POLITECHNIKA POZNANSKA INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Podstaw Elektrotechniki
Laboratorium Elektrotechniki Teoretycznej Ćwiczenie nr:6 Temat: REZONANS W OBWODZIE SZEREGOWYM
Rok akademicki: 2010/2011 Studia dzienne inżynierskie Wydział Elektryczny Elektrotechnika Nr grupy: E8
Uwagi:

1 Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zbadanie właściwości szeregowo połączonych elementów RLC zasilanych ze źródła napięcia przemiennego w pewnym zakresie częstotliwości.

2 Wiadomości teoretyczne

Impedancja dwójnika składającego się z szeregowo połączonych elementów RLC jest równa:

Z=R+j(ωL-$\frac{1}{\text{ωC}}$)

Jeżeli reaktancja dwójnika jest równa zero, to występuje zjawisko zwane rezonansem napięć. Wtedy napięcie na kondensatorze jest równe napięciu na indukcyjności i jest do niego w przeciwfazie, a impedancja dwójnika Z jest równa rezystancji R. Więc rezonans można uzyskać zmieniając wartość pojemności kondensatora lub indukcyjność cewki, bądź regulując pulsację napięcia zasilającego.

Pulsacja rezonansowa:

ω_r=1/$\sqrt{\text{LC}}$

Warunek częstotliwości rezonansowej:

ω_rL=1/(ω_rC)=$\sqrt{L/C}$ Reaktancja=0

Impedancja falowa:

p=$\sqrt{L/C}$

Wartość skuteczna prądu w dwójniku zasilanym napięciem o wartości skutecznej U wyraża się wzorem:

I=$\frac{U}{\sqrt{1 + \left\lbrack \frac{1}{R}(wL - \frac{1}{\text{wC}}) \right\rbrack^{2}}}$

Dla częstotliwości rezonansowej:

I_r=U/R

I/I_R=$\frac{1}{\sqrt{1 + \left\lbrack \frac{1}{R}(wL - \frac{1}{\text{wC}}) \right\rbrack^{2}}}$

Rozstrojenie bezwzględne:

ξ=1/R[wL-(1/wC)]=tg φ

ξ =w_rL/R[(w/w_r) –( w_r/w)]

φ-kąt pomiędzy wskazami prądu i napięcia

Dobroć:

Q=U_L/U_R= U_C/U_R= w_RL/R=1/w_RRC

Q_L= w_RL/R

δ=( w/w_r – w_r/w) δ-rozstrojenie względne

ξ =Q_L δ

Stosunek prądu przy ω do prądu przy w_R:

f(δ)=I/I_R=$\frac{1}{\sqrt{1 + (Q_{L}\delta)^{2}}}$

Krzywa I/I_r w funkcji rozstrojenia względnego δ zależy od dobroci Q_L cewki. Dla większych wartości krzywa jest bardziej stroma, co przedstawia poniższy wykres:

Szerokością pasma przepuszczania obwodu rezonansowego nazywa się przedział częstotliwości w otoczeniu częstotliwości rezonansowej f_r , na którego końcach wartość skuteczna prądu I_R zmniejsza się o 3dB czyli

I/I_r=$\sqrt{2}$

Podstawiając ostatnie wyrażenie do funkcji f(δ) otrzymano ξ=±1 czyli δQ_L=±1 stąd dostaje się 2 wielkości określające pasmo przepuszczania δ₁=-1/Q_L i δ₂=1/Q_L a podstawiając za δ=( w/w_r – w_r/w) i dokonując odpowiednich przekształceń otrzymujemy:

$$\omega_{1}^{2} - \omega_{2}^{2} - \left( \omega_{1} + \omega_{2} \right)\frac{\omega_{r}}{Q_{L}} = 0$$

Czyli: ω₁-ω₂=ω_r/Q_L

Pasmo przepuszczania jest tym węższe, im większy jest współczynnik dobroci cewki.

