FIZYKA EKSPERYMENTALNA

Ćwiczenie nr 19:

„Wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy”

Wydział Inżynierii Lądowej	Poniedziałek 14^15 - 17^00	Nr zespołu 5
	Data: 15.10.2012
Paweł Ostas Karolina Gadomska Katarzyna Osowska	Ocena z przygotowania:	Ocena ze sprawozdania:
Prowadzący: mgr inż. Leszek Pawlicki	Podpis prowadzącego:

Spis treści:

1. Wstęp teoretyczny 3

2. Przebieg ćwiczenia 4

3. Wykonane pomiary i rachunki 4

   1. Pomiar średnicy kulek..............................................................................4

   2. Pomiar masy kulek 5

      1. każda kulka pojedynczo ważona……………………………………..5

      2. wszystkie kulki ważymy razem ( jeden raz)……………………........5

   3. Objętość kulki………………………………………………………………….6

   4. Gęstość kulki…………………………………………………………………..6

4. Pomiar czasu opadania kulek w różnych cieczach…………………………….6

5. Inne niepewności potrzebne do obliczenia lepkości…………………………...7

6. Główne obliczenia dla gliceryny………………………………………………….7

   1. Prędkość graniczna…………………………………………………………..7

   2. Lepkość………………………………………………………………………...8

   3. Czas relaksacji (τ) i wykres s(t)……………………………………………..8

Wykres 1. Zależność drogi od czasu dla kulki stalowej opadającej w glicerynie……………..9

1. Główne obliczenia dla oleju silnikowego………………………………………..10

   1. Prędkość graniczna…………………………………………………………..10

   2. Lepkość………………………………………………………………………..10

   3. Czas relaksacji (τ) i wykres s(t)……………………………………………..11

Wykres 2. Zależność drogi od czasu dla kulki stalowej opadającej w oleju silnikowym……..12

1. Oszacowanie promienia kulki która nie osiągnie prędkości granicznej w glicerynie..12

2. Wnioski……………………………………………………………………………...13

1. Wstęp teoretyczny

Płyny są to substancje charakteryzujące się łatwością zmieniania wzajemnego położenia poszczególnych elementów nawet dla niewielkich sił, czego wynikiem jest swobodne przemieszczanie się (przepływ) płynu.

Pojęcie płynu utożsamiamy zarówno z cieczami, gazami, jak i mieszaninami różnych faz fizycznych, np. piana, emulsja czy zawiesina.

Lepkość jest podstawową cechą płynów definiowaną jako miara oporu wewnętrznego jaki stawia płyn poddawany naprężeniom ścinającym, zmuszającym go do przepływu. Tarcie spowodowane jest przekazywaniem pędy przez warstwy płynu poruszające się szybciej, warstwom wolniejszym. Jednostką lepkości jest [N*s/m²] lub [Pa*s].

W przypadku ruchu ciała w płynie ważną rolę odgrywa stała

Reynolds’a,

$$\text{Re} = \frac{\text{Vρl}}{\eta}\ $$

Liczba Reynolds’a determinuje podstawowe cechy przepływu:

• Re<<1 – przepływ laminarny (uwarstwiony)

• Re>1 – przepływ turbulentny (burzliwy)

Siłę oporu (Stokes’a) można przedstawić następująco:

Fs = −αηvl , gdzie:

Dla kuli α=6π i l=r, więc dla kuli:

Fs = −6πηvr - jest to tzw. Prawo Stokes’a.

