K	Imię i nazwisko:	Wydział, Grupa:
Symbol ćwiczenia: E-5	Temat: Badanie rezonansu w obwodzie RLC.
Data wykonania:	Data oddania do poprawy:	Ocena:

1. Wstęp.

Rezonans elektryczny jest to zjawisko polegające na tym, że w obwodzie elektrycznym zawierającym elementy o reaktancjach indukcyjnych i pojemnościowych następuje, dla pewnych częstotliwości prądu, wzajemna kompensacja tych reaktancji. W wyniku tego wypadkowa reaktancja obwodu równa jest zeru i prąd płynący ze źródła jest w fazie z jego siłą elektromotoryczną.

Wyróżniamy rezonans szeregowy i rezonans równoległy. Obwód będący w stanie rezonansu nie pobiera ze źródła mocy biernej, występuje zjawisko kompensacji mocy. Moc bierna indukcyjna, pobierana przez obwód, jest równa mocy biernej pojemnościowej. Moce te są przeciwne, dlatego w warunkach rezonansu całkowita moc bierna obwodu jest równa zeru.

W układzie szeregowym rezystora, cewki i kondensatora, zasilanego napięciem sinusoidalnym U, prąd w obwodzie wynosi:

$$\mathbf{I =}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{Z}}$$

gdzie:

Z²=R²+(X_L−X_C)²

Stan rezonansu występuje wtedy, gdy reaktancja indukcyjna jest równa reaktancji pojemnościowej:

X_C=X_L

Jeśli wiadomo, że:

X_L=ωL

oraz:

$$\mathbf{X}_{\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{ωC}}}$$

otrzymujemy:

$$\mathbf{\omega L =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{ωC}}}$$

Prąd płynący wówczas w obwodzie wynosi:

$$\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{R}}$$

Napięcia na reaktancjach są sobie równe, lecz przeciwnie skierowane:

U_L=−U_C

Do stanu rezonansu można doprowadzić układ zawierający cewkę i kondensator przez odpowiedni dobór ich reaktancji (przez zmianę indukcyjności lub pojemności), lub zmianę pulsacji napięcia zasilającego.

Częstotliwość przy której jest spełniony warunek rezonansu szeregowego, nazywamy częstotliwością rezonansową:

$$\mathbf{f}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2 \pi}\sqrt{\mathbf{\text{LC}}}}$$

Zjawisko rezonansu szeregowego może wywołać niepożądane efekty, w postaci przepięć, ponieważ rezystancja obwodu jest mała, a napięcia na cewce i kondensatorze bardzo duże.

2. Obliczenia.

1. Rezonans napięć.

• Wykres zależności I=I(f) oraz Z=Z(f)

• Impedancję Z obwodu liczymy wg wzoru:

$$\mathbf{Z =}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}}$$

• Częstotliwość rezonansowa odczytana z wykresu wynosi ok. f_R=435 Hz.

Częstotliwość rezonansową obliczymy wg wzoru:

$$\mathbf{f}_{\mathbf{R}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2 \pi}\sqrt{\mathbf{L C}}}$$

W naszym ćwiczeniu dane było:

L=0,3 H

C= 0,4 F

Zatem:

$$f_{R} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0,3H 0,4F}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0,3\frac{V s}{A} 0,4\frac{A s}{V}}} \approx 459\ Hz$$

• Opór uzwojenia cewki indukcyjności.

$$\mathbf{R}_{\mathbf{L}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}_{\mathbf{R}}}\mathbf{-}\mathbf{R}_{\mathbf{P}}\mathbf{\approx}\frac{\mathbf{U}}{\mathbf{I}_{\mathbf{R}}}$$

Gdzie:

R_P- opór przewodów łączących R_PR_L;

I_R- wartość prądu dla f=f_R

W naszym przypadku napięcie wyjściowe( zasilania) generatora U będzie równe średniej arytmetycznej zmierzonych napięć. Czyli:

$$\mathbf{U =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{23}}\mathbf{U}_{\mathbf{i}}$$

Zatem:

I_R≈21,4 mA

U≈3,059 V

$$R_{L} = \frac{3,059}{21,4\ mA} \approx 143\Omega$$

• Szerokość połówkową krzywej rezonansu Δf obliczymy ze wzoru:

Δf = f₂ − f₁

Gdzie:

f₁ i f₂ -częstotliwości dla których $I = \frac{I_{R}}{\sqrt{2}}$

Natężenie prądu I wynosi:

$$I = \frac{21,4\ mA}{\sqrt{2}} \approx 15,13\ mA$$

Zatem :

f₁≈400 Hz

f₂≈470 Hz

Szerokość połówkowa krzywej rezonansu Δf wynosi zatem:

Δf = 470 Hz − 400 Hz = 70 Hz

• Wykres zależności I=I(f) z dołączonym oporem R=200 Ω.

3. Wnioski.

Częstotliwość rezonansowa odczytana z wykresu wynosi ok. f_R= 435 Hz, natomiast obliczona częstotliwość rezonansowa wynosi ok f_R=459 Hz. Analizują wykresy zależności I=I(f) dla obwodu z dołączoną rezystancją oraz bez w/w rezystancji, widzimy że częstotliwość rezonansowa dla obu obwodów jest praktycznie taka sama. Oba wykresy są niemal identyczne a różnią się natężeniem prądu I_R, odpowiadającemu f_R. Dla obwodu z R= 0Ω I_R wynosi ok. I_R= 21,4 mA a dal obwodu z R= 100Ω I_R wynosi ok I_R= 20,4 mA. Wartość skuteczna prądu dla obwodu pierwszego wynosi I= 15,13 mA a opór uzwojenia cewki R_L= 143Ω.