CZĘŚĆ II

Schemat wyjściowy:

Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna.

Układ podstawowy:

Oddziaływanie momentu jednostkowego X₁ = 1:

Odziaływanie momentu jednostkowego X₂ = 1:

Układ równań kanonicznych metody sił:

$$\left\{ \begin{matrix} \delta_{11}X_{1}\left( x_{i} \right) + \delta_{12}X_{2}\left( x_{i} \right) +_{1P}\left( x_{i} \right) = 0 \\ \delta_{21}X_{1}\left( x_{i} \right) + \delta_{22}X_{2}\left( x_{i} \right) +_{2P}\left( x_{i} \right) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

gdzie:

$$\delta_{\text{ik}} = \sum_{}^{}{\int_{s}^{}{\frac{M_{i} \bullet M_{k}}{\text{EI}}\text{ds}}}$$

Korzystając z twierdzenia Maxwella _iP(x_i)=_Pi(x_i) wyznaczono z równania różniczkowego osi odkształconej belki:

$$EI\frac{d^{2}_{\text{Pi}}\left( x_{i} \right)}{\text{dx}^{2}} = - M\left( x_{i} \right).$$

$$\delta_{11} = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack \frac{1}{2} \bullet 3 \bullet 1 \bullet \frac{2}{3} \bullet 1 + \frac{1}{2} \bullet 3 \bullet 1 \bullet \frac{2}{3} \bullet 1 + \frac{1}{2} \bullet 3 \bullet \left( - 1 \right) \bullet \frac{2}{3} \bullet \left( - 1 \right) + \frac{1}{2} \bullet 6 \bullet \left( - 1 \right) \bullet \frac{2}{3} \bullet ( - 1) \right\rbrack = \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{\text{EI}}}$$

$$\delta_{12} = \delta_{21} = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack \frac{1}{2} \bullet ( - 1) \bullet 6 \bullet \frac{1}{3} \bullet 1 \right\rbrack = \mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}$$

$$\delta_{22} = \frac{1}{\text{EI}}\left\lbrack \frac{1}{2} \bullet 6 \bullet 1 \bullet \frac{2}{3} \bullet 1 \right\rbrack = \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{\text{EI}}}$$

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{5}{\text{EI}}X_{1}\left( x_{i} \right) - \frac{1}{\text{EI}}X_{2}\left( x_{i} \right) +_{1P}\left( x_{i} \right) = 0 \\ - \frac{1}{\text{EI}}X_{1}\left( x_{i} \right) + \frac{2}{\text{EI}}X_{2}\left( x_{i} \right) +_{2P}\left( x_{i} \right) = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Po przekształceniu uzyskano ogólne rozwiązanie układu równań kanonicznych matody sił:

$$\left\{ \begin{matrix} X_{1}\left( x_{i} \right) = - \frac{\text{EI}}{9}\left\lbrack 2 \right.\ _{1P} +_{1P}\rbrack \\ X_{2}\left( x_{i} \right) = - \frac{\text{EI}}{9}\lbrack 5_{2P} +_{1P}\rbrack \\ \end{matrix} \right.\ $$

Wyznaczenie funkcji ugięcia belki _P1(x_i) :

Przedział <D-E>

$$M\left( x_{4} \right) = \frac{x_{4}}{6} - 1$$

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{P1}\left( x_{4} \right)}{\text{dx}^{2}} = - \frac{x_{4}}{6} + 1$$

$$\text{EI}\frac{d_{P1}\left( x_{4} \right)}{\text{dx}} = - \frac{{x_{4}}^{2}}{12} + x_{4} + c$$

$$\text{EI}_{P1}\left( x_{4} \right) = - \frac{{x_{4}}^{3}}{36} + \frac{{x_{4}}^{2}}{2} + x_{4} \bullet c + d$$

Warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} x_{4} = 0,\ \delta_{P1}\left( 0 \right) = 0 \rightarrow d = 0 \\ x_{4} = 6,\ \delta_{P1}\left( 6 \right) = 0 \rightarrow c = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ostatecznie:

$$\mathbf{}_{\mathbf{P}\mathbf{1}}^{\mathbf{\text{DE}}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{4}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}\left\lbrack \mathbf{-}\frac{{\mathbf{x}_{\mathbf{4}}}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{36}}\mathbf{+}\frac{{\mathbf{x}_{\mathbf{4}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{- 2}\mathbf{x}_{\mathbf{4}} \right\rbrack$$

