Egzamin z polibudy II – 9

1. Zbadaj zbieżność szeregu: $\sum_{1}^{\infty}\frac{{(n!)}^{3}}{\left( 2n \right)!}$

2. Oblicz sumę częściową szeregu $\sum_{1}^{\infty}\frac{3^{n} - 1}{5^{n}}$

3. Za pomocą całkowania lub różniczkowania wyznacz sumę szeregu: $\sum_{1}^{\infty}\frac{n(n + 3)}{5^{n}}$

4. Wyznacz przedział zbieżności szeregu: $\sum_{1}^{\infty}{{( - 1)}^{n + 1}\frac{{(x + 1)}^{n}}{n}}$

5. Rozwiń w szereg Maclaurina f(x) = $\frac{4}{x^{2} - 4x - 5}$

6. Wyznacz pochodne cząstkowe: f(x,y)= $\frac{e^{x}}{ln(x + y)}$

7. Oblicz pochodną kierunkową f(x,y) = $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$..(x₀;y₀) = (1,2) i v = ($\frac{1}{2}$;-$\frac{\sqrt{3}}{2})$

8. Wyznacz gradient we wskazanych punktach f(x,y)= x³+y³; (x,y)=(-1,-1)

9. Wyznacz extrema lokalne funkcji na wskazanych obszarach f(x,y) = x²+2xy-4x+8y; 0<x<1, 0<y<2

10. Wyznacz ekstrema funkcji a) f(x,y)=x²-2y²

11. ……………………………b) f. uwikłanej f(x,y) = x³+y³-8xy

12. Oblicz różniczkę: $\frac{arctg1.001}{arcsin0,49}$

13. Wyznacz styczną do krzywej x+x³=y³+y⁵ w punkcie A(1,1)

14. Napisz równanie płaszczyzny stycznej w punkcie (-$\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}$.-1) do powierzchni z=$\frac{\text{arcsinx}}{\text{arccosy}}$

15. Oblicz całki podwójne: ∬xy²dxdy,  dla D = [0,1] * [ − 1, 1]

16. Obliczyć poprzez zastosowanie współrzędnych biegunowych: $\iint_{}^{}{\left( \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} \right)dxdy;9x^{2} + 4y^{2} = 36}$

17. Oblicz pole między funkcjami ∬(x²−xy)dxdy; y ≥ x; y ≤ 3x − x²

18. Oblicz pole płata: f(x,y)=8-2x-2y, x=0,y=0,z=0

19. Zamień kolejność całkowania ∫−12dy∫y2y + 2y2dx

20. Oblicz objętość bryły ograniczonych powierzchniami x²+y²=1, x+y+z=3. z=0

21. Oblicz wartość średnią f(x,y) = x ; 0$\leq x \leq 1;0 \leq y \leq \sqrt{1 - x^{2}}$

22. Oblicz masę obszaru: δ(x,y) = xy,  x = 0; y = 0,  x + y = 2

23. Oblicz współrzędna środka masy: półkole D o promieniu R

24. Oblicz moment statyczny:

25. Oblicz moment bezwładności: gdy gęstość powierzchniowa masy wynosi

δ(x,y) = x,  A(0,−1); B(0,1); C(1, 0) względem osi OX

1. Parcie….Natężenie pola elektry….Siła grawitacyjna…Energia kinety….

2. Zbadaj zbieżność całki: [kryterium ilorazowe] $\int_{0}^{8}\frac{\text{dx}}{x^{2} + \sqrt[3]{x}}$

3. Obliczyć granicę

4. Narysować dziedzinę i wyznaczyć zbiór wartości funkcji, oraz poziomice:

F(x,y)= 2-x²-y²

1. Znaleźć zbiory punktów nieciągłości funkcji f(x,y) = $\left\{ \begin{matrix} 1 - \sqrt{x^{2} + y^{2}}\text{\ dla\ }x^{2} + y^{2} < 1 \\ x^{2} + y^{2} - 1\ dla\ x^{2} + y^{2} \geq 1 \\ \end{matrix} \right.\ $