Korzystając z praw Archimedesa i Stokes’a oraz prostych zależności możemy wyprowadzić wzór na prędkość graniczną kulki w cieczy:

$v_{\text{gr}} = \ \frac{2r^{2}g(\rho_{k} - \rho_{c})}{9\eta\left( 1 + 2.4\frac{r}{R} \right)(1 + 3.1\frac{r}{h})}$

1. Przebieg ćwiczenia

Ćwiczenie polegało na pomiarze czasu opadania kulki w dwóch szklanych cylindrach wypełnionych kolejno gliceryną i olejem silnikowym. Do obliczenia współczynnika lepkości potrzebne nam były pomiary następujących wielkośći:

• Średnica kulki (średni wynik z pomiaru 9 kulek za pomocą śruby mikrometrycznej)

• Masa kulki (pomiar dokonany za pomocą wagi precyzyjnej)

Inne wielkości niezbędne do wykonania ćwiczenia, podane w tablicach:

g = 9.81$\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

gęstość oleju silnikowego $\rho_{o} = 0.867\frac{g}{\text{cm}^{3}}$

gęstość gliceryny $\rho_{g} = 1.261\frac{g}{\text{cm}^{3}}$

średnice wewnętrzne rur 40 ± 0.3 mm

1. Wykonane pomiary i rachunki

   1. Pomiar średnicy kulek

Lp.	d [mm]
1	3.18
2	3.16
3	3.17
4	3.17
5	3.17
6	3.18
7	3.17
8	3.16
9	3.16

Dokładność śruby mikrometrycznej: ∆d=0.01 mm, n=9

$$\overset{\overline{}}{d} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(d_{i} - \overset{\overline{}}{d})}^{2}}{n} = 3.169\ \lbrack\text{mm}\rbrack\backslash n$$

Niepewność wyznaczenia średnicy kulki:

$$\mu\left( d \right) = \sqrt{{u^{A}(d)}^{2} + \frac{{(\Delta d)}^{2}}{3}} = 0.0063\ \lbrack\text{mm}\rbrack$$

ŚREDNICA KULKI: d = (3.169±0.0063) mm

1. Pomiar masy kulek

   1. każda kulka pojedynczo ważona

Lp.	Masa kulki [mg]
1	130.3
2	130.2
3	130.3
4	130.4
5	130.3
6	130.5
7	130.4
8	130.3
9	130.4

Przy serii pomiarów w obliczeniach bierzemy pod uwagę niepewność typu A.

Za masę kulki przyjmiemy średnią wszystkich pomiarów, obliczymy odchylenie standardowe średniej i niepewność wyznaczenia masy kulki.

Dokładność wagi precyzyjnej: ∆m=0.01 mg, n=9

$$\overset{\overline{}}{m} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}m_{i}}{n} = 0.130344\ \lbrack g\rbrack\backslash n$$

Niepewność wyznaczenia średnicy kulki:

$$\mu\left( m \right) = \sqrt{{u^{A}(m)}^{2} + \frac{{(\Delta m)}^{2}}{3}} = 0.000064\ \lbrack g\rbrack$$

MASA KULKI: m = (0.130344±0.000064) g

1. wszystkie kulki ważymy razem ( jeden raz)

m_9k+papierek=1583.8 [mg]

m_papierka=409.1[mg]

m_9k=1174.7 [mg] m_k=130.522 [mg]

Tym razem bierzemy pod uwagę niepewność typu B podzieloną przez liczbę kulek.

$u\left( m \right) = \sqrt{\frac{{(m)}^{2}}{3}\ }$= 0.000058 [g]

$$\mu\left( m \right) = \frac{u(m)}{9} = 0.000006\ \lbrack g\rbrack$$

Jak łatwo zauważyć niepewność wyznaczenia masy pojedynczej kulki poprzez zważenie wszystkich razem jest kilkakrotnie mniejsza od niepewności obliczonej poprzez zważenie każdej kulki osobno. W pierwszym przypadku błąd popełniony jest tylko raz i dla dziewięciu kulek, a w drugim przypadku za każdym razem popełniamy błąd. Dlatego też do dalszych obliczeń za masę kulki przyjmuję:

MASA KULKI m = (0.130522±0.000006) g

1. Objętość kulki

$$V_{k} = \frac{\pi d^{3}}{6} = 0.016663\text{\ cm}^{3}$$

$$u\left( V_{k} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\partial V}{\partial d} \right)^{2}*{u\left( d \right)}^{2}} = \sqrt{\frac{\pi d^{2}}{2}*u(d)} = 0.000101\ \text{cm}^{3}$$

