Fizyczne Podstawy Czujników – Prof. Zw. Dr hab. inż. Janusz Mroczka

Opracowanie na zerówkę 2016 v1

by 200619

Zad 1. Z płytki o bardzo małej grubości h, wykonanej z materiału o oporze właściwym ρ wycinamy pierścień kołowy o promieniu wewnętrznym r₁ i promieniu zewnętrznym r₂. Jaki opór będzie miał pierścień, jeśli przetniemy go wzdłuż promienia ?

$$dG = \ \frac{1}{\text{dR}} = \ \frac{1}{\rho\frac{2\pi r}{\text{h\ dr}}} = \frac{\text{h\ dr}}{\rho 2\pi r}\ $$

$$G = \ \frac{h}{2\pi\rho}\ \int_{r_{1}}^{r_{2}}{\frac{\text{dr}}{r} = \frac{h}{2\pi\rho}\ }\ln\frac{r_{2}}{r_{1}}$$

$$dR = \ \rho\frac{\text{dr}}{2\pi rh}\ $$

$$R = \ \frac{\rho}{2\pi h}\ \int_{r_{1}}^{r_{2}}{\frac{\text{dr}}{r} = \frac{\rho}{2\pi h}\ }\left( \ \ln{r_{2} - \ln{r_{1}\ }} \right)$$

Zad 2. Naczynie w kształcie półkuli o promieniu r napełnione jest całkowicie wodą, zrobiono w nim otwór S. Współczynnik zwężenia strumienia wynosi µ. W ciągu jakiego czasu poziom cieczy obniży się do połowy r ?

$$V = \sqrt{2g\left( r - x \right)}$$

dV = μSV dt

dV = πy²dx

$$\text{μS}\sqrt{2g\left( r - x \right)}\ dt = \ \pi y^{2}\text{dx}$$

y² =  r² − x²

$$\text{μS}\sqrt{2g\left( r - x \right)}\ dt = \ \pi\left( r^{2} - x^{2} \right)\text{dx}$$

$$dt = \frac{\pi}{\text{μS}\sqrt{2g}}\left( \frac{r^{2}}{\sqrt{r - x}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{r - x}} \right)\text{dx}$$

$$t = \frac{\pi}{\text{μS}\sqrt{2g}}\int_{0}^{\frac{r}{2}}{\left\lbrack r^{2}\left( r - x \right)^{\frac{- 1}{2}} - \ x^{2}\left( r - x \right)^{\frac{- 1}{2}} \right\rbrack\text{dx}}\ $$

$$t = \frac{\pi}{\text{μS}\sqrt{2g}}\left\lbrack \frac{2}{15}\sqrt{r - x}\left( - 7r^{2} + 4rx + 3x^{2} \right)\ \right\rbrack_{0}^{\frac{r}{2}}$$

$$t = \frac{\pi}{2\mu S\sqrt{g}}r^{2}\sqrt{r}\ \frac{28\sqrt{2} - 17}{30}$$

Zad 3. O ile wydłuży się wiszący pręt o długości l, przekroju S pod wpływem własnego ciężaru ? Dane: ρ, E

V = l s

m = ρ V

F = m g

$$\frac{F}{S} = E\frac{l}{l}$$

$$d\left( l \right) = \ \frac{1}{E}\frac{\text{ρSgx}}{S}dx = \frac{\text{ρg}}{E}\text{x\ dx\ }$$

$$l = \frac{\text{ρg}}{E}\int_{0}^{l}{x\ dx = \ \frac{\text{ρg}}{E}\frac{l^{2}}{2}\ }$$

Zad 4. Z jaką siłą działa woda na boczną prostokątną ścianę naczynia, jeśli szerokość ściany wynosi a, wysokość b, a naczynie jest całkowicie wypełnione wodą ?

dS = a dx

dF = p dS =  ρgxa dx 

$$f = \ \rho ga\ \int_{0}^{b}{x\ dx = \ \rho ga\left\lbrack \frac{x^{2}}{2} \right\rbrack_{0}^{b} = \frac{1}{2}}\text{ρga}b^{2}$$

Zad 5. Naczynie napełnione wodą o wysokości h. Na jakiej wysokości y należy wywiercić otworek, aby zasięg wylewającej się przez niego wody był największy.