Przedział <C-D>

$$M\left( x_{3} \right) = - \frac{x_{3}}{3}$$

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{P1}\left( x_{3} \right)}{\text{dx}^{2}} = \frac{x_{3}}{3}$$

$$\text{EI}\frac{d_{P1}\left( x_{3} \right)}{\text{dx}} = \frac{{x_{3}}^{2}}{6} + c$$

$$\text{EI}_{P1}\left( x_{3} \right) = \frac{{x_{3}}^{3}}{18} + x_{3} \bullet c + d$$

Warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{d_{P1}^{\text{CD}}(x_{3} = 3)}{\text{dx}_{3}} = \frac{d_{P1}^{\text{DE}}(x_{4} = 0)}{\text{dx}_{4}} \rightarrow c = - 3,5 \\ x_{3} = 3,\ \delta_{P1}\left( 3 \right) = 0 \rightarrow d = 9 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ostatecznie:

$$\mathbf{}_{\mathbf{P}\mathbf{1}}^{\mathbf{\text{CD}}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{3}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}\left\lbrack \frac{{\mathbf{x}_{\mathbf{3}}}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{18}}\mathbf{- 3,5}\mathbf{x}_{\mathbf{3}}\mathbf{+ 9} \right\rbrack$$

Przedział <B-C>

$$M\left( x_{2} \right) = 1 - \frac{x_{2}}{3}$$

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{P1}\left( x_{2} \right)}{\text{dx}^{2}} = \frac{x_{2}}{3} - 1$$

$$\text{EI}\frac{d_{P1}\left( x_{2} \right)}{\text{dx}} = \frac{{x_{2}}^{2}}{6} - x_{2} + c$$

$$\text{EI}_{P1}\left( x_{2} \right) = \frac{{x_{2}}^{3}}{18} - \frac{{x_{2}}^{2}}{2} + x_{2} \bullet c + d$$

Warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} x_{2} = 0,\ \delta_{P1}\left( 0 \right) = 0 \rightarrow d = 0 \\ _{P1}^{\text{CD}}(x_{3} = 0) =_{P1}^{\text{BC}}(x_{2} = 3) \rightarrow c = 4 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ostatecznie:

$$\mathbf{}_{\mathbf{P}\mathbf{1}}^{\mathbf{\text{BC}}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}\left\lbrack \frac{{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{18}}\mathbf{-}\frac{{\mathbf{x}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{+ 4}\mathbf{x}_{\mathbf{2}} \right\rbrack$$

Przedział <A-B>

$$M\left( x_{1} \right) = \frac{x_{1}}{3}$$

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{P1}\left( x_{1} \right)}{\text{dx}^{2}} = - \frac{x_{1}}{3}$$

$$\text{EI}\frac{d_{P1}\left( x_{1} \right)}{\text{dx}} = - \frac{{x_{1}}^{2}}{6} + c$$

$$\text{EI}_{P1}\left( x_{1} \right) = - \frac{{x_{1}}^{3}}{18} + x_{1} \bullet c + d$$

Warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} x_{1} = 0,\ \delta_{P1}\left( 0 \right) = 0 \rightarrow d = 0 \\ x_{1} = 3,\ \delta_{P1}\left( 3 \right) = 0 \rightarrow c = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ostatecznie:

$$\mathbf{}_{\mathbf{P}\mathbf{1}}^{\mathbf{\text{AB}}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{1}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}\left\lbrack \mathbf{-}\frac{{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{18}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{x}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{2}} \right\rbrack$$

Wyznaczenie funkcji ugięcia belki _P2(x_i) :

Przedział <D-E>

$$M\left( x_{4} \right) = \frac{x_{4}}{6}$$

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{P2}\left( x_{4} \right)}{\text{dx}^{2}} = - \frac{x_{4}}{6}$$

$$\text{EI}\frac{d_{P2}\left( x_{4} \right)}{\text{dx}} = - \frac{{x_{4}}^{2}}{12} + c$$

$$\text{EI}_{P2}\left( x_{4} \right) = - \frac{{x_{4}}^{3}}{36} + x_{4} \bullet c + d$$

Warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} x_{4} = 0,\ \delta_{P2}\left( 0 \right) = 0 \rightarrow d = 0 \\ x_{4} = 6,\ \delta_{P2}\left( 6 \right) = 0 \rightarrow c = 1 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ostatecznie:

$$\mathbf{}_{\mathbf{P}\mathbf{2}}^{\mathbf{\text{DE}}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{4}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}\left\lbrack \mathbf{-}\frac{{\mathbf{x}_{\mathbf{4}}}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{36}}\mathbf{+}\mathbf{x}_{\mathbf{4}} \right\rbrack$$

Przedział <C-D>

M(x₃) = 0

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{P2}\left( x_{3} \right)}{\text{dx}^{2}} = 0$$

$$\text{EI}\frac{d_{P2}\left( x_{3} \right)}{\text{dx}} = c$$

EI_P2(x₃) = x₃ • c + d

Warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} \frac{d_{P2}^{\text{CD}}(x_{3} = 3)}{\text{dx}_{3}} = \frac{d_{P2}^{\text{DE}}(x_{4} = 0)}{\text{dx}_{4}} \rightarrow c = 1 \\ x_{3} = 3,\ \delta_{P1}\left( 3 \right) = 0 \rightarrow d = - 3 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ostatecznie:

$$\mathbf{}_{\mathbf{P}\mathbf{2}}^{\mathbf{\text{CD}}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{3}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}\left\lbrack \mathbf{x}_{\mathbf{3}}\mathbf{- 3} \right\rbrack$$

Przedział <B-C>

M(x₂) = 0

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{P2}\left( x_{2} \right)}{\text{dx}^{2}} = 0$$

$$\text{EI}\frac{d_{P2}\left( x_{2} \right)}{\text{dx}} = c$$

EI_P2(x₂) = x₂ • c + d

Warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} x_{2} = 0,\ \delta_{P1}\left( 0 \right) = 0 \rightarrow d = 0 \\ _{P2}^{\text{CD}}\left( x_{3} = 0 \right) =_{P2}^{\text{BC}}\left( x_{2} = 3 \right) \rightarrow c = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ostatecznie:

$$\mathbf{}_{\mathbf{P}\mathbf{2}}^{\mathbf{\text{BC}}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{EI}}}\left\lbrack \mathbf{-}\mathbf{x}_{\mathbf{2}} \right\rbrack$$

Przedział <A-B>

M(x₁) = 0

$$\text{EI}\frac{d^{2}_{P2}\left( x_{1} \right)}{\text{dx}^{2}} = 0$$

$$\text{EI}\frac{d_{P2}\left( x_{1} \right)}{\text{dx}} = c$$

EI_P2(x₁) = x₁ • c + d

Warunki brzegowe:

$$\left\{ \begin{matrix} x_{1} = 0,\ \delta_{P1}\left( 0 \right) = 0 \rightarrow d = 0 \\ x_{1} = 3,\ \delta_{P1}\left( 3 \right) = 0 \rightarrow c = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ostatecznie:

_P2^AB(x₁)=0

Wyznaczone funkcje ugięcia belki _P1(x_i) oraz _P2(x_i) podstawiono do ogólnego rozwiazania układu równań kanonicznych dzięki czemu uzyskano dla każdego z przyjętych przedziałów funkcję linii wpływu wartości nadliczbowych X₁(x_i) oraz X₂(x_i) :

