Alicja Majda

I Pracownia Fizyczna

30.03.2011r.

Wyznaczanie prędkości dźwięku w cieczach metodą fali biegnącej

Wstęp teoretyczny

Fale biegnące w ośrodkach sprężystych

Po zmianie parametrów objętości ośrodka spręzystgo następują drgania harmomoniczne, które dzięki sprężystości ośrodka są przekazywane do dalszych jego części. Falę taką można zapisać w postaci równania:

$$\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} = u^{2}\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}$$

Rozwiązaniem równania jest fala o stałym kształcie, opisana przez funkcję harmoniczne:

$$y = Acos\left\lbrack \omega\left( t - \frac{x}{u} \right) \right\rbrack$$

Gdzie: u = λf

ω = 2πf

k= 2π/λ

Zatem fala biegnąca opisana jest przez równanie:

y = Acos(ωt − kx)

Prędkość fazowa i grupowa fali

Prędkość fazowa jest to prędkość przemieszczania się określonej fazy fali.

W równaniu:          y = F(ωt − kx) fazą jest argument, zatem:

$V = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}{k}$ (1.1)

Fala wykazuje dyspersję, jeżeli V zależy od λ. Wtedy mamy do czynienia z dyspersją.

Przy nakładaniu się dwóch ciągów fal o podobnych długościach i prędkościach, maksymalne wychylenie będzie przesuwało się z prędkością grupową u_g.

$$V_{g} = \frac{\text{dω}}{\text{dk}} = u - \lambda\frac{\text{dV}}{\text{dλ}}$$

Fale poprzeczne i podłużne

Fala poprzeczna jest to fala, w której cząstki ośrodka drgają prostopadle do kierunku przemieszczania się fali, natomiast w fali podłużnej cząstki drgają zgodnie z kierunkiem fali.

Ciecze są ośrodkami, które wykazują jedynie sprężystość objętości dlatego w nich mogą powstawać tylko fale podłużne.

Fale dźwiękowe i ultradźwięki

Fale dźwiękowe to fale słyszalne dla ucha człowieka, znajdujące się w zakresie częstotliwośći 20 Hz- 20kHz.

Fale ultradźwiękowe znajdują się w zakresie częstotliwości, powyżej 20 kHz.

W doświadczeniu do wytworzenia fal ultradźwiękowych użyto przetworników piezoelektrycznych. Zasada ich działania opiera się na tym, ze w polu elektrycznym umieszcza się kryształ( np. kwarc) który doznaje odkształceń w zależności od przyłożonego pola. Kryształ drga, gdy będzie się przykładać szybko zmienne pole elektryczne. Zjawisko to wykorzystano w generatorze nadawczym, który emituje fale ultradźwiękowe. Generator odbiorczy działa odwrotnie, ma za zadanie odbierać fale ultradźwiękowe przez wytworzenie różnicy potencjałów na krysztale piezoelektrycznym.

Krzywe Lissajous

Krzywe te powstają przez prostopadłe nakładanie się ruchów harmonicznych. Są opisywane przez równania:

$$x = Acos\left( 2\pi\frac{1}{T_{1}} \right)$$

$$y = Bcos\left( 2\pi\frac{1}{T_{2}} - \delta \right)$$

T₁,T₂- okresy drgań

δ- faza początkowa

Prędkość rozchodzenia się fal mechanicznych w cieczach

Prędkość ta zależy od ciśnienia, temperatury i gęstości ośrodka. Dla większości cieczy zależność prędkość rozchodzenia się fali od temperatury ciśnienia jest w przybliżeniu liniowa.

Opracowanie wyników:

Celem doświadczenia było zbadanie prędkości fali ultradźwiękowej w wodzie destylowanej oraz w roztworach soli NaCl.

Średnia arytmetyczna: $x_{sr} = \ \frac{1}{n}\sum_{i = 0}^{n}x_{i}$ (1.1)

Każdy pomiar był wykonywany dla częstotliwości :

f= 2 MHz

Δf=1 Hz

T= $\frac{1}{f}$ zatem T= 5·10^-7 s

Dla okresu fali, policzono niepewność korzystając z różniczki zupełnej:$\frac{}{}$

$$T = \frac{1}{f^{2}} \frac{f}{\sqrt{3}}$$

ΔT= 1,44·10^-13 s

W trakcie doświadczenia wykonano pomiary dla wody destylowanej, 5% NaCl, 10% NaCl, 15% NaCl, 20% NaCl oraz roztwór NaCl o nieznanym stężeniu.

