WERYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH

Przedziały ufności parametrów strukturalnych

Przedział ufności dla parametru strukturalnego modelu dany jest następującą formułą:

{a_i−t_α×D(a_i)<a_i<a_i+t_α×D(a_i)} = γ

a_i – i-ty parametr modelu dla którego budowany jest przedział

t_α – wartość krytyczna odczytywana z tablic wartości krytycznych rozkładu t-Studenta odczytywana jest na z góry założonym poziomie istotności α

D(a_i) – średni błąd szacunku i-tego parametru

γ – poziom ufności dany jest jako 1-α

Przykład:

Oszacowano model ekonometryczny i uzyskano następujące wyniki

Y₁ = 2X_1t − 5X_2t + 1 + u_t

(1) (2) (0,5)

n  =  20 n − k = 20 − 3 = 17 α = 0, 05 t_α = 2, 11

Przedział ufności dla parametru stojącego przy zmiennej X_1t

{2−2,11×2<a₁<2+2,11×2} = 0, 95

{−2,22<a₁<6,22} = 0, 95

Założenie że α=5%

Poziom istotności α oznacza, że na 100 takich przedziałów 5 razy przedział ufności nie pokryje wartości oszacowanego parametru.

Poziom ufności α będzie wynosił 95%, to na 100 takich przedziałów, przedział ufności 95 razy pokryje wartość oszacowanego parametru.

W przypadku t-Studenta – maksymalna liczba obserwacji = 120

Jeżeli liczba obserwacji jest większa niż 120 – stosuje się rozkład normalny.

Badanie istotności parametrów strukturalnych

Przyczyny nieistotności wpływu zmiennych objaśniających na zmienną endogeniczną:

- mała dokładność lub nieodpowiedniość danych statystycznych

- mała dokładność technik estymacji

- niewłaściwa postać analityczna modelu

- pominięcie istotnych zmiennych objaśniających

- przyczyny wynikające z losowości próby

Test Fishera Snedecora – test F

Badanie wszystkich parametrów łącznie

Z pominięciem wyrazu wolnego, hipotezy mają następującą postać

H_o : α₁ = …α_k = 0 głosi o braku istotności statystycznej

H₁ : α₁ ≠ ⋯α_k ≠ 0 nie bierzemy pod uwagę parametru wolnego, głosi, że wszystkie parametry z pominięciem parametru wolnego są istotne statystycznie

Statystyka testu dana jest następującą formułą:

$F = \frac{R^{2}}{1 - R^{2}} \times \frac{N - K - 1}{K}$ r₁ = K r₂ = N − K − 1

Gdzie

N – liczba obserwacji

K – liczba zmiennych objaśniających

R² – współczynnik determinacji

(Hipoteza statystyczna – sposób podejmowania decyzji w statystyce)

Decyzja:

F≥F_α hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej co oznacza, że przynajmniej jedna zmienna objaśniająca wpływa na zmienną endogeniczną.

F<F_α brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej co oznacza, że wszystkie zmienne nieistotnie wpływają na zmienną endogeniczną.

(jeżeli poziom istotności przyjmujemy na poziomie 5% to na 100 decyzji 5 razy się pomylimy)

Przykład

Oszacowano model ekonometryczny i uzyskano następujące wyniki:

Y₁ = 2X_1t − 5X_2t + 1 + u_t

(1) (2) (0,5)

n  =  20 n − k = 20 − 3 = 17 α = 0, 05 R² = 0, 65

H₀ : α₁, α₂ = 0

H₁ : α₁, α₂ ≠ 0

r₁ = K = 2 r₂ = N − K − 1 = 20 − 2 − 1 = 17

Fx = 3, 59 $F = \frac{0,65}{1 - 0,65} \times \frac{20 - 2 - 1}{2} = 15,79$

Decyzja:

F > Fx

Jeżeli F > Fx to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej głoszącej, że parametry a₁ i a₂ są istotne statystycznie.

Oznacza to z punktu widzenia ekonometrycznego, że zmienne, które stoją przy rozważanych parametrach mają istotny wpływ na zmienną endogeniczną.

Test t-Studenta – dotyczy badania parametrów strukturalnych modelu

Różni się tym od parametru Fishera że każdy parametr jest indywidualnie badany włącznie z parametrem wolnym.