Przedział	l.w. X1(xi)	l.w. X2(xi)
A-B	$$- \frac{1}{9}\left\lbrack - \frac{1}{9}{x_{1}}^{3} + x_{1} \right\rbrack$$	$$- \frac{1}{9}\left\lbrack - \frac{5}{18}{x_{1}}^{3} + \frac{5}{2}x_{1} \right\rbrack$$
B-C	$$- \frac{1}{9}\left\lbrack \frac{1}{9}{x_{2}}^{3} - {x_{2}}^{2} + 7x_{2} \right\rbrack$$	$$- \frac{1}{9}\left\lbrack \frac{1}{18}{x_{2}}^{3} - \frac{1}{2}{x_{2}}^{2} - x_{2} \right\rbrack$$
C-D	$$- \frac{1}{9}\left\lbrack \frac{1}{9}{x_{3}}^{3} - 6x_{3} + 15 \right\rbrack$$	$$- \frac{1}{9}\left\lbrack \frac{1}{18}{x_{3}}^{3} + \frac{3}{2}x_{3} - 6 \right\rbrack$$
D-E	$$- \frac{1}{9}\left\lbrack - \frac{1}{12}{x_{4}}^{3} + {x_{4}}^{2} - 3x_{4} \right\rbrack$$	$$- \frac{1}{9}\left\lbrack - \frac{1}{6}{x_{4}}^{3} + \frac{1}{2}{x_{4}}^{2} + 3x_{4} \right\rbrack$$

Wykresy linii wpływu wartości nadliczbowych X₁(x_i) oraz X₂(x_i) :

Wyznaczenie funkcji linii wpływu reakcji R_D oraz momentu zginającego M_α dla układu podstawowego:

Linia wpływu R_D:

Siła P=1 działa na przedziale <A-B> ; 0 ≤ x₁ ≤ 3

ΣM_B^BC = 0     V_C^BC = 0

ΣM_D^CE = 0     R_E = 0

ΣM_E^CE = 0     R_D=0

Siła P=1 działa na przedziale <B-C> ; 0 ≤ x₂ ≤ 3

$$\Sigma M_{B}^{\text{BC}} = 0\ \ \ \ \ P \bullet x_{2} - 3V_{C}^{\text{BC}} = 0\ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ V_{C}^{\text{BC}} = \frac{1}{3}x_{2}$$

$$\Sigma M_{D}^{\text{CE}} = 0\ \ \ \ \ 3V_{C}^{\text{BC}} + 6R_{E} = 0\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ R_{E}^{} = - \frac{1}{6}x_{2}$$

$$\Sigma M_{E}^{\text{CE}} = 0\ \ \ \ \ 9V_{C}^{\text{BC}} - 6R_{D} = 0\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \mathbf{R}_{\mathbf{D}}^{}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}$$

Siła P=1 działa na przedziale <C-D> ; 0 ≤ x₃ ≤ 3

$$\Sigma M_{D}^{\text{CE}} = 0\ \ \ \ \ P \bullet \left( 3 - x_{3} \right) + 6R_{E} = 0\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ R_{E}^{} = \frac{1}{6}x_{3} - \frac{1}{2}$$

$$\Sigma M_{E}^{\text{CE}} = 0\ \ \ \ \ 6R_{D} - P \bullet \left( 9 - x_{3} \right) = 0\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \mathbf{R}_{\mathbf{D}}^{}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}_{\mathbf{3}}$$

Siła P=1 działa na przedziale <D-E> ; 0 ≤ x₄ ≤ 6

$$\Sigma M_{D}^{\text{CE}} = 0\ \ \ \ \ P \bullet x_{4} - 6R_{E} = 0\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ R_{E}^{} = \frac{1}{6}x_{4}$$

$$\Sigma M_{E}^{\text{CE}} = 0\ \ \ \ \ 6R_{D} - P \bullet \left( 6 - x_{4} \right) = 0\ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \ \mathbf{R}_{\mathbf{D}}^{}\mathbf{= 1 -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}_{\mathbf{4}}$$

Linia wpływu M_α:

Siła P=1 działa na przedziale <A-B> ; 0 ≤ x₁ ≤ 3

ΣM_α^P = 0     M_α=0

Siła P=1 działa na przedziale <B-C> ; 0 ≤ x₂ ≤ 3

$$\Sigma M_{\alpha}^{P} = 0\ \ \ \ \ M_{\alpha} = 4 \bullet R_{E}^{\text{CE}} = 4 \bullet \left( - \frac{1}{6}x_{2} \right)\text{\ \ \ \ \ }\mathbf{M}_{\mathbf{\alpha}}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}$$

