PROGNOZOWANIE

Podstawy prognozowania

• zdarzenie nastąpi, ponieważ wystąpiło w przeszłości

• zdarzenie nastąpi, ponieważ wskazuje na to częstość jego występowania

• zdarzenie nastąpi, ponieważ wskazuje na to silne powiązanie z innym zdarzeniem/zdarzeniami, które wystąpiło

Etapy prognozowania

Etap 1 sformułowanie zdarzenia prognostycznego

Etap 2 określenie przesłanek prognostycznych

Etap 3 zebranie i statystyczna obróbka danych

Etap 4 wybór metody prognozowania

Etap 5 konstrukcja prognozy

Etap 6 ocena dopuszczalności prognozy

Etap 7 zastosowanie prognozy

Etap 8 ocena trafności prognozy

METODY MECHANICZNE

Prognoza naiwna

UWAGA

Metody takie jak prognoza naiwna i średnia ruchoma umożliwiają budowę prognoz tylko na jeden okres przyszłości.

Zastosowanie metody naiwnej

• w przypadku, gdy zmienna prognozowana wykazuje stały przeciętny poziom przy niewielkich wahaniach przypadkowych, których poziom mierzony jest współczynnikiem zmienności.

Zalety metody naiwnej

• prostota obliczeń

• brak efektu postarzania informacji

Wady metody naiwnej

• możliwa jest budowa jedynie prognoz krótkoterminowych

• metody naiwnej nie stosuje się w przypadku gdy zmienna prognozowana wykazuje wahania sezonowe

Metoda naiwna dana jest następującą formułą

Y_t^* = Y_t − 1

Współczynnik zmienności dany jest jako

$$V = \frac{S}{\overset{\overline{}}{Y}} \times 100$$

gdzie

S - odchylenie standardowe zmiennej prognozowanej

$\overset{\overline{}}{Y}$ - średnia arytmetyczna zmiennej prognozowanej

zatem:

$$\overset{\overline{}}{Y} = \frac{1}{n}\sum_{t = 1}^{n}Y_{t},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{t = 1}^{n}\left( Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y} \right)^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S = \sqrt{S^{2}}$$

Lata	Yt
1990	105
1991	110
1992	106
1993	100
1994	101
1995	100
1996	108
1997	104
1998	98
1999	103
2000	108
2001	104
2002	103
2003	100
2004	98
2005	102
2006	101
2007	104
2008	105

Należy:

• wykreślić przebieg w czasie zmiennej prognozowanej

• ocenić możliwość zastosowania metody naiwnej

• zbudować prognozę na rok 2009

• ocenić trafność prognozy

Ocena możliwości zastosowania metody naiwnej

$$\overset{\overline{}}{Y} = 103,1579$$

S² = 11, 3626 V = 3, 27[%]

S = 3.3706

Prognoza naiwna dana jest jako

Lata	Yt	Yt^*
1990	105	-
1991	110	105
1992	106	110
1993	100	106
1994	101	100
1995	100	101
1996	108	100
1997	104	108
1998	98	104
1999	103	98
2000	108	103
2001	104	108
2002	103	104
2003	100	103
2004	98	100
2005	102	98
2006	101	102
2007	104	101
2008	105	104
2009	-	105	← prognoza naiwna na rok 2009

Wykres wartości rzeczywistych i prognozowanych

Okres weryfikacji prognoz zawiera prognozy rzeczywiste i teoretyczne (ex post)

Wraz ze wzrostem odległości w przyszłość błąd będzie wzrastał.

Prognoza dopuszczalna – występuje wówczas jeżeli decydent, który z niej chce skorzystać akceptuje błąd.

Ocena trafności prognozy – błąd ex post

Błąd ex post dany jest następującą formułą

$$\Psi_{t} = \frac{Y_{t} - Y_{t}^{*}}{Y_{t}} \times 100$$

UWAGA

Przyjmijmy, że prognozę uznamy za trafną jeżeli błąd ex post nie będzie większy od 5%

W roku 2009 rzeczywista realizacja zmiennej prognozowanej Y_t wyniosła 106. Zatem mamy:

$\Psi_{t} = \frac{Y_{t} - Y_{t}^{*}}{Y_{t}} \times 100\ \rightarrow \frac{106 - 105}{106} \times 100 = 0,94\left\lbrack \% \right\rbrack$ ← prognoza jest/była trafna

Prognoza naiwna – prognoza naśladująca rzeczywistość

ŚREDNIA RUCHOMA

Filtruje rzeczywistość, doprowadza proces Y to takiego stanu o którym jesteśmy w stanie coś więcej powiedzieć.