OBJĘTOŚĆ KULKI : V_k = (0.016663±0.00101) cm³

1. Gęstość kulki

$$\rho_{k} = \frac{m_{k}}{V_{k}} = \frac{0.130522}{0.016663} = 7.833\ \frac{g}{\text{cm}^{3}}$$

$$u\left( \rho_{k} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\partial\rho}{\partial m} \right)^{2}*{u\left( m \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\rho}{\partial V} \right)^{2}*{u\left( V \right)}^{2}} = \sqrt{\frac{u^{2}(m)}{{V_{k}}^{2}} + \frac{m^{2}*u^{2}(V)}{{V_{k}}^{4}}} = 0.048\ \frac{g}{\text{cm}^{3}}$$

GĘSTOŚĆ KULKI : ρ_k = (7.833±0.048) g/cm³

1. Pomiar czasu opadania kulek w różnych cieczach

Lp.	Droga [cm]	Czas [s]
1	110	29.62
2	110	29.60
3	110	29.94
4	110	29.78
5	110	29.72
6	110	29.44
7	110	29.28
8	110	29.44
9	110	29.12

Tab.2 Czas opadu w glicerynie Tab.3 Czas opadu w oleju samochodowym

1. Inne niepewności potrzebne do obliczenia lepkości

W takich przypadkach jak np. stoper jako ∆t przyjmujemy wartość najmniejszej podziałki elementarnej, w przypadku naszego urządzenia będzie to

∆t=0.01 [s]

$u\left( t \right) = \sqrt{\frac{{0.01}^{2}}{3}\ }$= 0.0058 [s]

Przyjmujemy, że czas reakcji eksperymentatora ∆x_e wynosi 0.1 [s],

∆t_e = 0.2 [s] , gdyż dwukrotnie dokonywaliśmy pomiaru (start, stop).

$u\left( {\Delta t}_{e} \right) = \frac{0.2}{\sqrt{3}}\ $= 0.12 [s]

$$u\left( t \right) = \sqrt{{u(t)}^{2} + {u({\Delta t}_{e})}^{2}} = 0.12\ \lbrack s\rbrack$$

Jeżeli chodzi o niepewność drogi to bierzemy pod uwagę niepewność eksperymentatora ∆s_e , która dla podwójnego odczytu wynosi 2mm

∆s_e = 2mm

u(s) = $\frac{2}{\sqrt{3}}$ = 1.2 [mm]

1. Główne obliczenia dla gliceryny

   1. Prędkość graniczna

Przyjmujemy, że droga opadania ruchem jednostajnym kulek jest stała i równa s=(110±0.12) cm. Korzystając z prostego wzoru na opis ruchu jednostajnego obliczymy średnią prędkość graniczną:

$$v_{\text{gr}} = \ \frac{s}{t_{sr}}$$

$$\mathbf{t}_{\mathbf{g}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}t_{\text{gi}}}{n} = \mathbf{(29.55 \pm 0.12)s}$$

$\mathbf{v}_{\mathbf{g}} = \ \frac{s}{t_{g}}\ $= $\frac{110}{29.55}$ = 3.723 cm/s

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{v}_{\mathbf{g}} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\partial v}{\partial s} \right)^{2}*{u\left( s \right)}^{2} + \left( \frac{\partial v}{\partial t} \right)^{2}*{u\left( t \right)}^{2}} = \sqrt{\frac{u^{2}(s)}{{t_{g}}^{2}} + \frac{s^{2}*u^{2}(t)}{{t_{g}}^{4}}} = \mathbf{0.016\ cm/s}$$