Siła P=1 działa na przedziale <C-D> ; 0 ≤ x₃ ≤ 3

$$\Sigma M_{\alpha}^{P} = 0\ \ \ \ \ M_{\alpha} = 4 \bullet R_{E}^{\text{CE}} = 4 \bullet \left( \frac{1}{6}x_{3} - \frac{1}{2} \right)\text{\ \ \ \ \ }\mathbf{M}_{\mathbf{\alpha}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}_{\mathbf{3}}\mathbf{- 2}$$

Siła P=1 działa na przedziale <D-α> ; 0 ≤ x₄ ≤ 2

$$\Sigma M_{\alpha}^{P} = 0\ \ \ \ \ M_{\alpha} = 4 \bullet R_{E}^{\text{CE}} = 4 \bullet \left( \frac{1}{6}x_{4} \right)\text{\ \ \ \ \ }\mathbf{M}_{\mathbf{\alpha}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}_{\mathbf{4}}$$

Siła P=1 działa na przedziale <α-E> ; 2 ≤ x₄ ≤ 6

$$\Sigma M_{\alpha}^{P} = 0\ \ \ \ \ M_{\alpha} = 4 \bullet R_{E}^{\text{CE}} - P \bullet \left( x_{4} - 2 \right) = 4 \bullet \left( \frac{1}{6}x_{4} \right) - x_{4} + 2\ \ \ \ \ \mathbf{M}_{\mathbf{\alpha}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}_{\mathbf{4}}\mathbf{+ 2}$$

Wykresy linii wpływu reakcji R_D⁰ i momentu zginającego M_α⁰:

Wartości reakcji R_D i momentu zginającego M_α:

	X1	X2
RD	$$\frac{1}{2}$$	$$\frac{1}{6}$$
Mα	$$- \frac{2}{3}$$	$$\frac{1}{3}$$

Funkcje linii wpływu reakcji R_D^N oraz momentu zginającego M_α^N dla układu statycznie niewyznaczalnego określono z dwóch poniższych wzorów:

l.w. R_D^N = l.w. R_D⁰ + R_D^X1 • l.w. X₁(x_i) + R_D^X2 • l.w. X₂(x_i)

l.w. M_α^N = l.w. M_α⁰ + M_α^X1 • l.w. X₁(x_i) + M_α^X2 • l.w. X₂(x_i)

Po podstawieniu do wzorów wyliczonych wcześniej wartości:

- linii wpływu wartości nadliczbowych X₁(x_i) i X₂(x_i),

-linii wpływu reakcji R_D⁰ i momentu zginającego M_α⁰ dla układu podstawowego,

-reakcji R_D i momentu zginającego M_α w przekroju α − α

uzyskano wartości funkcji linii wpływu reakcji R_D^N oraz momentu zginającego M_α^N dla układu statycznie niewyznaczalnego:

Przedział	l.w. RD^N	l.w. Mα^N
A − B	$$\frac{11}{972}{x_{1}}^{3} - \frac{11}{108}x_{1}$$	$$\frac{1}{486}{x_{1}}^{3} - \frac{1}{54}x_{1}$$
B − C	$$- \frac{7}{972}{x_{2}}^{3} + \frac{7}{108}{x_{2}}^{2} + \frac{7}{54}x_{2}$$	$$\frac{1}{162}{x_{2}}^{3} - \frac{1}{18}{x_{2}}^{2} - \frac{1}{9}x_{2}$$
C − D	$$- \frac{7}{972}{x_{3}}^{3} + \frac{5}{36}x_{3} + \frac{7}{9}$$	$$\frac{1}{162}{x_{3}}^{3} + \frac{1}{6}x_{3} - \frac{2}{3}$$
D − α	$$\frac{5}{648}{x_{4}}^{3} - \frac{7}{108}{x_{4}}^{2} - \frac{1}{18}x_{4} + 1$$	$$\frac{1}{18}{x_{4}}^{2} + \frac{1}{3}x_{4}$$
α − E		$$\frac{1}{18}{x_{4}}^{2} - \frac{2}{3}x_{4} + 2$$

Wykresy linii wpływu reakcji R_D^N oraz momentu zginającego M_α^N dla układu statycznie niewyznaczalnego: