Metoda różnic skończonych

Służy do rozwiązywania równań różniczkowych lub ich układów.

Opiera się na:

1 wszystkie ciągłe funkcje problemu określone są zbiorem ich wartości w2 pktach dyskretnych dostatecznie gęsto pokrywających obszar zmienności funkcji

2 operatory różniczkowania funkcji ciągłych zastępuje się odpowiadającymi im operatorami różnic wartości funkcji w wybranych punktach. W ten sposób równanie różniczkowe zastępuje się równaniem różnic skończonych.

2 żąda się aby równania róznic skończonych były spełnione we wszystkich pktach pokrywających rozpatrywany obszar. W ten sposób otrzymuje się układ równań którego rozwiązanie jest przybliżonym rozwiązaniem problemu dla funkcji ciągłej.

Etapy realizacji metody

1 Sformułowanie zadania (określenie obszaru zmienności funkcji lub funkcjonału, podanie warunków brzegowych)

2 Dyskretyzacja obszaru w tym przyjęcie typu siatki i położenia węzłów siatki we wnętrzu obszaru na jego brzegu, ewentualnie w strefie przybrzeżnej na zewnątrz obszaru. Podzielenie całego obszaru na podsektory i ich przypisanie poszczególnym węzłom.

3 Dobór gwiazd różnicowych dla węzłów wewnętrznych w brzegu obszaru, oraz przyjęcie liczby i rodzaju stopni swobody (są to niewiadome)

4 Generacja schematów różnicowych we wnętrzu obszaru oraz dyskretyzacja operatów różnicowych występujących w równaniach lub funkcjonale na brzegu obszaru. Jest to tzw dyskretyzacja warunków brzegowych.

5 Generacja równań różnicowych we wnętrzu obszaru (sformułowanie lokalne lub też całkowanie numeryczne, agregacja i minimalizacja funkcjonału) wtedy mamy do czynienia ze sformułowaniem globalnym)

6 Występuje tylko w wersij lokalnej z uwzględnieniem warunków brzegowych.

7 Rozwiązanie układu równań różnicowych

8 Obliczenie poszukiwanych wielkości końcowych na podstawie znanego już rozwiązania równań różnicowych.

Metoda elementów skończonych

Elementy w płaskim stanie naprężeń i odkształceń posiadają dwa stopnie swobody w węźle płaszczyźnie xy. Są to translacje wzdłuż osi x i y

Elementy w obrotowym stanie symetrii – 2 stopnie swobody w weźle, translacje są to:

1 ścisłe translacje wzdłuż osi obrotu i wazdłuż obrotu osi symetrii

2 translacje radialne, prostopadłe do tej osi.

Element płytowy jest obciążany prostopadle do powierzchni dźwigania. Posiada 3 stopnie translacje są prostopadłe do powierzchni środkowej płyty oraz dwa obroty wzdłuż osi leżącej w płaszczyznach powierzchni środkowej płyty.

Element powłokowy posiada 3 stopnie translacyjne swobody i 3 stopnie obrotowe (w układzie lokalnym elementu nie rozpatruje się)

Siatkowanie – polega na doborze odpowiedniej siatki elementów skończonych.

(-)Wady i (+) zalety:

+ prostota interpretacji i łatwość zastosowania w przypadku obszarów regularnych np. prostokąt, koło, pierścień itp. Oraz w przypadku regularnej siatki punktów wynikająca z łatwości generacji takiej siatki i odpowiednich gwiazd, schematów, równań różnicowych. Wygenerowany schemat różnicowy jest jednakowy dla każdego węzła obszaru. Prosty jest również przydział powierzchni dla poszczególnych węzłów.

+ solidne podstawy matematyczne np. ocena zbieżności i stabilności.

+ wieloletnia praktyka w osługiwaniu się metodą (ponad 50 lat) pozwala ocenić jej mocne i słabe strony, preferowane obszary zainteresowań oraz ograniczenia.

- trudność w zastosowaniu w przypadku obszarów nieregularnych, zwłaszcza gdy obszar jest krzywoliniowy.

- trudność w lokalnym zagęszczeniu siarki węzłów np. w celu uzyskania najlepszej aproksymacji w dobrym miejscu obszaru

- trudno0ści łączenia obszarów różno wymiarowych np. belek jednowy,oarpwych z płytami dwuwymiarowymi i z fundamentami trójwymiarowymi.

Płyta – dźwigar powierzchniowy o jednym wymiarze (grubości) dużo mniejszym od pozostałych wymiarów. Obciążony prostopadle do tzw powierzchni środkowej, czyli powierzchni leżącej w środku jego grubości. Płytę nazywamy cienką, jeśli jej grubość nie przekracza 1/10 dłuższej rozpiętości

Teoria płyt – 1850r opracował Kirchoff, przetrwała nie zmieniona od 1945r Reissner to zmienił, modyfikacja w 1955 Wlinellin

Założenia kinematyczne Kirchoffa – normalna do powierzchni środkowej w trakcje deformacji pozostaje prostą, która w dalszym ciągu jest prostopadła do powierzchni środkowej i dowolny odcinek na tej prostej nie zmienia swojej długości.

