr_{1}$$

$$\frac{\text{dR}}{d{\dot{q}}_{i}} = 0$$

zapisanie różniczkowego równania ruchu:

$$\frac{3}{4}m_{1}{\ddot{\varphi}}_{1}r_{1}^{2} + {\frac{1}{3}m}_{1}gr_{1} = M$$

przyjmujemy dane w celu wykreślenia wykresów:

m₁ = 1kg r₁ = 1m M = 25sin(t) Nm