PRĘDKOŚĆ GRANICZNA KULKI W GLICERYNIE: v_gr = (3.723±0.016) cm/s

1. Lepkość

Dysponując obliczonymi danymi możemy obliczyć poszukiwaną w zadaniu lepkość gliceryny i oleju samochodowego korzystając ze wzoru:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{\eta}_{\mathbf{g}} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\partial\eta}{\partial d} \right)^{2}*{u\left( d \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\eta}{\partial\rho_{k}} \right)^{2}*{u\left( \rho_{k} \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\eta}{\partial v_{g}} \right)^{2}*{u\left( v_{g} \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\eta}{\partial D} \right)^{2}*{u\left( D \right)}^{2}}$$

$$\frac{\partial\eta}{\partial d} = - \frac{Ddg(D + 1.2d)(\rho_{c} - \rho_{k})}{9v_{g}{(D + 2.4d)}^{2}} = - 592.791939$$

$\frac{\partial\eta}{\partial\rho_{k}} = \ \frac{d^{2}g}{18v_{g}(1 + 2.4\frac{d}{D})} =$ 0.0001442

$$\frac{\partial\eta}{\partial v_{g}} = \ - \frac{d^{2}g(\rho_{k} - \rho_{c})}{18{v_{g}}^{2}(1 + 2.4\frac{d}{D})} = - 25.46667$$

$$\frac{\partial\eta}{\partial D} = \ \frac{4d^{3}g(\rho_{k} - \rho_{c})}{3D^{2}v_{g}{(1 + 2.4\frac{d}{D})}^{2}} = 0.442281$$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{\eta}_{\mathbf{g}} \right) = \sqrt{{592.7919}^{2}*{0.0063*10}^{- 6} + {0.00014}^{2}*48^{2} + {25.46667}^{2}*{0.016*10}^{- 4} + {0.442881}^{2}*{0.3*10}^{- 6}} = = \mathbf{0.057}\ \lbrack Pa*s\rbrack$

LEPKOŚĆ GLICERYNY: η_g = (0.811±0.057) [Pa*s]

1. Czas relaksacji (τ) i wykres s(t)

Korzystamy z zależności s(t) możemy obliczyć czas relaksacji (τ), gdzie:

$$s\left( t \right) = At - \frac{A}{B}\left( 1 - e^{- Bt} \right) = v_{\text{gr}}t - v_{\text{gr}}\tau(1 - e^{\frac{- t}{\tau}})$$

gdzie: $A = \ \frac{2r^{2}g(\rho_{k} - \rho_{c})}{9\eta}$ , a $B = \ \frac{6\pi\eta r}{m_{k}}$ [1/s] dlatego $\frac{1}{B} = \tau$

Zatem $\tau = \frac{m_{k}}{3\pi\eta d} = \ \frac{0.130522*10^{- 3}}{3\pi 0.811*3.169*10^{- 3}} = 0.00539\ \lbrack s\rbrack$

$$u\left( \tau \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial\tau}{\partial d} \right)^{2}*{u\left( d \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\tau}{\partial m_{k}} \right)^{2}*{u\left( m_{k} \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\tau}{\partial\eta} \right)^{2}*{u\left( \eta \right)}^{2}}$$

$$\frac{\partial\tau}{\partial d} = \frac{- m}{3\pi\eta d^{2}} = - 1.70$$

$$\frac{\partial\tau}{\partial m} = \frac{1}{3\pi\eta d} = 41.2844$$

$$\frac{\partial\tau}{\partial\eta} = \frac{- m}{3\pi d\eta^{2}} = - 0.006644$$

$$u\left( \tau \right) = \sqrt{{1.70}^{2}*{{0.0063}^{2}*10}^{- 6} + {41.2844}^{2}*{{0.000006}^{2}*10}^{- 6} + {0.006644}^{2}*{0.057}^{2}} = 0.00038\ \lbrack s\rbrack$$

CZAS RELAKSACJI: τ = (0.00539±0.00038) s

1. Główne obliczenia dla oleju silnikowego

   1. Prędkość graniczna

$$v_{\text{gr}} = \ \frac{s}{t_{sr}}$$

$$\mathbf{t}_{\mathbf{o}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}t_{\text{oi}}}{n} = \mathbf{(9.08 \pm 0.12)s}$$