Przykładowy przebieg prądu w funkcji pulsacji ω_r=31600[rad/s]

Q_L-$\frac{\omega_{r}}{(\omega_{1 -}\omega_{2})} = \frac{31600}{3700 - 27100} = 3,19$

Przykładowy przebieg spadku napięcia na rezystancji U_R, kondensatorze U_C i cewce U_L w funkcji pulsacji ω_r=31600[rad/s]

Wartości max napięć na Kondku i cewce są sobie równe: U_Lmax=U_Cmax=$\frac{2Q_{L}^{2}U}{\sqrt{4Q_{L}^{2} - 1}}$

Dla szeregowo połączonych elementów RLC występuje przepięcie, tym większe, im większa jest wartość dobroci cewki Q_L

3 Przebieg ćwiczenia

1. Wyznaczenie charakterystyki spadku napięcia na rezystancji w funkcji częstotliwości

Dane: U=2[V] R=1000[Ω] L=56[mH] C=5060[pF]

Szukamy takiej częstotliwości generatora, dla której występuje największy spadek napięcia na rezystancji. Następnie wykonujemy pomiary przy wyższych i niższych częstotliwościach, utrzymując stałą wartość napięcia generatora.

L.p.	f [kHz]	UR [V]
1	3	0,21
2	4	0,31
3	5	0,43
4	6	0,60
5	7	0,86
6	7,5	1,03
7	8	1,26
8	8,5	1,50
9	9	1,73
10	9,45	1,81
11	10	1,73
12	10,5	1,54
13	11	1,39
14	11,5	1,21
15	12	1,06
16	12,5	0,94
17	13	0,84
18	14	0,70
19	15	0,60
20	16	0,52

Charakterystyka zależności wartości skutecznej napięcia na rezystancji w funkcji częstotliwości U_R=f(f) w skali logarytmicznej.

Wykonujemy obliczenia (zestawiamy je w tabeli) i sporządzamy charakterystykę I/I_o=f(ω/ω_o)

ω₀=1/$\sqrt{\text{LC}} =$1/$\sqrt{0,056*5060*10^{- 12}}$=$\frac{1}{\sqrt{283,36*10^{- 12}}} = \frac{1}{16,8333003*10^{- 6}} = 0,05940606*10^{6} = 59406,06$ [rad/s]

I_o=U/R=2/1000=0,002[A]

ω=2∏f=2*3,14*3000=18840[rad/s]

ω/ ω₀=18840/59406,06=0,32

I=U_r/R=0,21/1000=0,00021 [A]

I/I₀=0,00021/0,002=0,11

Reszta obliczeń analogicznie

L.p.	w/wo	I/Io
1	0,32	0,11
2	0,42	0,16
3	0,53	0,22
4	0,63	0,3
5	0,74	0,43
6	0,79	0,52
7	0,85	0,63
8	0,90	0,75
9	0,95	0,87
10	1	0,91
11	1,06	0,87
12	1,11	0,77
13	1,16	0,70
14	1,22	0,61
15	1,27	0,53
16	1,32	0,47
17	1,37	0,42
18	1,48	0,35
19	1,59	0,3
20	1,69	0,26

1. Wyznaczenie charakterystyki napięcia na cewce w funkcji częstotliwości

Dane: U=2[V] R=1000[Ω] L=56[mH] C=5060[pF]

Szukamy takiej częstotliwości generatora, dla której występuje największy spadek napięcia na cewce. Następnie wykonujemy pomiary przy wyższych i niższych częstotliwościach, utrzymując stałą wartość napięcia generatora.

L.p.	f [kHz]	UL [V]
1	3	0,22
2	4	0,42
3	5	0,73
4	6	1,25
5	7	2,08
6	7,5	2,71
7	8	3,52
8	8,5	4,63
9	9	5,66
10	9,45	6,21
11	9,65	6,29
12	10	6,21
13	10,5	5,79
14	11	5,26
15	11,5	4,78
16	12	4,42
17	13	3,84
18	14	3,44
19	15	3,17
20	16	3

Wykreślamy charakterystykę zależności wartości skutecznej napięcia na cewce w funkcji częstotliwości U_L=f(f) w skali logarytmicznej.

