1.Definicje: Prędkość i przyspieszenie

Prędkość - wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu.

skalarna wielkość oznaczająca przebytą drogę w jednostce czasu lub tylko wartość prędkości zwana przez niektórych szybkością. $V = \frac{\text{dx}}{\text{dt}} = \operatorname{}\frac{x}{t}$ $V_{sr} = \frac{r}{t}$

Jednostka prędkości w układzie SI to metr na sekundę.

Przyspieszenie - Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, czyli jest szybkością zmiany prędkości. Jeśli przyspieszenie styczne jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje a

przyspieszenie to jest nazywane opóźnieniem. $\overset{}{a_{sr}} = \frac{\overset{}{v}}{t}$

$$a = \operatorname{}\frac{\overset{}{v}}{t} = \frac{d\overset{}{v}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{d\overset{}{r}}{\text{dt}} \right) = \frac{d^{2}\overset{}{r}}{dt^{2}}$$

2.Wielkości dynamiczne: praca, energia kinetyczna, potencjalna i ich związki

Praca – jedna z form energii $W = \overset{}{F} \bullet \overset{}{r}$ [1J=1N*1m]

$$dW = \overset{}{F} \bullet d\overset{}{r}\ \ \ \ \rightarrow \ \ \ W = \int_{\text{ra}}^{\text{rb}}{\overset{}{F} \bullet d\overset{}{r}} - \ praca\ wykonana\ na\ drodze\ A \rightarrow B$$

Energia kinetyczna $E_{k} = \frac{1}{2}mv^{2}$

Związek energii kinetycznej z pracą rośnie na skutek pracy wykonanej przez siłe na drodze od A do B dowód:

$$W = \int_{A}^{B}{F \bullet dr}\ ,\ \ \ \ \ F = \frac{\text{mdv}}{\text{dt}}\ \ \ \ ,\ \ \ dr = v\ dt\ $$

$$W = \int_{A}^{B}{\frac{\text{mdv}}{\text{dt}} \bullet vdt = \ m\int_{A}^{B}{\left( v \bullet \frac{\text{dv}}{\text{dt}} \right)\text{dt\ }}}$$

$$\left( \frac{\text{dv}}{\text{dt}} \right)dt = dv$$

$$W = m\int_{A}^{B}{v\ \bullet dv = \frac{1}{2}mv^{2}\int_{A}^{A} = \frac{1}{2}mv_{B}^{2} - \frac{1}{2}mv_{A}^{2}\text{\ \ \ \ \ }}$$

W = ∫_A^BF • dr =  E_kB − E_kA

Energia potencjalna - energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej.

E_PB − E_PA = W(A→B) = −∫_A^BF  • dr 

Energia potencjalna jest różnicą energii więc należy podać punkt względem którego liczymy Ep Umowa :

r_A = ∞     →    E_P = 0

E_P(r) = ∫_r^∞F  • dr =   − ∫_r^∞F  • dr - praca jaką należy wykonać aby przeciągnąć ciało do nieskończoności

3.Zasady dynamiki Newtona

I zasada dynamiki Newtona $\overset{}{F} = 0\ lub\ \sum_{i}^{}{Fi = 0}$

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą sie to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym

II zasada $\overset{}{F} = ma\ $

Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona to ciało to porusza się ruchem zmiennym wartość przyspieszenia w tym ruchu jest wprost proporcjonalna do masy ciała i do wartości liczbowej działające siły

III zasada F₁₂ = −F₂₁

jeżeli ciało A działa na ciało b pewną siłą F to ciało B działa na ciało A siłą F o tym samej wartości , kierunku ale o przeciwnym zwrocie

4. Transformacje Galileusza, zasada względności Galileusza

We wszystkich układach inercjalnych przestrzeń i czas mają jednakowe własności i jednakowe są wszystkie prawa mechaniki