Zastosowanie średniej ruchomej

• w przypadku gdy zmienna prognozowana wykazuje trend i wahania przypadkowe

Zalety średniej ruchomej

• prostota obliczeń

• umożliwia wygładzenie szeregu czasowego

• stanowi wstępną metodę obróbki szeregu czasowego

• brak efektu postarzania informacji

Wady średniej ruchomej

• możliwa jest budowa jedynie prognoz krótkoterminowych

• średniej ruchomej nie stosuje się w przypadku gdy zmienna prognozowana wykazuje wahania sezonowe

Prognoza uzyskana metodą średniej ruchomej ma postać

$$Y_{t}^{*} = \frac{1}{k}\sum_{i = t - 1}^{t - 1}y_{i}$$

gdzie

k – okres średniej ruchomej

UWAGA

• im wyższy okres k średniej ruchomej, tym gładszy, ale zatem krótszy szereg teoretyczny

• im niższy okres k średniej ruchomej, tym słabiej wygładzony szereg czasowy, ale jednocześnie odpowiednio długi

• okres k średniej ruchomej wybierany jest w oparciu o kryterium minimalizacji dowolnego błędu ex post prognoz wygasłych

Przykład

Lata	Yt	Yt^*	3 - okresowa
1990	105	-	-		$Y_{4}^{*} = \frac{1}{3}\left( 105 + 110 + 106 \right) = 107,00$
1991	110	105	-
1992	106	110	-
1993	100	106	107,00
1994	101	100	105,33		$$Y_{5}^{*} = \frac{1}{3}\left( 110 + 106 + 100 \right) = 105,33$$
1995	100	101	102,33
1996	108	100	100,33
1997	104	108	103,00
1998	98	104	104,00
1999	103	98	103,33
2000	108	103	101,67
2001	104	108	103,00
2002	103	104	105,00
2003	100	103	105,00
2004	98	100	102,33		$Y_{T = 20}^{p} = \frac{1}{3}\left( 101 + 104 + 105 \right) = 103,33$
2005	102	98	100,33
2006	101	102	100,00
2007	104	101	100,33		ex ante
2008	105	104	102,33
2009	-	105	103,33

Okres weryfikacji prognoz zaczyna się w roku 1993

Okres weryfikacji prognoz kończy się w roku 2008

Stosując średnią ruchomą z okresem k=5 zbudować prognozę na rok 2009

Lata	Yt	Yt^*	3 - okresowa	5 - okresowa
1990	105	-	-	-
1991	110	105	-	-
1992	106	110	-	-
1993	100	106	107,00	-
1994	101	100	105,33	-
1995	100	101	102,33	104,40
1996	108	100	100,33	103,40
1997	104	108	103,00	103,00
1998	98	104	104,00	102,60
1999	103	98	103,33	102,20
2000	108	103	101,67	102,60
2001	104	108	103,00	104,20
2002	103	104	105,00	103,40
2003	100	103	105,00	103,20
2004	98	100	102,33	103,60		$$Y_{T = 20}^{p} = \frac{1}{5}\left( 98 + 102 + 101 + 104 + 105 \right) = 102,00$$
2005	102	98	100,33	102,60
2006	101	102	100,00	101,40
2007	104	101	100,33	100,80
2008	105	104	102,33	101,00
2009	-	105	103,33	102,00

BŁĘDY EX POST

Cechy charakterystyczne błędów ex post

• wartość błędu nie ulega zmianie wraz ze wzrostem horyzontu prognozy

• błędy ex post liczone są zawsze na postawie prognoz wygasłych

• istnieją modele dla których nie można obliczyć niektórych błędów ex post z uwagi na założenia teoretyczne modelu

m – tzw. wartość sparowana

ME (mean error) średni błąd ex post ← nie dla modeli ekonometrycznych

$$ME = \frac{1}{m}\sum_{t \in I_{\text{ep}}}^{}\left( Y_{t} - Y_{t}^{*} \right)$$

MAE (mean absolute error) średni absolutny błąd ex post

$$MAE = \frac{1}{m}\sum_{t \in I_{\text{ep}}}^{}\left| Y_{t} - Y_{t}^{*} \right|$$