Aby obliczyć szybkość fali w danym roztworze skorzystano z wzoru (1.1)

Oraz obliczono jego niepewność za pomocą różniczki zupełnej:

Wszystkie pomiary zestawiono w tabelkach:

Woda destylowana

n-pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Położenie [mm]	0,11	0,48	0,86	1,25	1,64	2,01	2,385	2,76	3,155	3,503	3,91	4,26	4,67	5,045	5,425
$$\frac{\lambda}{2}\lbrack mm\rbrack$$	−	0,37	0,38	0,39	0,39	0,37	0,375	0,375	0,395	0,348	0,407	0,35	0,41	0,375	0,38
Długość fali λ [mm]	−	0,74	0,76	0,78	0,78	0,74	0,75	0,75	0,79	0,696	0,814	0,7	0,82	0,75	0,76
Szybkość fali [m/s]	−	1480	1520	1560	1560	1480	1500	1500	1580	1390	1628	1400	1640	1500	1520

Korzystając ze wzoru (1.1) wyliczono średnią długość fali, oraz średnią szybkość fali:

λ_śr= 0,759 mm = 759 nm

oraz jej niepewność z funkcji REGLINP w programie Excel 2007:

Δλ = 0, 0013 mm = 1, 3 nm

V_śr= 1518,571 m/s

ΔV= 2,6 m/s

Wykres 1. Zależność położenia mikrofonu od numeru pomiaru, dla wody destylowanej.

5% NaCl

n-pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Położenie [mm]	0,42	0,825	1,22	1,61	2,01	2,4	2,8	3,2	3,509	3,99	4,38	4,76	5,17	5,507	5,97
$$\frac{\lambda}{2}\lbrack mm\rbrack$$	−	0,405	0,395	0,39	0,4	0,39	0,4	0,4	0,309	0,481	0,39	0,38	0,41	0,337	0,463
Długość fali λ [mm]	−	0,81	0,79	0,78	0,8	0,78	0,8	0,8	0,618	0,962	0,78	0,76	0,82	0,674	0,926
Szybkość fali [m/s]	−	1620	1580	1560	1600	1560	1600	1600	1236	1924	1560	1520	1640	1348	1852

Korzystając ze wzoru (1.1) wyliczono średnią długość fali, oraz średnią szybkość fali:

λ_śr= 0,793 mm = 793 nm

oraz jej niepewność z funkcji REGLINP w programie Excel 2007:

Δλ = 0, 003 mm = 3 nm

V_śr= 1585,714 m/s

ΔV= 6 m/s

Wykres 2. Zależność położenia mikrofonu od numeru pomiaru dla 5% NaCl

10% NaCl

n-pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Położenie [mm]	0,135	0,505	0,96	1,35	1,76	2,165	2,575	2,98	3,28	4,2	4,6	5,01	5,405	5,81	5,71
$$\frac{\lambda}{2}\lbrack mm\rbrack$$		0,37	0,455	0,39	0,41	0,405	0,41	0,405	0,3	0,92	0,4	0,41	0,395	0,405	0,4
Długość fali λ [mm]		0,74	0,91	0,78	0,82	0,81	0,82	0,81	0,6	1,84	0,8	0,82	0,79	0,81	0,8
Szybkość fali [m/s]		1480	1820	1560	1640	1620	1640	1620	1200	3680	1600	1640	1580	1620	1600

Korzystając ze wzoru (1.1) wyliczono średnią długość fali, oraz średnią szybkość fali:

λ_śr= 0,867 mm = 867 nm

oraz jej niepewność z funkcji REGLINP w programie Excel 2007:

Δλ = 0, 0153 mm = 15, 3 nm

V_śr= 1735,714 m/s

ΔV= 30,6 m/s

Wykres 3. Zależność położenia mikrofonu od numeru pomiaru dla 10% NaCl

15% NaCl

n-pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Położenie [mm]	0,375	0,795	1,22	1,64	2,06	2,48	2,9	3,31	3,74	4,15	4,506	5	5,42	5,84	6,25
$$\frac{\lambda}{2}\lbrack mm\rbrack$$	−	0,42	0,425	0,42	0,42	0,42	0,42	0,41	0,43	0,41	0,356	0,494	0,42	0,42	0,41
Długość fali λ [mm]	−	0,84	0,85	0,84	0,84	0,84	0,84	0,82	0,86	0,82	0,712	0,988	0,84	0,84	0,82
Szybkość fali [m/s]	−	1680	1700	1680	1680	1680	1680	1640	1720	1640	1424	1976	1680	1680	1640