$\overset{}{r} = \overset{}{r^{'}} + \overset{}{u}t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t = t^{'}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$

Jeżeli u=const to prawa mechaniki mają tę samą postać

x = x^′ + ut         y = y^′           z = z^′      t = t^′

$$\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = \frac{dx^{'}}{\text{dt}} + u\ \ \ \ \ \ v = v^{'} + u$$

$\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = \frac{dv^{'}}{\text{dt}} + \frac{\text{du}}{\text{dt}}$ →a = a^′    → F = ma = ma^′ = F′

5. Układy inercjalne i nie inercjalne siły bezwładności

Układ inercjalny– układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku). Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki i fizyki są w nich identyczne. Inercjalny układ odniesienia można również zdefiniować jako taki układ, w którym nie pojawiają się pozorne siły bezwładności.

Układ nieinercjalny - ciało może poruszać się z przyspieszeniem nawet jeśli nie działają na niego siły, oprócz sił wzajemnego oddziaływania występują siły pozorne, siły unoszenia, siły bezwładności. Jeżeli doświadczenia wykonujemy w układzie nieinercjalnym to musimy uwzględnić przyspieszenie układu przykłady: spadająca winda, spirala śmierci, wirujące wiaderko, wybijanie krążków, zrywanie nitki, uderzenie młotkiem

6. Siły bezwładności wynikające z nie inercjalności układu ziemskiego

Siła odśrodkowa $\overset{}{F_{0}} = m\omega^{2}\overset{}{r}$

Siła Coriolisa – działa na ciało poruszające

$${\overset{}{F}}_{\text{oC}} = - 2m\overset{}{\omega} \times \overset{}{V}$$

$$jezeli\ \overset{}{\omega} = \overset{}{\text{v\ }}\text{to\ }\overset{}{F_{0C}} = 0\ ,\ jesli\ rzucimy\ cialo\ na\ biegunie\ to\ sila\ nie\ dziala\ $$

7. Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii mechanicznej ( kinetyczna + potencjalna) spełniona jest tylko dla sił zachowawczych.

$W = \int_{A}^{B}{\overrightarrow{F} \bullet d\overrightarrow{r} = E_{\text{kB}} - E_{\text{kA\ }}}$– twierdzenie o pracy i energii

$W = E_{\text{PB}} - E_{\text{PA}} = - \int_{A}^{B}{\overrightarrow{F} \bullet d\overrightarrow{r}}$- przenoszenie punktu materialnego o masie m

E_kB − E_kA  = −(E_PB−E_PA)

E_kA + E_PA = E_kB + E_PB

8. Pole sił zachowawczych zasada zachowania energii mechanicznej

Siła jest zachowawczą jeżeli praca wykonana przez tę siłę przy przesunięciu cząstki od A do B jest niezależna od drogi inaczej W(A do B) = - W(B do A ) praca po drodze zamkniętej = 0 przykładem siły zachowawczej jest siła centralna (to taka siła której wartość zależy tylko od odległości oddziaływujących ciał a jej kierunek leży wzdłuż linii łączącej środki oddziaływujących ciał) a niezachowawczej siła tarcia

9.Definicja pędu. Zasada zachowania pędu

Pęd - w mechanice wielkość fizyczna opisująca ruch obiektu fizycznego. Pęd mogą mieć wszystkie formy materii, np. ciała o niezerowej masie spoczynkowej, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne.

$$F\left( r \right) = m \bullet \ \frac{d^{2}r}{dt^{2}} = m\ \bullet \frac{\text{\ dv}}{\text{dt}}$$

$$\int_{0}^{t}{F\ dt = \ \int_{v0}^{v}{\text{m\ }\left( \frac{\text{dv}}{\text{dt}} \right)\ dt = mv\left( t \right) - \ mv\left( 0 \right)}}$$

