Egzamin z polibudy II – 10

1. Zbadaj zbieżność szeregu: $\sum_{1}^{\infty}{(\frac{1}{2}\arccos\frac{1}{n})}^{n}$

2. Oblicz sumę częściową szeregu $\sum_{1}^{\infty}\frac{4^{n} - 1}{5^{n}}$

3. Za pomocą całkowania lub różniczkowania wyznacz sumę szeregu: $\sum_{1}^{\infty}\frac{2n + 1}{2^{n}}$

4. Wyznacz przedział zbieżności szeregu: $\sum_{1}^{\infty}{\frac{n^{3}}{12^{n}}{(x + 3)}^{n}}$

5. Rozwiń w szereg Maclaurina f(x) = ln$\left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^{2}$

6. Wyznacz pochodne cząstkowe: f(x,y)= $\sqrt[3]{x^{6} - 8y^{3}}$

7. Oblicz pochodną kierunkową f(x,y) =$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$..(x₀;y₀) = (-3,4) i v = (-$\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$

8. Wyznacz gradient we wskazanym punkcie f(x,y)= arcsin$\frac{x}{y}$; (x,y)=(2,1)

9. Oblicz pochodną z definicji f(x,y)=$\sqrt[4]{\text{xy}}$ w punkcie (1,1)

10. Wyznacz extrema lokalne funkcji na wskazanych obszarach f(x,y) = xy+y; x≥0; y ≥ 0; 6x + 4y − 24 = 0,

11. Wyznacz ekstrema funkcji a) f(x,y)=x²y+$\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$

12. ……………………………b) f. uwikłanej f(x,y) = x²-xy-y²+5

13. Oblicz różniczkę: 0, 97^1, 05 + 1, 05^0, 97

14. Wyznacz styczną do krzywej xe^y+ye^x=e^xy w punkcie przecięcia się tej krzywej z osią OX

15. Napisz równanie płaszczyzny stycznej w punkcie (-1$; - \sqrt{3}$,z) do powierzchni z=arctg$\frac{x}{y}$

16. Oblicz całki podwójne: $\iint_{}^{}{\frac{x^{2}}{y^{2}}dxdy,\ dla\ Djest\ obszarem\ x = 2,y = x,xy = 1\rbrack}$

17. Obliczyć poprzez zastosowanie współrzędnych biegunowych: ∬(x²+y²)dxdy; y > 0,  2y ≤ x² + y² ≤ 2x

18. Oblicz pole między funkcjami y=0; x=0; x=9; y=${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

19. Oblicz pole płata: f(x,y)=1-x²-y², x²+y²=2

20. Zamień kolejność całkowania $\int_{- 1}^{1}{\text{dx}\int_{x - 2}^{\sqrt{4 - x^{2}}}{f(x,y)dy}}$

21. Oblicz objętość bryły ograniczonych powierzchniami: z=3; z=$\sqrt{25 - (x^{2} + y^{2})}$

22. Oblicz wartość średnią f(x,y) = $\frac{y}{x}$ ; 0≤y; x + y ≤ 0; 4 ≤ x² + y² ≤ 9

23. Oblicz masę obszaru: δ(x,y) = y,  x = 2y²;  x = 3 + y²

24. Oblicz współrzędne środka masy: y=e^x, y=0,x=0 i x =1

25. Oblicz moment statyczny: względem xOz obszaru U o masie M określonego nierównościami: 1≤x² + y² + z² ≤ 3; y ≥ 0; z ≥ 0.

26. Oblicz moment bezwładności jednorodnej kuli x²+y²+z²≤2z względem (O,O)

27. Zbadaj zbieżność całki: [kryterium całkowe] $\int_{0}^{\infty}\frac{e^{x}\text{dx}}{e^{2x} + 1}$

28. Obliczyć granicę

29. Narysować dziedzinę i wyznaczyć zbiór wartości funkcji, oraz poziomice:

F(x,y)= ln$\frac{x + 1}{y}$

1. Znaleźć zbiory punktów nieciągłości funkcji f(x,y) = $\left\{ \begin{matrix} \frac{\text{tgxy}}{x}\text{\ dla}\left( x,y \right) \neq (0,0) \\ 0\ dla\ \left( x,y \right) = (0,0) \\ \end{matrix} \right.\ $