Założenia dot naprężeń Kirchoffa – naprężenia normalne w kierunku prostopadłym do powierzchni środkowej są rządną intensywności obciążenia, a więc w równaniach naprężeń w kierunku płaszczyzny środkowej są pomijalnie małe. Konsekwencją tego założenia …(ucięta strona skanowania).

W teorii płyt cienkich stan odkształceń może być opisany za pomocą tylko jednej wielkości (jest to przemieszczenie poprzeczne do płaszczyzny środkowej) Jednak waqrunmki ciągłości pomiędzy elementami nakłada się nie tylko na przemieszczeniach, ale również na ich pochodne. Należy zapewnić warunek aby płyta pozostawała ciągła i nie tworzyły się w niej przeguby, które powstają gdy druga ?powoduje? przemieszczenia (krzywizna) staje się nieskończenie wielka i wyrażenia na energię zawierają wyrazy nieskończenie duże.

Możliwe jest skonstruowanie z dwóch typów elementów:

1 Dostosowane – są to elementy, których ciągłość przemieszczeń i kątów obrotów zapewniona jest na całej długości krawędzi elementu, a nie tylko w węzłach. Zapisanie funkcji kształtu spełniającej takie warunki powoduje duże trudności matematyczne i rachunkowe, wymagające zastosowania założeń przybliżonych do pogarszania jakości wyników. Dlatego też można stosunkowo łatwo dobrać funkcję kształtu zapewniającą ciągłość p-rzemieszczeń i kątów obrotu w węzłach ,ale tyloko ciągłość przemieszczeń na krawędziach elementu. Takie elementy nazywamy elementami niedostosowanymi

2 Niedostosowane - to elementy w których ciągłość przemieszczeń występuje na krawędziach. Spełniaja warunki stałego odkształcenia a więc pozwalają na wszystkie rozwiązania króre zapewnia zbieżność do rozwiązania dokładnego. Najprostszym elementem niedostatecznym jest El prostokątny czterowęzłowy.

Funkcje przemieszczeń wewnętrznych elementów aproksymujemy wielomianem mającym 12 parametór. Takim wielomianem jest wielom 4go stopnia z opuszczonymi niektórymi elementami

Metoda elementów brzegowych

W odróżnieniu od met elementów skończonych i różnic skończonych, które służyły do rozwiązywania równiań różniczkowych, ta metoda służy do rozwiązywania układów równań całkowych. Może być traktowana jak skończenie wymiarowa aproksymacja, problemów formułowanych w języku brzegowym równań całkowych. Metoda ta pozwala w łatwy sposób uwzględnić kształt brzegu i warunków brzegowych na rozwiązanie. Nie wymaga dyskretyzacji i wnętrza rozpatrywanego obszaru.

(-)Wady i (+) zalety:

+ jest to ogólna metoda numeryczna o szerokim zastosowaniu. Ma ugruntowane podstawy matematyczne, jest efektywnym narzędziem numerycznym

+ może być stosowana do rozwiązań liniowych i nieliniowych przy czym w drugim przypadku pod warunkiem że zagadnienie mmoże być proksymowaane jako liniowo przyrostowe

+ następuje redukcja wymiaru zadania o jeden rząd co przyczynia się do ułatwienia wprowadzania danych wyjściowych i prowadzi do układu równań algebraicznych, znacznie mniejszego niż w metodzie elementów skończonych i różnic skończonych

+ Orzy tym samym poziomie dyskretyzacji co w metodzie elementowi skończonych – metoda elementów brzegowych daje dokładniejsze wyniki co jest szczególnie ważne w problemach w których pojawiają się duże gradienty naprężeń. Dodatkowo dokładność można zwiększyć stosując specjalne elementy brzegowe i techniki całkowania

+ zastosowania osobliwych rozwiązań fundamentalnych lub funkcji Green’a daje możliwość rozpatrywania zagadnień dla obszarów nieskończonych lub pół nieskończonych bez potrzeby wprowadzania sztucznych granic jak ma to zajście w metodzie elementów skończonych.

+ metoda umozliwia obliczanie nieznacznych wielkości elementów wewnętrzn. Obszaru bez potrzeby jego dyskretyzacji, tylko w pktach które nas interesują.

+ nadaje się do kojarzenia z innymi metodami no z met elem skończonych, gdzie może być stosowana do budowania macierzy sztywności dla jednorodnych, bardzo dużych w tym także nieskończonych elementów skończonych (tzw superelementy). Przez to redukuje się liczbę niewiadomych w metodzie elem skoncz.