Przy spełnionych założeniach Metody Najmniejszych Kwadratów (jeśli to nie jest spełnione to osłabia to test i wychodzą błędy) sprawdzeniem hipotezy zerowej:

H_o : a_i = 0

Wobec hipotezy alternatywnej:

H₁ : a_i ≠ 0 (a₁<0;a₁>0)

Jest statystyka testu t-Studenta o n − k stopniach swobody dana jako:

$t = \frac{a_{i}}{D(a_{i})}$ i = 1, 2, …,  k

n – liczba obserwacji

k – liczba szacowanych parametrów

Decyzja:

Jeżeli:

|t| > t_α hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej na poziomie istotności (parametr jest istotny i zmienna pozostaje w modelu):

dla α = 1 − γ

|t| < t_α brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej na poziomie istotności (parametr jest na poziomie zero i zmiennej nie powinno być w modelu – nie wpływa na Y)

dla α = 1 − γ

(przy teście ogólnym stosujemy test Fishera, przy badaniach szczegółowych stosujemy test t-Studenta

gdy t = t_α to albo zmieniamy dokładność obliczeń albo test, ostatecznie możemy zmienić poziom istotności –ale lepiej tego nie robić.

Przykład:

Oszacowano model ekonometryczny i uzyskano następujące wyniki

Y₁ = 2X_1t − 5X_2t + 1 + u_t

(1) (2) (0,5)

n  =  20 n − k = 20 − 3 = 17 α = 0, 05 t_α = 2, 11

Badanie istotności parametru przy zmiennej objaśniającej X_1t

H₀ : ,a₂ = 0

$t = \frac{5}{2} = 2,5\ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \ \left| t \right| > t_{\alpha}$

H₁ : a₂ ≠ 0

Parametr jest istotny statystycznie a zmienna powinna zostać w modelu.

Test Durbina – Watsona na istotność autokorelacji rzędu pierwszego.

Przyczyny występowania autokorelacji rzędu pierwszego:

- niewłaściwa postać analityczna modelu

- błędnie dobrane opóźnienia przy zmiennych objaśniających w modelu

- pominięcie istotnej zmiennej objaśniającej w modelu

Graficzna identyfikacja znaku autokorelacji pierwszego rzędu

Jeżeli znaki reszt są na przemian to ujemna autokorelacja (autokorelacja istotna)

Jeżeli znaki reszt nie są na przemian to dodatnia korelacja

Procedura testu Durbina – Watsona (DW)

Hipotezy testu mają następującą postać

H_o : ρ₁ = 0

H₁ : ρ₁ < 0 (autokorelacja ujemna) H₁ : ρ_i > 0 (autokorelacja dodatnia)

ρ_i - współczynnik autokorelacji rzędu pierwszego

Statystyka testu dana jest jako:

$d = \frac{\sum_{t = 2}^{n}{(u_{t} - u_{t - 1})^{2}}}{\sum_{t = 1}^{n}{u_{t}}^{2}}$ d = 2(1 − r₁)

0 ≤ d ≤ 4

Jeżeli:

H₁ : ρ₁ < 0 to d^′ = 4 − d

ρ₁ - jest pewnym sposobem estymacji współczynnika rzędu pierwszego

r₁ - obliczony współczynnik autokorelacji rzędu pierwszego – inaczej współczynnik korelacji Pearsona – przedział [-1,1]

autokorelacja rzędu pierwszego – to co było wczoraj wpływa na dzisiaj – autokorelacja istotna, jeśli to co było wczoraj nie wpływa na dzisiaj – autokorelacja nieistotna

d_l - dolna wartość krytyczna

zawsze d_l < d_u

d_l - górna wartość krytyczna

Na poziomie istotności 0,05 lub 0,01 odczytywane są dolna i górna wartość krytyczna z tablic wartości krytycznych rozkładu DW, czyli:

d_l oraz d_u

Decyzja, dla H₁ : ρ_i > 0

d ≤ d_l hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej

d_l < d < d_u obszar niekonkluzywności testu oznacza, że nie można podjąć decyzji odnośnie istotności bądź braku autokorelacji

d ≥ d_u brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Decyzja, dla H₁ : ρ_i < 0

d′≤d′_l hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej

d′_l < d′<d′_u obszar niekonkluzywności testu

d′≥d′_u brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Należy pamiętać że:

d = 0 to r₁ ≈ 1

} autokorelacja dodatnia

d = 2 to r₁ ≈ 0 - brak autokorelacji

} autokorelacja ujemna

d = 4 to r₁ ≈ −1

Zatem współczynnik autokorelacji rzędu pierwszego przyjmuje wartości z przedziału [ − 1 ≤ r₁ ≤ 1 ]

Współczynnik autokorelacji jest współczynnik korelacji liniowej Pearsona między resztami model u_t a resztami odpowiednio opóźnionymi o okres τ

W przypadku autokorelacji pierwszego rzędu τ = 1

Testowanie poprawności postaci analitycznej modelu poprzez pryzmat losowości reszt modelu

Test serii:

Hipotezy:

H₀ : [Y_t^*=f(X_1t,X_2t,…,X_kt)]

H₁ : [Y_t^*≠f(X_1t,X_2t,…,X_kt)]

W teście analizie podlegają reszty modelu z tym, że:

- jeżeli model był badany na podstawie danych dynamicznych (np. model tendencji rozwojowej) to reszty są uporządkowane w sposób naturalny zgodnie z upływem czasu (kolejnymi realizacjami zmiennej czasowej t)

- jeżeli model był budowany na podstawie danych przekrojowych to reszty modelu porządkowane są wg rosnących wartości dowolnie wybranej zmiennej objaśniającej

Serią jest dowolny podciąg reszt złożony wyłącznie z elementów dodatnich bądź ujemnych. Reszty równe zero nie są brane pod uwagę !!!

