Przykład :

Wyznaczyć pochodną n-tego rzędu funkcji f(x) =  sinx

Rozwiązanie : $f^{'}\left( x \right) = \ \text{cosx} = \sin{(x + \frac{\pi}{2}})$

$$f^{''}\left( x \right) = \ - \text{sinx} = \sin{(x + 2*\frac{\pi}{2}})$$

$$f^{'''}\left( x \right) = \ - \cos x = \sin{(x + 3*\frac{\pi}{2}})$$

f^′ v(x) = sinx

Ogólnie : $f^{n}\left( x \right) = \sin\left( x + n*\frac{\pi}{2} \right)\text{dla}\ n = 1,2,3\ldots$

Dowód : Indukcja zupełna

Zachodzi następujący wzór Leibnitza :

Jeżeli funkcje f,g posiadają skończone pochodne do rzędu n włącznie w otoczeniu punktów x_oϵ (a,b),  to $\left( f*g \right)^{n}\left( x \right) = \ \sum_{k = 0}^{n}{f^{\left( n - k \right)}\left( x \right)}*g^{k}\left( x \right)$ dla x z pewnego otoczenia x_o, pochodna zerowa f⁰(x) =  f(x),  g⁰(x) = g(x)

Wzór Taylora :

Twierdzenie 4. Jeżeli funkcja rzeczywista f jest określona na przedziale <a,b>, pochodna f^n − 1 jest ciągła na <a,b>, natomiast fⁿ(x) jest skończone dla każdego  xϵ(a, b), to dla dowolnych x_o, x_o + h ϵ < a, b > ,  zachodzi tzw. Wzór Taylora :

$f\left( x_{o} + \ h \right) = f\left( x_{o} \right)\ + \ \frac{h}{1!}\ f^{'}\left( x_{o} \right) + \ \frac{h}{2!}\ f^{''}\left( x_{o} \right) + \ \ldots + \ \frac{h^{n - 1}}{\left( n - 1 \right)!}\ f^{n - 1}(x_{o})$+ R_n(x_o, h) , gdzie R – reszta

Przy czym resztę R_n(x_o, h) można zapisać w tzw. Postaci Schlömilcha :

$R_{n}\left( x_{o},h \right) = \ \frac{h^{n}{(1 - \nu)}^{n - p}}{p^{n - 1}!}\ f^{n}$(x_o +  νh), gdzie 0 < ν < 1, p jest dowolną z liczb 1,2,…,n.

W szczególności dla p=n otrzymujemy resztę w tzw. Postaci Lagrange’a :

$R_{n}\left( x_{o},h \right) = \ \frac{h^{n}}{n!}\ + f^{n}$(x_o +  ν^′h) , 0 < ν′ < 1.

Natomiast dla p=1 otrzymujemy resztę w tzw. Postaci Cauchy’ego :

$R_{n}\left( x_{o},h \right) = \ \frac{h^{n}}{(n - 1)!}\ + {{(1 - \nu^{''})}^{n - 1}*f}^{n}$(x_o +  ν^′h) , 0 < ν″ < 1.

Jeżeli we wzorze Taylora przyjąc x_o = 0 ϵ < a, b> to otrzymamy tzw. Wzór Madaurina postaci :

$f\left( h \right) = f\left( 0 \right)\ + \ \frac{h}{1!}\ f^{'}\left( 0 \right) + \ \frac{h}{2!}\ f^{''}\left( 0 \right) + \ \ldots + \ \frac{h^{n - 1}}{\left( n - 1 \right)!}\ f^{n - 1}(0)$+ R_n(0, h)

Twierdzenie 5.