MSE (mean squared error) średni kwadratowy błąd ex post

$$MSE = \frac{1}{m}\sum_{t \in I_{\text{ep}}}^{}\left( Y_{t} - Y_{t}^{*} \right)^{2}$$

RMSE (root mean squared error) pierwiastek błędu ex post

$$RMSE = \sqrt{\text{MSE}}$$

MPE (mean percentage error) średni błąd procentowy ex post

$$MPE = \frac{1}{m}\sum_{t \in I_{\text{ep}}}^{}\frac{Y_{t} - Y_{t}^{*}}{Y_{t}} \times 100$$

MAPE (mean absolute percentage error) średni absolutny błąd procentowy prognoz ex post

$$MPE = \frac{1}{m}\sum_{t \in I_{\text{ep}}}^{}\frac{\left| Y_{t} - Y_{t}^{*} \right|}{Y_{t}} \times 100$$

Porównanie błędów ex post dla średniej ruchomej 3 i 5-cio okresowej

Średnia ruchoma 3 – okresowa

Prognoza wynosi 103,33

Błędy ex post:

ME = −0, 3958

MAE = 3, 5208

MSE = 17, 6458

RMSE = 4, 2007

MPE = −0, 0049

MAPE = 3, 4381 [%] ← dopuszczalność prognozy

Średnia ruchoma 5-cio – okresowa

Prognoza wynosi 102,00

Błędy ex post:

ME = −0, 0286

MAE = 2, 7429

MSE = 11, 5029

RMSE = 3, 3916

MPE = −0, 0012

MAPE = 2, 6755 [%] ← dopuszczalność prognozy

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE TRENDU

Model tendencji rozwojowej

Przyjmijmy, że poszukiwana funkcja trendu ma postać liniową, czyli:

f(t) = α₀ + α_1t ← trend deterministyczny

To model szeregu czasowego ma postać

Proces stochastyczny Y_t z czasem dyskretnym o nielosowym parametrze t.

Funkcja losowa z nielosowym czasem t.

Szacowanie parametrów

Postać macierzowa modelu ma następującą postać

y = Xα + ξ

gdzie:

$y = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \\ \end{bmatrix}$ $X = \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \vdots \\ n \\ \end{matrix} \right\rbrack$ $\alpha = \begin{bmatrix} \alpha_{0} \\ \alpha_{1} \\ \end{bmatrix}$ $\xi = \begin{bmatrix} \xi_{1} \\ \xi_{2} \\ \vdots \\ \xi_{n} \\ \end{bmatrix}$

Wektor ocen parametrów strukturalnych dany jest jako

a = (X^′X)⁻¹X′Y

gdzie

$$X^{'}X = \begin{bmatrix} n & \sum_{t = 1}^{n}t \\ \sum_{t = 1}^{n}t & \sum_{t = 1}^{n}t^{2} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }X^{'}y = \begin{bmatrix} \sum_{t = 1}^{n}y_{t} \\ \sum_{t = 1}^{n}\text{ty}_{t} \\ \end{bmatrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a = \begin{bmatrix} a_{0} \\ a_{1} \\ \end{bmatrix}$$

Przy czym det (X′X)≠0

WERYFIKACJA MODELU

Wariancja resztowe

$$\text{Su}^{2} = \frac{1}{n - k}\sum_{t = 1}^{n}\left( y_{t} - y_{t}^{*} \right)^{2}$$

Stąd

Odchylenie standardowe

$$Su = \sqrt{\text{Su}^{2}}$$

Średnie błędy szacunku czyli:

Macierz wariancji i kowariancji

D²(a) = Su²(X′X)²

↓

$D\left( a_{0} \right) = \sqrt{\frac{\text{Su}^{2}\sum_{t = 1}^{n}t^{2}}{n\sum_{t = 1}^{n}\left( t - \overset{\overline{}}{t} \right)^{2}}}\ $ $D\left( a_{1} \right) = \frac{\text{Su}^{2}}{\sqrt{\sum_{t = 1}^{n}\left( t - \overset{\overline{}}{t} \right)^{2}}}$

lub

$$D^{2}\left( a \right) = \begin{bmatrix} \sqrt{\left( . \right)} & \\ & \sqrt{\left( . \right)} \\ \end{bmatrix}$$