Wykonujemy obliczenia (zestawiamy je w tabeli) i sporządzamy charakterystykę U_L/U_o=f(w/w_o)

ω₀=1/$\sqrt{\text{LC}} =$1/$\sqrt{0,056*5060*10^{- 12}}$=$\frac{1}{\sqrt{283,36*10^{- 12}}} = \frac{1}{16,8333003*10^{- 6}} = 0,05940606*10^{6} = 59406,06$ [rad/s]

ω=2∏f=2*3,14*3000=18840[rad/s]

ω/ ω₀=18840/59406,06=0,32

U_o=I_oω_oL=0,002*59406,06*0,056=6,65 [V]

U_L/U_o=0,22/6,65=0,03

Reszta obliczeń analogicznie

L.p.	w/wo	UL/Uo
1	0,32	O,03
2	0,42	0,06
3	0,53	0,11
4	0,63	0,19
5	0,74	0,31
6	0,79	0,41
7	0,85	0,53
8	0,90	0,70
9	0,95	0,85
10	1	0,93
11	1,02	0,95
12	1,06	0,93
13	1,11	0,87
14	1,16	0,79
15	1,22	0,72
16	1,27	0,66
17	1,37	0,58
18	1,48	0,52
19	1,59	0,48
20	1,69	0,45

1. Wyznaczenie charakterystyki napięcia na kondensatorze w funkcji częstotliwości

Dane: U=2[V] R=1000[Ω] L=56[mH] C=5060[pF]

Szukamy takiej częstotliwości generatora, dla której występuje największy spadek napięcia na kondensatorze. Następnie wykonujemy pomiary przy wyższych i niższych częstotliwościach, utrzymując stałą wartość napięcia generatora.

L.p.	f [kHz]	UC [V]
1	3	2,25
2	4	2,42
3	5	2,71
4	6	3,17
5	7	3,88
6	7,5	4,39
7	8	5
8	8,5	5,62
9	9	6,28
10	9,2	6,31
11	9,45	6,21
12	10	5,54
13	10,5	4,67
14	11	3,91
15	11,5	3,25
16	12	2,76
17	13	2,04
18	14	1,57
19	15	1,25
20	16	1,04

Wykreślamy charakterystykę zależności wartości skutecznej napięcia na cewce w funkcji częstotliwości U_C=f(f) w skali logarytmicznej.

Wykonujemy obliczenia (zestawiamy je w tabeli) i sporządzamy charakterystykę U_C/U_o=f(w/w_o)

ω₀=1/$\sqrt{\text{LC}} =$1/$\sqrt{0,056*5060*10^{- 12}}$=$\frac{1}{\sqrt{283,36*10^{- 12}}} = \frac{1}{16,8333003*10^{- 6}} = 0,05940606*10^{6} = 59406,06$ [rad/s]

ω=2∏f=2*3,14*3000=18840[rad/s]

ω/ ω₀=18840/59406,06=0,32

U_o=I_o/(ω_oC)=0,002/(59406,06*5060*10^-12)=6,65 [V]

U_C/U_o=2,25/6,65=0,03

Reszta obliczeń analogicznie

L.p.	w/wo	UC/Uo
1	0,32	0,34
2	0,42	0,36
3	0,53	0,41
4	0,63	0,48
5	0,74	0,58
6	0,79	0,66
7	0,85	0,75
8	0,90	0,85
9	0,95	0,94
10	0,97	0,95
11	1	0,93
12	1,06	0,83
13	1,11	0,70
14	1,16	0,59
15	1,22	0,49
16	1,27	0,42
17	1,37	0,31
18	1,48	0,24
19	1,59	0,19
20	1,69	0,16

4 Obliczenia

Pulsacja rezonansowa:

ω₀=1/$\sqrt{\text{LC}} =$1/$\sqrt{0,056*5060*10^{- 12}}$=$\frac{1}{\sqrt{283,36*10^{- 12}}} = \frac{1}{16,8333003*10^{- 6}} =$

0, 05940606 * 10⁶ = 59406, 06 [rad/s]

Częstotliwość rezonansowa:

ω_o=2∏f_o → f₀= ω_o/2∏=59406, 06/6, 28=9459,56 [Hz]

Dobroć obwodu, cewki i kondensatora przy pulsacji rezonansowej:

Q=U_L/U_R=6,21/1,81=3,43

Q_L= w_rL/R=59406, 06*0,056/1000=3,33

Q_C=1/w_rRC=1/59406, 06*1000*5060*10^-12=1/59406,06*5060*10^-9=1/300594664*10^-9=3,33

-Charakterystyka UR,UL,UC w funkcji częstotliwości dla układu szeregowego.