Jeżeli funkcja f o wartościach rzeczywistych jest określana w otoczeniu x_o ϵ R i posiada w x_o skończoną pochodną n-tego rzędu, to dla dostatecznie małych |h| zachodzi wzór :

$f\left( x_{o} + \ h \right) = f\left( x_{o} \right)\ + \ \frac{h}{1!}\ f^{'}\left( x_{o} \right) + \ \frac{h}{2!}\ f^{''}\left( x_{o} \right) + \ \ldots + \ \frac{h^{n - 1}}{\left( n - 1 \right)!}\ f^{n - 1}(x_{o}) + \frac{h^{n}}{n!}\ f^{n}(x_{o})\ $+ $\frac{h^{n}}{n!}\varepsilon_{n}(x_{o},h)$

Przykład :

Zastosujemy wzór Madaurina z resztą w postaci Lagrange’a do obliczenia przybliżonej wartości funkcji f(x) =  sinx

Ponieważ $f^{n}\left( x \right) = \sin{(x + \frac{\pi}{2}})\ $ dla n=0,1,2,… , więc f²ⁿ(0) = 0 , f^2n + 1(0) = cos(nπ)=( − 1)ⁿ oraz (przyjmując x_o = 0,   h = x)

$\text{sinx} = x - \frac{x}{3!} + \frac{x5}{5!} - \ \ldots + \frac{x^{n}}{n!}\sin(\text{νx} + n\frac{\pi}{2})$ , gdzie 0 < ν < 1, x 𝝐 R.

W szczególności mamy $\text{sinx} = x - \frac{x}{3!} + \frac{x5}{5!}\sin(\text{νx} + 5\frac{\pi}{2})$

Stąd :

$$\left| \text{sinx} - (x - \frac{x^{3}}{3!}) \right| = \left| \frac{x5}{5!}\sin(\text{νx} + 5\frac{\pi}{2}) \right| \leq \frac{\left| x5 \right|}{5!}$$

Dla $x = \frac{1}{10}$ otrzymujemy :

$\left| \sin(\frac{1}{10}) - (\frac{1}{10} - \frac{1}{10*6}) \right| \leq \frac{1}{105}*\frac{1}{5!}$ ,

Zatem $\sin\left( \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{10} - \frac{1}{6000} + R,\ $ przy czym błąd przybliżenia R jest bezwzględnie mniejszy od 10⁻⁷, gdyż :

$$\frac{1}{105}*\frac{1}{5!} = \frac{1}{105}*\frac{1}{120} < \frac{1}{10^{7}}$$

4) Ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej. Wypukłość, wkłęsłość, punkty przegięcia. Asymptoty.

Def. Dana jest funkcja f : (a, b)→R .

Mówimy, że funkcja f posiada maksimum lokalne (minimum lokalne) w x_oϵ(a, b), jeżeli istnieje takie otoczenie punktu x_o  : (x_o−h, x_o+h)ϵ(a,b),  h > 0,   że:

$$\bigvee_{\mathbf{\text{xϵ}}\mathbf{(}x_{o} - h,\ x_{o} + h)}^{}{\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}\mathbf{\leq}\mathbf{f}\mathbf{(}}x_{o})\ (\bigvee_{\mathbf{\text{xϵ}}\left( x_{o} - h,\ x_{o} + h \right)}^{}{f\left( x \right) \geq f}{(x}_{o}))$$

Ekstremum lokalne to wspólna nazwa dla minimum lokalnego i maksimum lokalnego.

Twierdzenie 1. (Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)

Jeżeli funkcja f posiada skończoną pochodną w otoczeniu punktu x_o oraz posiada w tym punkcie ekstremum lokalne, to f^′(x_o) =  0.

Dowód :

Niech np. w x_o istnieje maksimum funkcji f. Ponieważ istnieje skończona pochodna f^′(x_o), więc

$f^{'}\left( x_{o} \right) = \ \operatorname{}{\frac{f\left( x_{o} + h \right) - f\left( x_{o} \right)}{h} = \operatorname{}\frac{f\left( x_{o} + h \right) - f\left( x_{o} \right)}{h}}$ .

Dla h<0 bliskich 0 mamy :

$\frac{f\left( x_{o} + h \right) - f\left( x_{o} \right)}{h} \leq 0,\ czyli\ f_{p}^{'} = f^{'}(x_{o}) \geq 0$ .