Definicja pędu cząstki p=mv

Zasada zachowania pędu: F₁₂ =   − F₂₁

$$F_{12} = m_{2}\ \bullet \frac{dv_{2}}{\text{dt}}\ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ F_{21} = m_{1}\ \bullet \frac{dv_{1}}{\text{dt}}$$

m₂dv₂ + m₁dv₁ = 0

(m₁v₁ + m₂v₂)_poczatkowe = (m₁v₁ + m₂v₂)_koncowe 

10. definicja momentu siły i moment siły

Moment siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F

$$\overrightarrow{N} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$$

$$(N = r_{0}F\ \ ,\ \ \ \ \ \ N \equiv r_{\hat{}}F \equiv rF_{\hat{}}$$

11. Związek między momentem siły a momentem pędu, zasada zachowania momentu pędu

Moment pędu $\overrightarrow{J} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}$

Związek między momentem siły a momentem pędu :

$$\frac{\text{dJ}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\ \left( r \times p \right) = \frac{\text{dr}}{\text{dt}} \times p + r\ \times \frac{\text{dp}}{\text{dt}}$$

↓ ↓

1. N

Bo $\frac{\text{dr}}{\text{dt}} = v\ p\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r \times F = N\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\mathbf{\text{dJ}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{= N}$

Moment pędu jest zachowany jeżeli wektorowa suma momentów sił działających na układ jest równa zeru $\frac{\text{dJ}}{\text{dt}} = 0\ \ \ \rightarrow \ \ J = const\ $

12. ruch obrotowy bryły sztywnej, moment bezwładności

Ruch obrotowy bryły sztywnej to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu.

J = r × p = r × mv

v = ω  × r

J = r × m(ω×r) = mr × (ω×r)

J = m[ω(r•r) − r(r•ω)]

J = mr²ω = Iω

Moment bezwładności twierdzenie Steinera : I = I_sr.m + Mh²

I_śr.m- moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy

M – masa ciała

h- odległość osi obrotu od osi przechodzącej przez środek masy

I punktu materialnego I = mr²

I dla układu punktów $I = \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}r_{i}^{2}}$

I dla bryły sztywnej I = ∫r²dm = ∫r²ρdv

13. Zjawisko procesji, procesja Ziemi

Ziemia jako bąk

Ziemia ma kształt spłaszczonej elipsoidy obrotowej, wirującej wokół osi nie pokrywającej się z jej osią symetrii.

Procesja astronomiczna – oś Ziemi zakreśla stożek wokół kierunku prostopadłego do płaszczyzny ekliptyki z okresem 26000 lat. Bąk na który działa zewnętrzny moment siły bo: odchylenie kształtu od symetrii sferycznej i nie jednorodności zewnętrznego pola grawitacyjnego w obszarze Ziemi. Inne zastosowania i kłopoty spowodowane zjawiskiem procesji: działa grawitowane, wystrzelona wirująca torpeda, żyroskop jako kompas, kolejka jednotorowa, negatywne skutki to uszkodzenie szybko obracających się turbin

14. Siłą grawitacji, potencjał grawitacyjny, prawa Keplera

Siła grawitacji

$$\overrightarrow{F} = k\ \bullet \ \frac{m_{g}m_{\text{gl}}}{r^{2}}\ \bullet \ \frac{\overrightarrow{r}}{r}$$

Każdemu punktowi w przestrzeni przypisujemy wektor natężenia pola grawitacyjnego G. Cząstka o masie m_g w polu o natężeniu G. $\ \ F = m_{g}G,\ \ \ \ G = k\ \bullet \ \frac{m_{\text{gl}}}{r^{2}}$

K – stała grawitacyjna =6,673 · 10^-11 N m²/kg²

Potencjał grawitacyjny

Energia potencjalna pola grawitacyjnego ( jest to praca wykonana przez siłę przyłożoną przeciw sile grawitacji przy przesunięciu z nieskończoności gdzie Ep=0)

Energia potencjalna w dowolnej skończonej odległości jest ujemna bo siła grawitacyjna jest przyciągająca. Siła grawitacyjna jest zachowawcza jak każda siła centralna.