Wyznaczanie dobroci obwodu rezonansowego Q₀ z charakterystyk przebiegu napięć na cewce i kondensatorze

w₁-w₂=w_r/Q_L=59406, 06/3,33=17839,66

Q₀=w_r/w₁-w₂=59406, 06/17839,66=3,33

Wyznaczanie dobroci obwodu rezonansowego Q₀ z charakterystyki przebiegu napięcia na rezystancji.

Q=U_L/U_R=U_C/U_R=(J*X_L)/(J*R)=X_L/R=ω_oL/R= 59406, 06*0,056/1000=3,33

-Wykreślanie charakterystyki R,X_L,X_C,Z,X,X_L-X_C jako funkcji f/f₀

f*1000	9459,56			R	xl	xc	xl-xc	z
3000	0,317139			1000	1050	10489,83	-9439,83	9492,653
4000	0,422853			1000	1400	7867,375	-6467,37	6544,229
5000	0,528566			1000	1750	6293,9	-4543,9	4652,637
6000	0,634279			1000	2100	5244,917	-3144,92	3300,076
7000	0,739992			1000	2450	4495,643	-2045,64	2276,984
7500	0,792849			1000	2625	4195,933	-1570,93	1862,211
8000	0,845705			1000	2800	3933,687	-1133,69	1511,703
8500	0,898562			1000	2975	3702,294	-727,294	1236,51
9000	0,951418			1000	3150	3496,611	-346,611	1058,366
9450	0,998989			1000	3307,5	3330,106	-22,6058	1000,255
10000	1,057132			1000	3500	3146,95	353,05	1060,492
10500	1,109988			1000	3675	2997,095	677,9048	1208,12
11000	1,162845			1000	3850	2860,864	989,1364	1406,553
11500	1,215701			1000	4025	2736,478	1288,522	1631,039
12000	1,268558			1000	4200	2622,458	1577,542	1867,79
12500	1,321415			1000	4375	2517,56	1857,44	2109,522
13000	1,374271			1000	4550	2420,731	2129,269	2352,4
14000	1,479984			1000	4900	2247,821	2652,179	2834,44
15000	1,585697			1000	5250	2097,967	3152,033	3306,859
16000	1,691411			1000	5600	1966,844	3633,156	3768,265

5 Wnioski i uwagi końcowe

Jeśli reaktancja dwójnika jest równa zero, to występuje zjawisko zwane rezonansem napięć.

Wtedy napięcie na kondensatorze jest równe napięciu na indukcyjności i jest do niego w przeciwfazie, a impedancja dwójnika Z jest równa rezystancji R. Poza tym maksymalne napięcie na cewce i kondensatorze są sobie równe.

Wyniki różniły się nieznacznie. Jest to wynikiem niedokładnych odczytów danych jak i drobnych zmian napięcia wychodzącego z generatora prądu zmiennego.

6 Zastosowane elementy, urządzenia i mierniki

-Woltomierz BM857a

-Woltomierz BM857a

-Generator funkcji GFG-3015

-Płytka połączeniowa

-Przewody połączeniowe

7 Literatura

-Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, WNT, Warszawa 2001

-Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna, t. 1, WNT, Warszawa 1973

-Krakowski M., Elektrotechnika teoretyczna, t. 1, PWN, Warszawa 1995

-Kurdziel R., Podstawy elektrotechniki, WNT, Warszawa 1972

-Laboratorium elektrotechniki teoretycznej, wyd. 6, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1998