$\mathbf{v}_{\mathbf{o}} = \ \frac{s}{t_{o}}\ $= $\frac{110}{9.08}$ = 12.119 cm/s

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{v}_{\mathbf{o}} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\partial v}{\partial s} \right)^{2}*{u\left( s \right)}^{2} + \left( \frac{\partial v}{\partial t} \right)^{2}*{u\left( t \right)}^{2}} = \sqrt{\frac{u^{2}(s)}{{t_{o}}^{2}} + \frac{s^{2}*u^{2}(t)}{{t_{o}}^{4}}} = \mathbf{0.016\ cm/s}$$

PRĘDKOŚĆ GRANICZNA KULKI W OLEJU SILNIKOWYM: v_gr = (12.119±0.016) cm/s

1. Lepkość

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{\eta}_{\mathbf{o}} \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\partial\eta}{\partial d} \right)^{2}*{u\left( d \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\eta}{\partial\rho_{k}} \right)^{2}*{u\left( \rho_{k} \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\eta}{\partial v_{o}} \right)^{2}*{u\left( v_{o} \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\eta}{\partial D} \right)^{2}*{u\left( D \right)}^{2}}$$

$$\frac{\partial\eta}{\partial d} = - \frac{Ddg(D + 1.2d)(\rho_{c} - \rho_{k})}{9v_{o}{(D + 2.4d)}^{2}} = - 193.025$$

$\frac{\partial\eta}{\partial\rho_{k}} = \ \frac{d^{2}g}{18o(1 + 2.4\frac{d}{D})} =$ 0.000044

$$\frac{\partial\eta}{\partial v_{o}} = \ - \frac{d^{2}g(\rho_{k} - \rho_{c})}{18{o_{g}}^{2}(1 + 2.4\frac{d}{D})} = - 2.5475$$

$$\frac{\partial\eta}{\partial D} = \ \frac{4d^{3}g(\rho_{k} - \rho_{c})}{3D^{2}v_{o}{(1 + 2.4\frac{d}{D})}^{2}} = 0.0144$$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{\eta}_{\mathbf{o}} \right) = \sqrt{{193.025}^{2}*{0.0063*10}^{- 6} + {0.000044}^{2}*48^{2} + {2.5475}^{2}*{0.016*10}^{- 4} + {0.0144}^{2}*{0.3*10}^{- 6}} = = \mathbf{0.016}\ \lbrack Pa*s\rbrack$

LEPKOŚĆ OLEJU SILNIKOWEGO: η_o = (0.433±0.016) [Pa*s]

1. Czas relaksacji (τ) i wykres s(t)

Korzystamy z zależności s(t) możemy obliczyć czas relaksacji (τ), gdzie:

$$s\left( t \right) = At - \frac{A}{B}\left( 1 - e^{- Bt} \right) = v_{\text{gr}}t - v_{\text{gr}}\tau(1 - e^{\frac{- t}{\tau}})$$

gdzie: $A = \ \frac{2r^{2}g(\rho_{k} - \rho_{c})}{9\eta}$ , a $B = \ \frac{6\pi\eta r}{m_{k}}$ [1/s] dlatego $\frac{1}{B} = \tau$

Zatem $\tau = \frac{m_{k}}{3\pi\eta d} = \ \frac{0.130522*10^{- 3}}{3\pi 0.433*3.169*10^{- 3}} = 0.01010\ \lbrack s\rbrack$

$$u\left( \tau \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial\tau}{\partial d} \right)^{2}*{u\left( d \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\tau}{\partial m_{k}} \right)^{2}*{u\left( m_{k} \right)}^{2} + \left( \frac{\partial\tau}{\partial\eta} \right)^{2}*{u\left( \eta \right)}^{2}}$$

$$\frac{\partial\tau}{\partial d} = \frac{- m}{3\pi\eta d^{2}} = - 3.1848$$

$$\frac{\partial\tau}{\partial m} = \frac{1}{3\pi\eta d} = 77.3248$$

$$\frac{\partial\tau}{\partial\eta} = \frac{- m}{3\pi d\eta^{2}} = - 0.0233$$

$$u\left( \tau \right) = \sqrt{{3.1848}^{2}*{{0.0063}^{2}*10}^{- 6} + {77.3248}^{2}*{{0.000006}^{2}*10}^{- 6} + {0.0233}^{2}*{0.0167}^{2}} = 0.00039\ \lbrack s\rbrack$$

CZAS RELAKSACJI DLA OLEJU SILNIKOWEGO: τ = (0.01010±0.00039) s

1. Oszacowanie promienia kulki, która nie osiągnie prędkości granicznej w glicerynie

Aby kulka nie osiągnęła nigdy prędkości granicznej musi cały czas poruszać się ruchem przyspieszonym, a zatem siła ciężkości Q musi być większa od sumy sił Stokes’a F_s i wyporu F_w.

Q > F_s + F_w

$$m_{k}*g > \ \rho_{g}*g*\frac{4}{3}*\pi*r^{3} + 6*\pi*\eta_{g}*r*v_{g}$$

Po prostych przekształceniach otrzymujemy nierówność z której wyznaczymy promień.

$r > \sqrt{\frac{9\eta_{g}v_{g}}{2g(\rho_{k} - \rho_{g})}}$

r > 1.45 cm

d > 2.90 cm

1. Wnioski

Z przeprowadzonego doświadczenia wynika, że gliceryna ma większy współczynnik lepkości niż olej silnikowy. Odczytana z tablic wartość lepkości gliceryny wynosi od 1,480 [Pa*s] do 0,6 [Pa*s] zależnie od temperatury (20^oC - 30 ^oC) – im większa temperatura tym mniejszy jest współczynnik lepkości, który w naszych badaniach wynosi 0,811 [Pa*s]. Stwierdzamy, żę doświadczenie przeprowadziliśmy poprawnie. Niestety nie udało nam się znaleźć wartości tablicowych dla lepkości oleju silnikowego.

Kulki ważyliśmy na dwa sposoby: każdą pojedynczo oraz wszystkie razem. Jak łatwo zauważyć niepewność wyznaczenia masy pojedynczej kulki poprzez zważenie wszystkich razem jest kilkakrotnie mniejsza od niepewności obliczonej poprzez zważenie każdej kulki osobno. W pierwszym przypadku błąd popełniony jest tylko raz i dla dziewięciu kulek, a w drugim przypadku za każdym razem popełniamy błąd. Dlatego do dalszych obliczeń przyjęliśmy masę

W celu uzyskania dokładniejszych wyników należałoby wykonać więcej pomiarów, zminimalizować wpływ dna i ścian bocznych cylindra na ruch kulki, czy też dokładniej i z wyczuciem mierzyć czas przepływu kulki. Wynika to z tego, że wszystkie pomiary wielkości fizycznych obarczone są błędem wynikającym z dokładności przyrządów pomiarowych. Oprócz tego, występują również błędy przypadkowe, których praktycznie nie da się uniknąć ani wyeliminować.

W odniesieniu do wykresów, możemy łatwo zauważyć, że przez pierwsze setne części sekundy kulka poruszała się ruchem przyspieszonym (wykresem jest parabola), natomiast chwilkę później siły się równoważą i kulka porusza się ruchem jednostajnym (wykresem jest funkcja liniowa). Możemy również zauważyć, że czas relaksacji kulki w oleju silnikowym jest większy od tegoż czasu w glicerynie, wynika to z mniejszej lepkości (siły lepkości) oleju silnikowego.

Możemy również stwierdzić, ze im współczynnik lepkości jest mniejszy, tym szybciej kulka przepływa przez ciecz.