Stąd f^′(x_o) = 0.

Punkt x_o taki, że f^′(x_o) = 0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f.

UWAGA! : Zerowanie się pierwszej pochodnej nie wystarcza na to, by istniało ekstremum np. dla funkcji

f(x) =  x^2n + 1,  nϵN,

Mamy : f^′(x) = (2n+1)x²ⁿ ,  f(0) = 0,  f^′(x) ≥ 0 − f rosnie wiec brak ekstremy

Twierdzenie 2. Warunek dostateczny istnienia ekstremum.

Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu x_oϵ(a, b) skończoną pochodną f’, czy czym f^′(x_o) = 0 , oraz istnieje skończona pochodna f’’(x_o) , to :

1. W x_o funkcja f posiada maksimum, gdy f^′′(x_o) < 0 ,

2. W x_o funkcja f posiada minimum, gdy f^′′(x_o) > 0 .

Dowód.

Piszemy wzór Taylora z resztą w postaci Peano dla n=2 :

$f\left( x_{o} + \ h \right) = f\left( x_{o} \right)\ + \ \frac{h}{1!}\ f^{'}\left( x_{o} \right) + \ \frac{h}{2!}\ f^{''}\left( x_{o} \right) + \ $+ $\frac{h^{2}}{2!}\varepsilon_{2}(x_{o},h)$ .

dla dostatecznie małych |h|, gdzie ε₂(x_o,h) → 0 przy h → 0.

Ponieważ f^′(x_o) = 0, więc :

$f\left( x_{o} + \ h \right) - f\left( x_{o} \right)\ = \ \frac{h}{2!}(\ f^{''}\left( x_{o} \right)$+ ε₂(x_o, h)) .

Znak z prawej strony powyższej równości jest taki sam jak znak f^″(x_o) przy dostatecznie małych |h|. Zatem jeżeli f^″(x_o) > 0,  to f(x_o+ h) ≥  f(x_o) , czyli w x_o istenieje maksimum lokalne.

Twierdzenie 3. Warunek dostateczny i konieczny istnienia ekstremum lokalnego.

Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu x_oϵ(a, b) skończone pochodne do rzędu (n-1)-go włącznie, przy czym f^′(x_o) = … = f^n − 1(x_o) = 0,   n > 1 , oraz istnieje skończona pochodna n-tego rzędu fⁿ(x_o) ≠ 0 , to :

1. Nie występuje ekstremum lokalne funkcji f w x_o, gdy n jest liczbą nieparzystą,

2. Występuje maksimum lokalne funkcji f, gdy n jest liczbą parzystą oraz gdy fⁿ(x_o) < 0,

3. Występuje minimum lokalne, gdy n jest liczbą parzystą oraz fⁿ(x_o) > 0.

Dowód.

Pisząc wzór Taylora z resztą w postaci Peano dla n>1, otrzymujemy :

$f\left( x_{o} + \ h \right) - f\left( x_{o} \right) = \ \frac{h^{n}}{n!}\ {(f}^{n}(x_{o})\ $+ ε_n(x_o, h)) dla dostatecznie małych |h|,  gdzie ε_n(x_o,h) → 0,  przy h → 0.

Znak wyrażenia fⁿ(x_o)+ ε_n(x_o,h) przy dostatecznie małym |h| jest taki sam jak znak pochodnej fⁿ(x_o) ≠ 0.

Jeżeli n = 2k + 1,  k = 1, 2, …,  to lewostronne otoczenie oraz prawostronne otoczenie punktu x_o przyrost f(x_o+ h) − f(x_o) ma znaki różne, a więc w x_o funkcja f nie posiada ekstremum.

Jeżeli n = 2k,  k = 1, 2, …,  to znak przyrostu f(x_o+ h) − f(x_o) jest taki sam jak znak fⁿ(x_o). Stąd części b), c) tezy.