Prognoza punktowa dana jest jako

BŁĘDY EX ANTE

Błędy ex ante biorą pod uwagę przyszłe prognozy

Średni błąd predykcji dany jest jako

$V = \sqrt{{X^{'}}_{T}D^{2}\left( a \right)X_{T} + \text{Su}^{2}}$

X^′_T - transponowany wektor przyszłych realizacji zmiennych

D²(a) - macierz wariancji i kowariancji

X_T - kolumnowy wektor przyszłych realizacji zmiennych objaśniających

Su² - wariancja resztowa

Względny średni błąd predykcji dany jest jako

(ujęcie procentowe błędu stanowi odnośnik do teorii prognoz)

$$V^{*} = \frac{V}{y_{T}^{p}} \times 100$$

Prognoza przedziałowa budowana wokół prognozy punktowej

P_r(y_T^p−uV<y_T^p<y_T^p+uV) = γ_T

V - średni błąd predykcji

γ_T - poziom wiarygodności prognozy

u - wartość krytyczna odczytana z rozkładu wartości krytycznych T-Studenta (na odpowiednim poziomie istotności przy odpowiednim stopniu swobody) lub rozkładu normalnego

poziom wiarygodności prognozy = poziom istotności

Bezrobocie w Polsce – przykład trendu liniowego

Na podstawie danych o bezrobociu w Polsce [tyś] zamieszczonych w tablicy oszacować funkcję trendu o postaci.

Y_t = α₀ + α₁t + ξ_t

Lata	Yt
1995	67,10
1996	62,10
1997	73,70
1998	86,60
1999	82,00
2000	87,80
2001	106,00
2002	97,60

Dane wejściowe w postaci wektora i macierzy są następujące:

$y = \begin{bmatrix} 67,1 \\ 62,1 \\ 73,1 \\ 80,6 \\ 82,0 \\ 87,8 \\ 106,0 \\ 97,6 \\ \end{bmatrix}$ $X = \left\lbrack \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \\ \end{matrix} \right\rbrack$

Stosując formułę na wektor ocen parametrów strukturalnych MNK a = (X^′X)⁻¹X′Y mamy

$X^{'} = \left\lbrack \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{matrix}\ \begin{matrix} \ \ \ \ 1 & 1 & 1 \\ \ \ \ \ 4 & 5 & 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ \ \ \ \ 1 & 1 \\ \ \ \ \ \ 7 & 8 \\ \end{matrix} \right\rbrack$ $X'X = \begin{bmatrix} 8 & 36 \\ 26 & 204 \\ \end{bmatrix}$

${X^{'}X}^{- 1} = \begin{bmatrix} 0,607 & - 0,107 \\ - 0,107 & 0,238 \\ \end{bmatrix}$ $X^{'}y = \begin{bmatrix} 656,9 \\ 3194,4 \\ \end{bmatrix}$

Stąd

$$a = \begin{bmatrix} 56,575 \\ 5,675 \\ \end{bmatrix}$$

Model można zapisać jako:

Y_t = 56, 575 + 5, 675t + u_t

Interpretacja

W latach 1995-2002 bezrobocie w Polsce wzrastało z roku na rok średnio rzecz biorąc o 5,675 tyś osób.

W roku 1994 przeciętny poziom bezrobocia wynosił 56,575 tyś osób

(parametr wolny interpretuje się jako prognozę z okresu przed prognozą – prognoza dotyczy przeszłości)

Wartości teoretyczne dane są jako:

y₁^* = 56, 575 + 5, 675 × 1 = 62, 25

y₂^* = 56, 575 + 5, 675 × 2 = 67, 925

⋮              ⋮               ⋮             ⋮           ⋮ 

y₈^* = 56, 575 + 5, 675 × 8 = 101, 975

Miary struktury stochastycznej

Wariancja reszt i odchylenie standardowe

$$\text{Su}^{2} = \frac{189,1325}{8 - 2} = 31,52208\ \left\lbrack tys \right\rbrack^{2}$$

$$Su = \sqrt{31,52208} = 5,6144\ \left\lbrack tys \right\rbrack$$

Średnie błędy szacunku

$$D^{2}\left( a \right) = \begin{bmatrix} 19,1384 & - 3.3776 \\ - 3,3776 & 0,7505 \\ \end{bmatrix}$$

D(a₀) = 4, 3747

D(a₁) = 0, 8663

Y_t = 56, 575 + 5, 675t + u_t

(4,3747)  (0, 8663)

Dopasowanie modelu do danych empirycznych

Lata	Yt	$$\left( Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y} \right)^{2}$$
1995	67,10	225,375156
1996	62,10	400,500156
1997	73,70	70,7701562
1998	86,60	2,28765625
1999	82,00	0,01265625
2000	87,80	32,347
2001	106,00
2002	97,60