Potencjał grawitacyjny $V = \frac{E_{P}\left( r \right)}{m} = \ - k\ \bullet \frac{M}{r}\ $ - grawitacyjna energia potencjalna na jednostkę masy ciała znajdującego się w polu grawitacyjnym

Prawa Keplera

I – Wszystkie planety poruszają się po orbitach eliptycznych. W jednym z ognisk elipsy znajduje się Słońce

II – Promień wodzący planet zakreśla w równych odstępach czasu równe pola

III – Kwadraty okresów obiegu różnych planet dookoła Słońca są proporcjonalne do sześcianów wielkich półosi elips $\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}$

15. Transformacja Lorentza , skrócenie długości, wydłużenie czasu

Transformacja Lorentza zachowuje odległości w czasoprzestrzeni. W przeciwieństwie do transformacji Galileusza, gdzie niezmiennikiem jest czas i odległość w przestrzeni, w transformacji Lorentza zachowany jest interwał (odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni), podczas gdy wielkość jednostki czasu i odległości zależy od prędkości układu odniesienia.

x^′=x − vt       →   x=x^′+vt

Zmiana znaku prędkości dla transformacji Lorentza zmiana znaku $\beta = \frac{v}{c}$

x = γ(x^′+βct^′)

y = y^′

z = z^′

$$t = \gamma\left( t^{'} + \frac{\beta x^{'}}{c} \right)$$

Skrócenie długości

y = y₂ − y₁,   z = z₂ − z₁ 

y^′ = y′₂ − y′₁,      z^′ = z′₂ − z′₁

$$l = \sqrt{y^{2} +}z^{2}$$

$$l^{'} = \sqrt{{y'}^{2} +}{z'}^{2}$$

l = l′

Wyniki pomiaru długości nie zależy od prędkości, jeżeli układ porusza się w kirunku prostopadłym do mierzonego odcinka

Wydłużenie czasu

Dylatacja czasu – zjawisko różnic w pomiarze czasu dokonywanym równolegle w dwóch różnych układach odniesienia, z których jeden przemieszcza się względem drugiego. Pomiar dotyczy czasu trwania tego samego zjawiska.

W szczególnej teorii względności czasy przebiegu tego samego zjawiska dla różnych obserwatorów są powiązane zależnością:

gdzie:

Δt0 – czas trwania zjawiska zarejestrowany przez obserwatora spoczywającego względem zjawiska,

Δt – czas trwania tego samego zjawiska zachodzącego w układzie odniesienia pierwszego obserwatora rejestrowany przez obserwatora poruszającego się względem pierwszego z prędkością v,

16. Równoważność masy i energii przykłady

E = m₀c²

E = m₀c²

Przykłady:

1.Zamiana energii w masę – przy małych prędkościach niemierzalne zderzamy dwie masy m₁=m₂=1g o prędkościach v=10³ m/s – zderzenie całkowicie niesprężyste (masy po zderzeniu łączą się i zatrzymują ) przyrost masy $m = \frac{E_{k}}{c^{2}} \cong 2 \bullet \frac{mv^{2}}{2c^{2\ \ }} \cong 10^{- 11}g$;

Produkcja cząstek w zderzeniach cząstek elementarnych przy wysokich energiach przy zderzeniu dwóch protonów powstają mezony.