+ zadanie niepoprawnie sformułowane, tzn w których ilość informacji o zachowaniu się rozw na brzegu jest zbyt duża, brak natomiast innych informacji koniecznych do poprawnego sformułowania, uciążliwe z punktu widzenia innych metod, mogą być rozwiązania łatwe metoda elem brzegowych

- otrzymuje się pełną niesymetryczną macierz współczynników

- metoda wymaga znajomości tzw rozwiązania fundamentalnego, tymczasem w przypadku materiałów anizotropowych niejednorodnych taki rozwiązanie nie jest znane llub nie ma postaci zamkniętej.

- metoda jest nieefektywna w przypadku gdy 1 lub 2 wymiary są małe w stosunku do pozostałych wymiarów. Pojawiają się wtedy kłopoty ze włym uwarunkowaniem macierzy co dotyczy w szczególności powłok.

- jest mała biblioteka konkurencyjnych profesjonalnych programów komputerowych wykorzystujących metodę elem brzegowych w porównaniu z metodą elem skończonych

Metoda iteracyjna Gaussa:

Metoda Gaussa-Seidla – iteracyjna metoda numeryczna rozwiązywania układów równań liniowych. Stosowana jest głównie do rozwiązywania ogromnych układów równań postaci , w których  jest macierzą przekątniowo dominującą. Równania tego typu, obejmujące tysiące a nawet miliony niewiadomych, występują powszechnie w numerycznych metodach rozwiązywania eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych, np. równania Laplace'a. Nazwa metody upamiętnia niemieckich matematyków: Carla Friedricha Gaussa i Philippa Ludwiga von Seidla

Obecnie metoda Gaussa-Seidla ma charakter czysto akademicki. Dla małych układów równań dużo szybsze są metody bezpośrednie, np. metoda eliminacji Gaussa, natomiast dla ogromnych układów równań lepszą zbieżność zapewniają metody nadrelaksacyjne oraz wielosiatkowe (ang. multigrid).

Algorytm obliczeń.

> przyjmujemy pewne z góry założenie wartości od X1 do Xm

> te wartości wystawiamy po prawej stronie równania

> dzięki temu można wyznaczyć nowe wartości po stronie lewej

> rozpoczynamy ponownie wartości od X1 do Xm, ale posługując się wartościami wyznaczonymi przed chwilą

> powtarzamy czynność tak długo, aż max wartość będzie e<=epsilon

Metoda nadrelaksacji inaczej zwana metodą SOR jest modyfikacją metody Gaussa-seidla po przyspieszonej zbieżności konstruowanego ciągu.

(+) Zalety:

+ prowadzą szybko do rozwiązania

+ duża oszczędność czasu, gdy macierz jest rzadka (dużo zer)

+ nie wrażliwa na błędy popełnione ręcznie

+ nie wrażliwa na błędy zaokrągleń matematycznych

+ nadają się dla sprzętów o małej pamięci

INTERPOLACJA:

> kilka funkcji przyblizających

> funkcje przechodzą przez wszystkie punkty pomiarowe

> niewiele liczb punktów pomiarowych

APROKSYMACJA:

> jedna funkcja przybliżająca (czasem 2,3)

> funkja przechodzi tak aby rzad przybliżenia punktów pomiarowych był jak najmniejszy

> znaczna liczba pktów pomiarowych

Metoda najmniejszych kwadratów 

– standardowa metoda przybliżania rozwiązań układów nadokreślonych, tzn. zestawurównań, w którym jest ich więcej niż zmiennych. Nazwa „najmniejsze kwadraty” oznacza, że końcowe rozwiązanie tą metodą minimalizuje sumę kwadratów błędów przy rozwiązywaniu każdego z równań.

W statystyce wykorzystuje się ją do estymacji i wyznaczania linii trendu na podstawie zbioru danych w postaci par liczb. Najczęściej jest stosowana przy regresji liniowej, ale może też być stosowana do statystycznego wyznaczania parametrów nieliniowych linii trendu Metoda najmniejszych kwadratów zawsze daje wynik o najmniejszej sumie kwadratów błędów. Nie ma jednak gwarancji, że wynik ten ma jakikolwiek praktyczny sens. W szczególności, jeśli w danych występuje dużo elementów odstających, rezultaty mogą nie mieć nic wspólnego z rzeczywistą linią trendu czy zależnością między zjawiskami opisywanymi przez zmienne losowe.

Metoda najmniejszych kwadratów dostosowuje się bowiem do punktów najbardziej oddalonych od średniej, które mogą wprowadzić największy błąd. Jeśli mamy w danych pojedynczą zakłócającą obserwację (outlier) bardzo oddaloną od reszty, przyciągnie ona do siebie linię trendu. Takie zjawisko jest niestety częste w realnych danych, nie należy więc stosować metody najmniejszych kwadratów bez sprawdzenia (choćby na wykresie rozrzutu) braku elementów odstających i ich usunięcia.