Niech:

u_t > 0 to $"a"$

u_t < 0 to $"b"$

Stąd określamy liczbę serii, tzw k empiryczne

Z tablic liczby serii odczytujemy:

n₁ – dla liczby symboli $"a"$

n₂ – dla liczby symboli $"b"$

na poziomie istotności α

P{k<k_α} = α

Decyzja:

k ≤ k_α to hipotezę zerową należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej. Postać analityczna modelu nie jest właściwa

k > k_α brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

TESTOWANIE NORMALNOŚCI ROZKŁADU RESZT

Test Jarquea – Bery (JB)

Hipotezy dane są jako:

H₀ : F(u_i) = F_N(u_i)

H₁ : F(u_i) ≠ F_N(u_i)

u_i – i-ta reszta

Statystyka testu ma następującą postać:

$$JB = N\left( \frac{1}{6}\beta_{1} + \frac{1}{24}\left( \beta_{2} - 3 \right)^{2} \right)$$

gdzie

$$\sqrt{\beta_{1}} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{u_{i}}^{3}/S^{3}(u_{i})^{2}$$

$$\beta_{2} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{u_{i}}^{4}/S^{4}(u_{i})$$

$$S\left( u_{i} \right) = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{u_{i}}^{2}}$$

Rozkład statystyki JB jest zbieżny do rozkładu χ² o dwóch stopniach swobody χ²(2)

Decyzja:

JB < χ_α²(2) brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym

JB ≥ χ_α²(2) hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej. Rozkład składnika losowego nie jest rozkładem normalnym

Testem alternatywnym do testu JB jest test zgodności chi-kwadrat (χ²)

Przykład zastosowania testu JB.

Na podstawie danych zawartych w tablicy oszacowano model o postaci

Yt	X1t	X2t
4	3	12
3	3	14
0	0	18
4	2	10
4	2	10
3	3	14
0	0	18
4	3	12
3	2	15
1	1	16
3	3	14
1	2	15

Y_t =  α₁X_1t + α₂X_2tα₀ + α₀ + ξ_t

gdzie

Y_t - posiadane dzieci (dziecko)

X_1t - planowane dzieci (dziecko)

X_2t - kariera zawodowa kobiety (lata)

Uzyskano wyniki:

	parametry	średnie błędy szacunku		statystyka testu t-Studenta	p - value
parametr wolny	6,8684	1,3120	istotne	5,2350	0,0005	hipoteza zero odrzucona
X1t	0,5329	0,1759	istotne	3,1292	0,0143	hipoteza zero odrzucona
X2t	-0,3882	0,0745	istotne	5,2081	0,0006	hipoteza zero odrzucona

p-value – zakładany poziom istotności α = 0, 05 (porównujemy ze statystyką p-value)

Hipotezy

H₀ : F(u_i) = F_N(u_i)

H₁ : F(u_i) ≠ F_N(u_i)

Obliczenia pośrednie

ut	ut^3	ut^4
0,1908	0,0069	0,0013
-0,0329	0,0000	0,0000
0,1184	0,0017	0,0002
-0,5260	-0,0001	0,0000
-0,5260	-0,0001	0,0000
-0,0329	0,0000	0,0000
0,1184	0,0017	0,0002
0,1908	0,0069	0,0013
0,8882	0,7006	0,6222
-0,1908	-0,0069	0,0013
-0,0329	0,0000	0,0000
-1,1118	-1,3745	1,5282
0,0000	-0,6640	2,1548

Wiadomo że:

Su = 0, 4911

stąd

$\sqrt{\beta_{1}} = \frac{1}{12}\left( \frac{- 0,6640}{\left( 0,4911 \right)^{3}} \right) = - 0,2181\ $ β₁ = 0, 2181

$$\beta_{2}\frac{1}{12}\left( \frac{2,1548}{0,0582} \right) = 3,0858$$

Zatem statystyka testu JB wynosi:

JB = 0, 4399

Decyzja

JB < χ_α²(2) = 5, 991

Rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym. Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

BADANIE JEDNOŚCI WARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO HETERO I HOMOSCEDASTYCZNE SKŁADNIKI LOSOWE MODELU.