2. Zmiana masy w energię – synteza protonu i neutronu w jądra deuteronu

p + n → d + γ (2.23MeV)- energia wiązania deuteronu uwalnia się w postaci energii fotonu (γ);;; reakcja syntezy na słońcu (źródło energii Słońca i większości gwiazd)

17. prawa statyki płynów ciśnienie hydrostatyczne

Prawa :

Prawo Pascala – Ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane jednakowo na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia bez żadnych strat

Prawo Archimedesa – ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie wypierane

jest ku górze z siłą równą ciężarowi płynu wypartego przez to ciało

Ciśnienie hydrostatyczne – w ciele stałym nie ma ograniczenia na kierunek działania siły na powierzchnię, w płynie siła powierzchniowa musi być prostopadła do powierzchni płynu

$$p = \frac{F}{s}\ \left\lbrack \frac{N}{m^{2}} = 1Pa \right\rbrack$$

18. Hydrodynamika: równanie ciągłości, równanie Bernouli’ego, przykłady zjawisk

Przykłady zjawisk

1.Piłeczka utrzymana w strumieniu powietrzu odkurzacza

2.Model strun głosowych

3. Płytka w strumieniu powietrza

4. Ruch piłki wprawiony dodatkowo w ruch obrotowy

5.Efekt Magnusa (zakrzywieniu toru piłki poruszającej się ruchem postępowo obrotowym w wodzie)

6.Siła nośna

Równanie ciągłości

rurka prądu przecięta dwiema powierzchniami S₁ i S₂ prostopadłymi do v

∫_sv • ds = ∫_s1v • ds + ∫_s2v • ds = ∫_vdiv v • dV = 0

∫_sv • ds = ∫_s2v • ds = const

Równanie Bernouli’ego

Praca wykonana przez wypadkową siłę działającą na układ jest równa zmianie energii kinetycznej układu.

Całkowita praca :

-praca wykonana przez siłę parcia nad układem, W₁ = p₁A₁l₁

-praca wykonana przez układ przeciw sile parcia W₂ = −p₂A₂l₂

- praca wykonana przez układ przeciw sile grawitacji W₃ = −mg(y₂ − y₁)

Całkowita praca = $\mathbf{W =}\left( \mathbf{p}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{p}_{\mathbf{2}} \right)\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{\rho}}\mathbf{- \ mg(}\mathbf{y}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{y}_{\mathbf{1}}\mathbf{)\ }$

Zmiana energii kinetycznej $E_{k} = \frac{mv_{2}^{2}}{2} - \frac{mv_{1}^{2}}{2}$

W = E_k

$$\left( p_{1} - p_{2} \right)\frac{m}{\rho} - \ mg\left( y_{2} - y_{1} \right) = \frac{mv_{2}^{2}}{2} - \frac{mv_{1}^{2}}{2}$$

$$p_{1} + \frac{\text{ρv}_{1}^{2}}{2} + \rho gy_{1} = p_{2} + \frac{\text{ρv}_{2}^{2}}{2} + \rho gy_{2}$$

$$\mathbf{p +}\frac{\mathbf{\text{ρv}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{+ \rho gy = const\ }$$

19.Oddziaływanie ładunków prawo Coulomba

Prawo Coulomba mówi, że siła wzajemnego oddziaływania dwóch punktowych ładunków elektrycznych jest wprost proporcjonalna do iloczynu tych ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.

$$F = \frac{q_{1}q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\text{\ \ }\frac{\overrightarrow{r}}{r}$$

Każdy ładunek można zapisać jako n*e

Makro świat – niedostrzegalne ( w żarówce np.)

Mikro świat – cząstki : protony (+), elektrony (-), neutrony (0). Siła Coulomba odpowiada za wiązania jądra i elektronów. Siły kulombowskie osłabiają wiązania jądrowe

20. Natężenie i potencjał pola elektrostatycznego strumień pola

Natężenie pola

Każdemu punktowi w przestrzeniu przyporządkowujemy wektor – kierunek siły F zwrot z jakim poruszałby się ładunek dodatni umieszczony w tym punkcie

$$\overrightarrow{E}\left( x,y,z \right) = \overrightarrow{F}(x,y,z)/\rho_{0\ \ }$$

$$E = \frac{F}{\rho_{0}} = \frac{\rho}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\ \frac{\overrightarrow{r}}{r}$$

Strumień pola elektrycznego

Wektor powierzchni ds- wartość ds., kierunek prostopadły, zwrot na zewnątrz

dΦ = E • ds,       Φ = ∮E • ds 

Przykłady: pole dipola elektrycznego

Potencjał pola

Pole elektrostatyczne można opisać równoważnie przy pomocy potencjału. Pole elektryczne jest polem centralnym a więc zachowawczym, praca nie zależy od drogi.