$$v = \sqrt{2g\left( h - y \right)}$$

$$y = \frac{1}{2}\text{g\ }t^{2}$$

x = v t

$$x = \sqrt{2g\left( h - y \right)}\ \sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{\left( h - y \right)y}\ $$

z = (h−y)y

$$\frac{\text{dz}}{\text{dy}} = h - 2y = 0$$

$$y = \frac{h}{2}$$

Zad 6. Mamy bańkę mydlaną o promieniu r. Po przekłuciu tej bańki powstaje kropla o promieniu r₁. Jaki jest potencjał tej kropli ?

$$V_{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r}\ $$

Q = V_b4πε r

$$V_{k} = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r_{1}} = \ \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{V_{b}4\pi\varepsilon\ r}{r_{1}} = \frac{r}{r_{1}}V_{b}$$

Zad 7. Oblicz indukcję magnetyczną w odległości A od nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika przez który płynie prąd J.

∮B dl = Nμ₀J

2πaB = μ₀J

$$B = \frac{\mu_{0}J}{2\pi a}$$

Zad 8. Oblicz indukcję w środku przewodnika kołowego, przez który płynie prąd J.

$$dB = \frac{\mu_{0}J}{4\pi}\frac{\overrightarrow{\text{dl}} \times \overrightarrow{r}}{r^{3}}\ $$

$$dB = \frac{\mu_{0}J}{4\pi}\frac{\text{dl\ r}}{r^{3}} = \ \frac{\mu_{0}J}{4\pi}\frac{\text{dl}}{r^{2}}\ $$

$$B = \frac{\mu_{0}J}{4\pi r^{2}}\int_{0}^{2\pi r}{dl = \ \frac{\mu_{0}J}{2r}}\ $$

Zad 9. Dwa pręty o jednakowej średnicy. Jeden z węgla, a drugi ze stali, są połączone ze sobą szeregowo. Przy jakim stosunku ich długości rezystancja nie zależy od temperatury ?

R_w(1+ ℒ_wt) + R_s(1+ ℒ_st) = R_w +   R_s

R_w + R_wℒ_wt + R_s +  R_sℒ_st = R_w +   R_s

R_wℒ_wt = − R_sℒ_st

$$\ \rho_{w}\frac{l_{w}}{S}\mathcal{L}_{w}t = - \rho_{s}\frac{l_{s}}{S}\ \mathcal{L}_{s}t$$

$$\frac{l_{s}}{l_{w}} = \ - \frac{\rho_{w}}{\rho_{s}}\frac{\mathcal{L}_{w}}{\mathcal{L}_{s}}$$

Zad 10 *. Dwie metalowe taśmy o jednakowej temperaturze, długości i grubości złączone są ze sobą jak płaskownik. Po podgrzaniu płaskownik ten odkształca się i przyjmuje kształt łuku koła. Obliczyć promień tego koła przy temperaturze t.

l₁ =  l₀(1+ ℒ₁t)

l₂ =  l₀(1+ ℒ₂t)

$$\frac{l_{2}}{l_{1}} = \ \frac{l_{0}\left( 1 + \ \mathcal{L}_{2}t \right)}{l_{0}\left( 1 + \ \mathcal{L}_{1}t \right)} \approx 1 + \ \left( \mathcal{L}_{2} - \ \mathcal{L}_{1} \right)\text{t\ \ }$$

$$l_{2} = \left( r + \ \frac{d}{2} \right)\varphi$$

$$l_{1} = \left( r - \ \frac{d}{2} \right)\varphi$$

$$\frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{r + \ \frac{d}{2}}{r - \ \frac{d}{2}} \approx 1 + \ \left( \mathcal{L}_{2} - \ \mathcal{L}_{1} \right)t$$

$$r = \frac{d}{\left( \mathcal{L}_{2} - \ \mathcal{L}_{1} \right)t} + \frac{d}{2}$$

Zad 11. Pięć Kondensatorów

-p1

Kondensatory tworzą mostek Wheatstone'a, jeśli pojemności są te same, wtedy jest on zbalansowany i żaden ładunek nie gromadzi się na wewnętrznym kondensatorze, tak jakby go nie było.

-p2

-p3