Korzystając ze wzoru (1.1) wyliczono średnią długość fali, oraz średnią szybkość fali:

λ_śr= 0,839 mm = 839nm

oraz jej niepewność z funkcji REGLINP w programie Excel 2007:

Δλ = 0, 00228 mm = 2, 28 nm

V_śr= 1678,571 m/s

ΔV= 4,56 m/s

Wykres 4. Zależność położenia mikrofonu od numeru pomiaru dla 15%NaCl

20% NaCl

n-pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Położenie [mm]	0,355	0,79	1,23	1,67	2,105	2,505	2,99	3,42	3,855	4,29	4,73	5,17	5,605	6,05	6,5
$$\frac{\lambda}{2}\lbrack mm\rbrack$$	−	0,435	0,44	0,44	0,435	0,4	0,485	0,43	0,435	0,435	0,44	0,44	0,435	0,445	0,45
Długość fali λ [mm]	−	0,87	0,88	0,88	0,87	0,8	0,97	0,86	0,87	0,87	0,88	0,88	0,87	0,89	0,9
Szybkość fali [m/s]	−	1740	1760	1760	1740	1600	1940	1720	1740	1740	1760	1760	1740	1780	1800

Korzystając ze wzoru (1.1) wyliczono średnią długość fali, oraz średnią szybkość fali:

λ_śr= 0,877mm = 877 nm

oraz jej niepewność z funkcji REGLINP w programie Excel 2007:

Δλ = 0, 00139 mm = 1, 39 nm

V_śr= 1755,714 m/s

ΔV= 2,78 m/s

Wykres 5. Zależność położenia mikrofonu od numeru pomiaru, dla 20% NaCl

NaCl o nieznanym stężeniu

n-pomiar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Położenie [mm]	0,205	0,509	1	1,395	1,785	2,19	2,507	2,975	3,375	3,76	4,15	4,5055	4,95	5,35	5,74
$$\frac{\lambda}{2}\lbrack mm\rbrack$$	−	0,304	0,491	0,395	0,39	0,405	0,317	0,468	0,4	0,385	0,39	0,3555	0,4445	0,4	0,39
Długość fali λ [mm]	−	0,608	0,982	0,79	0,78	0,81	0,634	0,938	0,8	0,77	0,78	0,711	0,889	0,8	0,78
Szybkość fali [m/s]	−	1216	1964	1580	1560	1620	1268	1872	1600	1540	1560	1422	1778	1600	1560

Korzystając ze wzoru (1.1) wyliczono średnią długość fali, oraz średnią szybkość fali:

λ_śr= 0,791mm = 791 nm

oraz jej niepewność z funkcji REGLINP w programie Excel 2007:

Δλ = 0, 00377 mm = 3, 77 nm

V_śr= 1581,14 m/s

ΔV= 7,54 m/s

Wykres 6. Zależność położenia mikrofonu od numeru pomiaru dla nieznanego stężenia NaCl

Wykres 7. Zależność prędkości fali od stężenia roztworu.

Analizując dane na wykresie można zauważyć, że wartość prędkości dla roztworu 10% NaCl jest obarczona błędem grubym. Może to być spowodowane niedokładnym sporządzeniem tego roztworu. Te wartości zostały odrzucone, tak aby jak najdokładniej przedstawić zależności prędkości fali od stężenia roztworu.

Wykres 8. Zależność prędkości fali od stężenia roztworu

V= 11,343x + 1521,2

Podstawiając za V=1581,14

x= 5,28%

Wnioski

Prędkość fali jest proporcjonalna do stężenia roztworu tj. rośnie liniowo wraz ze wzrostem stężenia. Możliwe błędy w pomiarach są spowodowane, przez niedokładne wymieszanie roztworów soli orazmałą precyzją aparatury pomiarowej .

Doświadczalnie zmierzona wartość prędkości fali ultradźwiękowej jest bardzo zbliżona do wartości tablicowej.

Bibliografia

A.Magiera, I Pracownia Fizyczna, Kraków 2010

WWW.wikipedia.pl