Wykonując prace W_AB przesuwając ładunek punktowy ρ₀(+) od A do B w polu E

$$\frac{W_{\text{AB}}}{\rho_{0}} = V_{B} - V_{A}$$

$$V = \frac{W}{\rho_{0\ }}$$

Związek natężenia z potencjałem

Praca wykonana przez czynnik zewnętrzny na odcinku dl

dW_z = F_z • dl

W_AB = ∫_A^BF_z • dl = −ρ₀∫_A^BE • dl

$$V_{B} - V_{A} = \frac{W_{\text{AB}}}{\rho_{0}} = - \int_{A}^{B}{E \bullet dl}$$

21.Prawo Gausa dla pola elektrycznego, wyprowadzenie prawa Coulomba z prawa Gaussa

Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności dielektrycznej ε, jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.

ε₀Φ = ε₀∮E • ds = q

Powierzchnia Gaussa – dowolna powierzchnia zamknięta

Równoważność z prawem Coulomba : umieszczony ładunek q₀ w odległości r od q

$$F = E\rho_{0}\ \ \rightarrow \ \ F = \frac{q_{1}q_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\ \frac{\overrightarrow{r}}{r}$$

22. Rozkład ładunku i potencjału na przewodniku izolowanym

Powierzchnia przewodnika jest powierzchnia ekwipotencjalną

Układ ma potencjał :

$$V = \frac{q_{1}}{4\pi\epsilon_{0}r_{1}} = \frac{q_{2}}{4\pi\epsilon_{0}r_{2}}$$

Kule połączone mają więc ten sam potencjał

$$\frac{q_{1}}{q_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2\ }}$$

Gęstości powierzchniowe $\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\sigma_{1} = \frac{q_{1}}{4\pi r_{1}^{2}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sigma_{2} = \frac{q_{2}}{4\pi r_{2}^{2}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

$$\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}} = \frac{q_{1}}{q_{2\ }} \bullet \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \bullet \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}} = \frac{r_{2}}{r_{1}}$$

r₂,r₁ – promienie krzywizny przewodników

23. Pojemność, kondensator, pojemność kondensatora płaskiego

Kondensator – urządzenie do magazynowania energii potencjalnej w polu elektrycznym, wytwarzania jednorodnych pól elektrycznych , elementy obwodów elektronicznych .Dwa przewodniki odizolowane od otoczenia naładowana takimi samymi różnoimiennymi ładunkami +q, -q

Pojemność elektryczna - C - q = C V [1F – 1 farad]

odosobnionego przewodnika nazywamy wielkość fizyczną C równą stosunkowi ładunku q zgromadzonego na przewodniku do potencjału tego przewodnika.

Pojemność kondensatora płaskiego –

- górna ścianka pudełka – Φ=0 (bo przewodnik z ładunkiem statycznym)

- boczne ścianki – Φ=0 bo E prostopadłe do ds.

-strumień przez dolną ściankę – Φ=EA

q₀V = q₀E d

V = E d

$$\mathbf{C =}\frac{\mathbf{q}}{\mathbf{V}}\mathbf{=}\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{0}}\mathbf{E}\frac{\mathbf{A}}{\mathbf{E}}\mathbf{d =}\frac{\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{0}}\mathbf{A}}{\mathbf{d}}$$

24. Gęstość energii zgromadzonej w polu elektrycznym i magnetycznym

Układ ładunków ma potencjalną energię elektryczną równą pracy potrzebnej na jego utworzenie z ładunków które początkowo znajdowały się w nieskończoności w spoczynku.

