RACHUNEK ZDAŃ
Rachunek ten zajmuje się związkami międzyzdaniowymi wymawianymi w zdaniach złożonych współrzędnie, powstającym z łączenia zdań funktorami zdaniotwórczymi od argumentów zdaniowych. W rachunku nie używa się konkretnych zmian lecz posługuje się zmiennymi zdaniowymi. Które reprezentują zdania a gdy za zmienną zdaniową w funkcji zdaniowej konkretne zdania funkcja ta przekształca się w zdanie. Prawdziwość lub fałszywość otrzymanego w ten sposób zdania zależy od prawdziwości lub fałszywości zdań składowych nie zależy natomiast od ich treści innymi słowy funkcje występujące w rachunku zdań są prawdziwe.
Pojęcia „rachunek zdań” używa się zamiennie z pojęciem „klasyczny rachunek logiczny”
Białystok leży na zachód od Warszawy to Warszawa leży na wschód od Białegostoku.
Język rachunku zdania.
Słownik
-stałe logiczne ~,v,Λ, , Ξ, które odczytujemy jako –nieprawda ze, i, lub, jeżeli to, wtedy i tylko wtedy gdy mają odpowiednie nazwy— negacja, koniugacja, alternatywa, implikacja, równoważność
Prócz stałych logicznych rachunek ten posługuje się zmiennymi zdaniowymi (p, q, r, s ) za zmienne zdaniowe można podstawiać zdania w sensie logicznym tj. wyrażenie prawdziwe lub fałszywe dlatego rachunek ten nazywa się dwuwartościowym. Zdania mają wartość prawdy co zapisujemy za pomocą symbolu -1 lub mają wartość fałszywą -0
Formami poprawnie zbudowanymi k.r.z. czyli wyrażeniem sensownym tego zdania są.
1 wyrażenia proste zmienne p, q, r, s.
2 wyrażenia złożone
a) jeśli ψ jest wyrażeniem sensownym to –(ψ) jest wyrażeniem sensownym
b)Jeśli ψ jest wyrażeniem sensownym i Ф jest wyrażeniem sensownym to wyrażenie (ψ)v ,Λ,Ξ, (Ф) są wyrażeniami sensownymi czyli wyrażeniami poprawnie złożonymi k.r.z.
c) wyrażeniami zdaniowymi k.r.z. są zmienne zdaniowe wyrażenia utworzone ze zmiennych zdaniowych przez jedno wielokrotne stosowanie warunku wyrażonego w punkcie drugim.
Nawiasy porządkują funkcje zdaniową zdań wskazując który funktor jest funktorem głównym.
Λ- koniunkcja
v- alternatywa
implikacja siła wyznania amfibolia- błąd
Ξ - równoważność
Pv(qΛ~r) s
P Q r s
Skończę studia i będę pracować naukowo lub zostanę urzędnikiem wtedy i tylko wtedy gdy zadowolę się
skromnymi dochodami.
1- (pΛq)vr Ξ s
2- (pΛq)v(rΞs)
3- pΛ qv(rΞs)
4- pΛ (qvr)Ξs
Wartość logiczna tj. prawdziwość lub fałszywość zdania złożonego zbudowanego ze zdań prostych wyłącznie za pomocą spójników którym odpowiadają symbole Λ, v, , Ξ zależy Tylko od wyboru tych spójników , od wartości logicznych zdań składowych ( w związku z tym spójniki takie i zdania nazywamy prawdziwymi lub ekstremalnymi . Zależność tę można ująć w postać tabel zwanym matrycami logicznymi w których znaki 1 i 0 świadczą o prawdziwości zdania
| p | ~p |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
| p | q | pΛq | Pvq | p q | P Ξ q |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Łączna dysfunkcja dokładnie 1 z 2 jest prawdziwa
| p | q | p lub q | p lub q | p lub q |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
3 Ten człowiek idący przede mną jest mężczyzną lub kobietą.
Nie prawda że jeżeli Platon założył akademię to jeśli Arystoteles był uczniem Platona to Arystoteles nie uczęszczał do akademii.
Czy na podstawie tych informacji można udzielić odp. Na pytania
Czy Platon założył akademię? ~1[p1 (q0 ~0r1)]
Schemat tego zdania przedstawia się następująco ~p (q ~r)