86. Macierz bezwładności

$$I = \begin{matrix} I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33} \\ \end{matrix}$$

Macierz bezwładności jest macierzą symetryczną.

Elementy na przekątnej – momenty bezwładności

Elementy poza przekątną – momenty dewiacyjne bądź iloczyny bezwładności

Uwaga – można zorientować tak układ współrzędnych aby jest osie pokrywały się z osią maksymalnego i minimalnego momentu bezwładności, wtedy elementy poza przekątną są równe zero.

Składowe tej macierzy uzyskuje się ze wzoru:

, gdzie:

δ_ik = 1, gdy i = k,

I_i to element (1,1) macierzy J_i,

T_p to kolejne macierze składowe kinematyki

81. Twierdzenie Stainera.

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn masy całkowitej

układu przez kwadrat odległości obu osi.

I_l = I_s + md²

Dowód:

Względem osi l:

$$I_{l} = \sum_{}^{}{m_{i}{r'}_{i}^{2}},$$

Względem osi s:

$$I_{s} = \sum_{}^{}{m_{i}r_{i}^{2}}.$$

Między r′_i i r_i zachodzi zależność

r′_i² = r_i² + d² + 2dr_icosα_i = r_i² + d² + 2dx_i.

Stąd

$$I_{l} = \sum_{}^{}{m_{i}r_{i}^{2}} + \sum_{}^{}{m_{i}d^{2}} + \sum_{}^{}{2m_{i}x_{i},}$$

$$I_{l} = I_{s} + md^{2} + 2d\sum_{}^{}{m_{i}x_{i},}$$

I_l = I_s + md² + 2d∫_Vxdm,

Gdzie ∫_Vxdm jest momentem statycznym.

Ponieważ punkt S jest środkiem masy, to ∫_Vxdm = 0.

Otrzymujemy zatem:

I_l = I_s + md²

80. Dewiacyjne momenty bezwładności

Mamy dwie płaszczyzny α i β i punkt m₂ odległy o r₁ i p₁ od tych płaszczyzny. Momentami zboczenia punktu materialnego względem płaszczyzn wzajemnie prostopadłych nazywamy

D_αβ = m₁r₁ρ₁.

Momentem zboczenia względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn nazywamy wyrażenie

D_αβ = ∫_Vrρdm.

W układzie kartezjańskim

D_αβ = ∫_Vxydm,

D_yz = ∫_Vydm,

D_zx = ∫_Vzxdm.

79. Główny moment bezwładności.

Głównymi centralnymi momentami bezwładności nazywa się momenty względem osi takiego układu centralnego, względem którego moment dewiacji jest równy zeru.

α₀₁=α₀, α₀₂ = α₀ + π/2

Dla:

stąd jeżeli

(I_x1c − I_x2c)cos2α_0i > 0,

78. Definicja momentu bezwładności

Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego punktu przez kwadrat odległości tego punktu od płaszczyzny, osi od bieguna.

I = mr².

Momentem bezwładności układu punktów materialnych względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy sumę momentów bezwładności wszystkich punktów względem tej płaszczyzny, osi lubi bieguna:

$$I = \sum_{i}^{}{m_{i}r_{i}^{2}.}$$

Jeżeli teraz mamy bryłę i potniemy ją na elementy Δm_i, to

$$I_{i} = \sum_{i}^{}{r_{i}^{2}m_{i}.}$$

W granicy dla ośrodka ciągłego otrzymujemy

I = ∫_Vr²dm.

Każdy moment bezwładności można przedstawić w postaci iloczyny masy całego układu m przez kwadrat pewnej odległości i zwanej promieniem bezwładności

I = mi².

Stąd

$$i = \sqrt{\frac{I}{m}}$$

Również każdy moment bezwładności można przedstawić w postaci iloczyny pewnej masy m_red przez kwadrat przyjętej odległości k

85. Główna centralna oś bezwładności

84. Centralna oś bezwładności

83. Główna oś bezwładności.

82. Moment bezwładności względem dowolnie skierowanej osi.