Naładowany kondensator przechowuje energię potencjalną równą pracy potrzebnej do naładowania go

Pojemność kondensatora płaskiego $C = \varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\frac{A}{d}$

Gęstość energii zgromadzonej w kondensatorze płaskim

$$u = \frac{U}{\text{Ad}} = \frac{CV^{2}}{2Ad} = \varepsilon_{r}\varepsilon_{0}A\text{\ V}^{2}/2Ad^{2}$$

25. Wektor indukcji pola magnetycznego

Przestrzeń otaczająca magnes lub przewodnik z prądem nazywamy polem magnetycznym.

B- wektor indukcji magnetycznej może być reprezentowany przez linie indukcyjne (styczne do linii indukcji w dowolnym punkcie daje kierunek B ilości linii przypadającej na jednostkę powierzchni prostopadła do tych linii jest miara B

Strumień indukcji Φ_B = ∫B  • ds 

F=q₀(v × B)

Założenie : Nie ma w okolicy pola elektrycznego, zaniedbujemy siły grawitacji, na ładunek swobodny q₀ nie działają żadne siły

1. Dodatni ładunek próbny q₀ porusza się w stronę punktu P z dowolną prędkością v.

2. Zmienny kierunek v pozostawiając wartość v nie zmienioną. F i v zawsze tworzą kąt prosty – wartość F się zmienia

3. Dla pewnego kierunku v siła oddziaływania na ładunek F=0 – ten kierunek jest z definicji kierunkiem B

4. Wybieramy kierunek v prostopadły do B – wartość maksymalna siły

$$F = q_{0}vB\ \rightarrow B = \frac{F}{q_{0}v}$$

26. Siła Lorentza, ruch ładunku w polu elektrycznym i magnetycznym

Siła Lorentza — siła jaka działa na cząstkę obdarzoną ładunkiem elektrycznym poruszającą się w polu elektromagnetycznym.

Wzór określa, jak siła działająca na ładunek zależy od pola elektrycznego i pola magnetycznego

gdzie:

F – wektor siły (w niutonach),

q – ładunek elektryczny cząstki (w kulombach),

E – wektor natężenia pola elektrycznego (w woltach / metr),

B – wektor indukcji magnetycznej (w teslach),

v – wektor prędkośći cząstki (w metrach na sekundę),

1. Pomiar ładunku i jego oddziaływania w ruchu

-nie można stosować prawa Coulomba

-można używać prawa Gaussa

1. Niezmienniczość ładunku : całkowity ładunek nie zmienia się w skutek ruchu nośników

-obojętność elektryczna atomów i cząstek

-porównanie widm spektralnych izotopów

1. Pole E mierzone w różnych układach odniesienia – relatywistyczna transformacja E

Pole magnetyczne i związki z polem elektrycznym – z prądem elektrycznym związane jest pole magnetyczne wytworzone w przestrzeni wokół przewodnika. To pole działa na poruszającą się cząstkę naładowaną, innym przewodnikiem z prądem, magnes

Doświadczenia : igła kompasu w pobliżu przewodnika z prądem, oddziaływanie dwóch przewodników z prądem

27.Natężenie prądu, opór, prawo Ohma, prawo Kirchoffa, siła elektromotoryczna

Natężenie prądu

$$\mathbf{i}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{dq}}}{\mathbf{\text{dt}}}$$

Jeżeli szybkość stałą w czasie to i = q/t [1C/s = 1A ]

Natężenie prądu jest wielkością makroskopową

Opór

$R = \frac{V}{i}$[V/A=1om ]

Opór właściwy $\rho = \frac{E}{j}$

Prawo Ohma

Spełnione jest jeżeli opór przewodnika jest stały niezależnie od przyłożonego napięcia . Tylko niektóre przewodniki spełniają prawo Ohma