φ² = 0, 1226  → 12, 26 [%]

R² = 0, 8774  → 87, 74 [%]

Prognoza punktowa na rok 2003

T = 9 przyszła realizacja zmiennej czasowej

Y_{Tp = 2003} = 56, 575 + 5, 675 × 9 = 107, 65 [tys]

Średni błąd predykcji

$$X_{T} = \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \\ \end{bmatrix}\ \rightarrow V = 7,1176\ \left\lbrack tys \right\rbrack$$

______________________________________________________________________________________

Y_t = 56, 575 + 5, 675t + u_t

ogólna formuła na prognozę

Y_T^p = 56, 57 + 5, 67T

$X_{T} = \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \\ \end{bmatrix}$ przyszła realizacja ślepej zmiennej

Przyszła realizacja T

Y_T^p = 5, 67T + 56, 57

$$X_{T} = \begin{bmatrix} 9 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$

______________________________________________________________________________________

żeby policzyć średni błąd predykcji

$V = \sqrt{{X^{'}}_{T}D^{2}\left( a \right)X_{T} + \text{Su}^{2}}$

Interpretacja błędu:

Rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej Y_t odchylają się średnio rzecz biorąc in plus bądź in minus o 7,1176 tyś osób, od wyznaczonych prognoz

Względny błąd predykcji

V^* = 6, 61[%]

Interpretacja

Średni błąd predykcji stanowi 6,61% przeciętnego poziomu prognozy

Prognoza przedziałowa na rok 2003

n − k = 8 − 2 = 6 α = 0, 05 u = 2, 447

↓

Pr(107,65−2,447×7,1176<y_r<107,65+2,447×7,1176) = 0, 95

↓

Pr(90,2332<y_r<125,0668) = 0, 95

Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

Zgromadzono następujące dane

• Y_t - zgony niemowląt na 1000 urodzeń żywych

• X_1t - spożycie wódki czystej i gatunkowej w przeliczeniu na alkohol 100% w litrach na osobę w ciągu roku

• X_2t - PKB na jednego mieszkańca w $

Lata	Yt	X1t	X2t
1992	17,3	3,5	2195
1993	16,1	3,8	2233
1994	15,1	3,8	2402
1995	13,6	3,5	3293
1996	12,2	2,9	3724
1997	10,2	2,8	3725
1998	9,5	2,4	4098
1999	8,9	2,1	4014
2000	8,1	2	4078

Wykresy rozrzutu

Na podstawie materiału statystycznego oszacowano model ekonometryczny o postaci

Y_t =  α₁X_1t + α₂X_2t + α₀ + ξ_t

i uzyskano następujące wyniki

Y_t^* =  1, 79X_1t − 0, 0026X_2t + 15, 46 + u_t

Interpretacja:

Dla X_1t

Wzrost spożycia alkoholu o 1 jednostkę spowoduje wzrost liczby zgonów niemowląt na 1000 urodzeń żywych o 1,79 pod warunkiem, że PKB nie ulegnie zmianie.

Dla X_2t

Wzrost PKB o 1 dolara spowoduje spadek liczby zgonów na 1000 urodzeń żywych o 0,0026 pod warunkiem, że spożycie alkoholu nie ulegnie zmianie

Dla parametru wolnego

Taka będzie przeciętna liczba zgonów na 1000 urodzeń żywych w przypadku gdy spożycie alkoholu oraz PKB będzie równe zero

Y_t^* =  1, 79X_1t − 0, 0026X_2t + 15, 46 + u_t

(1,048) (0,000913)   (5, 998)

Miary struktury stochastycznej

n = 9

k = 3

Su² = 0, 796954

Su = 0, 592723

Istotność parametrów strukturalnych – test T-Studenta

α = 0, 2 t_α = 1, 415

Wartości sprawdzianu:

t_α1 = 1, 7118 t_α2 = −2, 8073

$$D^{2}\left( a \right) = \begin{bmatrix} 1,098 & 0,0008 & - 6,134 \\ 0,0008 & 8,32E - 7 & - 0,005 \\ - 6,134 & - 0,005 & 35,986 \\ \end{bmatrix}$$

Miary dopasowania modelu do danych empirycznych

φ² = 5, 28835 R² = 94, 71165

oraz

Vs = 7, 24[%]