Test Fishera – Snedecora (F)

Hipotezy dane są jako:

H₀ : σ₁² = σ₂²

H₁ : σ₁² ≠ σ₂²

Statystyka testu ma następującą postać

$$F = \frac{{\text{Su}_{1}}^{2}}{{\text{Su}_{2}}^{2}}$$

UWAGA: Wymagane jest by w liczniku znalazła się większa wartość estymatora wariancji składnika losowego.

Statystyka F jest zbieżna do rozkładu Fishera – Snedecora o r₁, r₂ stopniach swobody

r₁ = n₁ − (K+1)

r₂ = n₂ − (K+1)

K – liczba zmiennych w modelu

n₁ – liczebność pierwsza

n₂ – liczebność druga

Decyzja:

F ≥ F_α hipoteza zerowa odrzucona na korzyść hipotezy alternatywnej. Oznacza to, że wariancje prób istotnie różnią się od zera, co oznacza heteroscedastyczne składniki losowe

F < F_α brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Wariancja składników losowych jest jednorodna. Oznacza to, że składniki losowe modelu mają charakter homoscedastyczny.

Przykład na test F

Dany jest następujący wektor reszt. Wynikający z oszacowania modelu z dwiema zmiennymi objaśniającymi K=2

Lp	ut
1	-0,5
2	-0,2
3	0,1
4	-0,1
5	-0,4
6	0,1
7	0,5
8	0,3
9	0,1
10	0,1
11	-1
12	1
13	-2
14	3
15	2
16	-2
17	-3
18	1
19	2
20	-1

Obliczenia pośrednie:

ut1	ut2	ut1^2	ut2^2
-1	-0,5	1	0,25
1	-0,2	1	0,04
-2	0,1	4	0,01
3	-0,1	0	0,01
2	-0,4	4	0,16
-2	0,1	4	0,01
-3	0,5	9	0,25
1	0,3	1	0,09
2	0,1	4	0,01
-1	0,1	1	0,01
-	-	38	0,84

Stopnie swobody:

r₁ = 10 − (2+1) = 7

r₂ = 10 − (2+1) = 7

Wariancje z prób wynoszą:

$${\text{Su}_{1}}^{2} = \frac{38}{\left( 10 - 3 \right)} = 5,43$$

$${\text{Su}_{2}}^{2} = \frac{0,84}{\left( 10 - 3 \right)} = 0,12$$

Hipotezy dane jako:

H₀ : σ₁² = σ₂²

H₁ : σ₁² > σ₂²

Statystyka testu wynosi

$$F = \frac{5,43}{0,12} = 45,24$$

r₁ = 10 − (2+1) = 7

Na poziomie istotności 0,05 przy stopniach swobody

r₂ = 10 − (2+1) = 7

Wartość krytyczna odczytana z rozkładu wartości krytycznych rozkładu Fishera – Snedecora wynosi:

F_α = 3, 79

stąd

F > F_α

czyli

Hipotezę zerową zostaje odrzucona na korzyść hipotezy alternatywnej. Wariancje istotnie różnią się od siebie, co oznacza heteroscedastyczny składnik losowy.

Model należy poprawić stosując Uogólnioną Metodę Najmniejszych Kwadratów (UMNK).

WYBÓR MODELU POPRZEZ KRYTERIUM INFORMACYJNE

1. Kryterium informacyjne Akaike’a (AIC):

$$AIC = T\ln{{\hat{\sigma}}_{\varepsilon}}^{2} + 2k$$

gdzie

T – liczba obserwacji

${{\hat{\sigma}}_{\varepsilon}}^{2}$ - estymator wariancji reszt uzyskany metodą największej wiarygodności

k – liczba szacowanych parametrów modelu

Wybieramy model dla którego AIC jest najmniejszy czyli utrata informacji jest najmniejsza. Im większa liczba parametrów tym mniejszy AIC

1. Bayerowskie rozszerzenie minimum AIC (BIC)

Kryterium BIC koryguje skłonność do używania zbyt dużej liczby parametrów

$$BIC = \left( T - k \right)\ln\frac{{{\hat{\sigma}}_{\varepsilon}}^{2}}{T - k} + T\ lnT + k\ ln\frac{{{\hat{\sigma}}_{z}}^{2} - {{\hat{\sigma}}_{\varepsilon}}^{2}}{k}$$

Gdzie

${{\hat{\sigma}}_{z}}^{2}$ - estymator wariancji szeregu czasowego

Wybrany zostaje model, dla którego BIC jest najmniejsze.

Jeśli AIC i BIC mają wartości minimalne dla różnych rzędów opóźnień wybierając model należy kierować się kryterium BIC.