Siła elektromotoryczna SEM

Źródło wykonuje prace dW nad ładunkiem dodatnik (wymusza ruch w stronę punktu o wyższym potencjale

$$\varepsilon = \frac{\text{dW}}{\text{dq}}$$

Prawa Kirchoffa

I – W dowolnym węźle algebraiczna suma prądów musi być równa zeru

$$\sum_{k = 1}^{n}{i_{k} = 0 \rightarrow \sum_{k = 1}^{n}{\frac{dq_{k}}{\text{dt}} = 0 \rightarrow \sum_{k = 1}^{n}{dq_{k} = 0}}}$$

II – Algebraiczna suma zmian potencjału napotkanych przy całkowitym obiegu obwodu mysi być równa 0

28. Prawo Ampera

∮B  • dl = μ₀ i - całka po drodze zamkniętej wokół przewodnika z prądem z B*dl jest równa μ₀ razy wartość prądu

Dla przewodnika prostoliniowego najprościej zastosować całkę po okręgu

$$\int_{}^{}{\overrightarrow{B} \bullet}\overrightarrow{\text{dl}} = \int_{}^{}\text{Bdl} = 2\pi RB$$

2πRB = μ₀ i − prawo ampera 

B = μ₀i/2πR

$$\mu_{0} = 4\pi \bullet 10^{- 7}\left\lbrack \frac{\text{Wb}}{\text{Am}} \right\rbrack$$

29.Oddziaływania 2 przewodników prądem, definicja ampera

Dwa przewodniki z prądem się przyciągają ponieważ przewodnik a wytwarza pole o indukcji Ba w punkcie gdzie umieszczony jest przewodnik b

B_a = μ₀i_a/2πd

Przewodnik b umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym

Na odcinek l przewodnika b działa siła $\text{\ \ \ \ \ }F_{b} = \mu_{o}i_{a}\frac{i_{b}l}{2\pi d}$

Definicja Ampera

d=1m i_a=i_b=i

Jeżeli tak dobrane że siła oddziaływania/ jednostkę długości wynosi 2*10^-7 N/m to natężenie i=1A

$$\frac{F}{l} = \frac{\mu_{0}i^{2}}{2\pi d} = 2 \bullet 10^{- 7}\text{\ \ }\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

30. Prawo indukcji Faradaya, zjawisko samoindukcji

Prawo indukcji Faradaya

$$\varepsilon = - \frac{d\Phi_{B}}{\text{dt}}$$

$$\Phi_{B} = \int_{}^{}B \bullet ds,\ \ \ \ \ \ \frac{d\Phi_{B}}{\text{dt}}\ \left\lbrack \frac{\text{Wb}}{s} \right\rbrack\ \rightarrow \ \varepsilon\ \left\lbrack V \right\rbrack$$

Przy zwojnicy o N zwojach wygląda tak :

$$\varepsilon = - N\frac{d\Phi_{B}}{\text{dt}} = \ - \frac{d\left( N\Phi_{B} \right)}{\text{dt}}\text{\ gdzie\ N}\Phi_{B}\ calkowity\ strumien\ \ $$

Zmiana pola magnetycznego w czasie powoduje powstanie SEM. Lokalnie zmienny strumień B indukuje w punktach otaczających zwój pole elektryczne o natężeniu E. To indukowane pole E jest równie realne jak pole wytworzone przez ładunki statyczne. Pole B prostopadłe do płaszczyzny wzrasta ze stałą szybkością dB/dt we wszystkich punk tasz .

Jeśli zmiana natężenia prądu płynącego w cewce o ΔI wywołana zmianę strumienia indukcji magnetycznej objętego przez cewkę o ΔΦ_B to indukcyjność L tej cewki ma wartość $L = \frac{\Phi_{B}}{I}\text{\ \ }\left\lbrack \frac{\text{Wb}}{A} = H \right\rbrack$