WYPROWADZENIA WZORÓW

Klasyczne dodawanie prędkości wyrażane jest za pomocą wzorów:
u’ = u – v, u = u’ + v
gdzie: u’ – prędkość ciała względem poruszającego się układu U’;
u – prędkość ciała względem nieruchomego układu U; v-prędkość układu U^’ względem układu U.

Relatywistyczne składanie prędkości

Niech jeden układ odniesienia względem drugiego porusza się z prędkością u. Rozpatrzmy punkt materialny poruszający się jednostajnie w jednym z układów odniesienia wzdłuż osi x (lub osi x^/). Jego prędkości w układzie nieruchomym i poruszającym się będą: $V = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}$ $V^{'} = \frac{x_{2}^{'} - x_{1}^{'}}{t_{2}^{'} - t_{1}^{'}}$

Wstawiając do pierwszego z tych wzorów transformacje Lorentza:

$x_{1} = \frac{x_{1}^{'} + \text{ut}_{1}^{'}}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}$ , $x_{2} = \frac{x_{2}^{'} + \text{ut}_{2}^{'}}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}$, $t_{1} = \frac{t_{1}^{'} + \frac{ux_{1}^{'}}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}$ , $t_{2} = \frac{t_{2}^{'} + \frac{ux_{2}^{'}}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}$.

Otrzymamy:

$V = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{x_{2}^{'} - x_{1}^{'} + u(t_{2}^{'} - t_{1}^{'})}{t_{2}^{'} - t_{1}^{'} + \frac{u}{c^{2}}(x_{2}^{'} - x_{1}^{'})} = \frac{\frac{x_{2}^{'} - x_{1}^{'}}{t_{2}^{'} - t_{1}^{'}} + u}{1 + \frac{u}{c^{2}}\left( \frac{x_{2}^{'} - x_{1}^{'}}{t_{2}^{'} - t_{1}^{'}} \right)} = \frac{v^{'} + u}{1 + \frac{uv^{'}}{c^{2}}}$,

Czyli:

$v = \frac{v^{'} + u}{1 + \frac{uv^{'}}{c^{2}}}$ , $v^{'} = \frac{v - u}{1 - \frac{\text{uv}}{c^{2}}}$

Dla małych prędkości układów odniesienia względem siebie i ciał w tych układach relatywistyczne prawa składania prędkości przechodzą w klasyczne prawa składania prędkości.

Jeśli we wzorze v’=c, to zawsze równa się c, co znaczy, że prędkość światła jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia, tak jak to postuluje A. Einstein.

Kontrakcja długości czasu (skrócenie):

l₀-długość własna

l₀=x₂’-x₂’ $x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

$l_{0} = \frac{x_{2} - vt_{2}}{\sqrt{1 - \frac{v_{2}^{2}}{c^{2}}}}$ - $\frac{x_{1} - vt_{1}}{\sqrt{1 - \frac{v_{1}^{2}}{c^{2}}}} = \frac{x_{2} - x_{1} - V\left( t_{2} - t_{1} \right)}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Ponieważ: t₂=t₁ , $l_{0} = \frac{x_{2} - x_{1}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ , x₂-x₁=l

$l_{0} = \frac{l}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ , $l = l_{0}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$ , $\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} < 1$ → l < l₀

Dylatacja czasu (wydłużenie):

przedział czasu τ = t₂-t₁

$t = \frac{t^{'} + \frac{x'v}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

$\tau = \frac{{t^{'}}_{2} + \frac{{x'}_{2}v}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} - \frac{{t^{'}}_{1} + \frac{{x'}_{1}v}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Ponieważ: x’₂=x’₁ , $\tau = \frac{{t'}_{2} - {t'}_{1}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ , t’₂-t’₁=τ₀ - czas własny (w układzie X',Y’,Z’)

$\tau = \frac{\tau_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ , $\tau_{0} = \tau\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$

Rozwiązanie równania drgań tłumionych:

$\frac{m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - kx - \gamma\frac{\text{dx}}{\text{dt}}\text{\ \ }}{\ \frac{1}{m}}$

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{x}{m}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \frac{k}{m}x = 0$

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2b\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \varpi_{0}^{2}x = 0$

Rozwiązanie postulujemy w postaci:

x=A(t)cosϖt A(t)-amplituda zależna od czasu ϖ-częstość drgań tłumionych

x’=A’cosϖt+Aϖ(-sinϖt)=A’cosϖt-Aϖsinϖt

x”=A”cosϖt-A’ϖsinϖt-A’ϖsinϖt-Aϖ²cosϖt=A”cosϖt-2A’ϖsinϖt-Aϖ²cosϖt

A”cosϖt-2A’ϖsinϖt-Aϖ²cosϖt+2bA’cosϖt-2bAϖsinϖt+cos²Acosϖt=0

cosϖt(A”-Aϖ²+2bA’+cos²A)-sinϖt(2A’ϖ-2bAϖ)=0

Równanie ma rozwiązania wtedy gdy:

A”-Aϖ²+2bA’+ϖ₀²A=0

2A’ϖ+2bAϖ=0

2A’ϖ=-2bAϖ / 1/(2ϖ)

A’=-bA

dA/dt=-bA dA/A=-bdt

$\int_{A_{0}}^{A}\frac{\text{dA}}{A} = - b\int_{0}^{t}\text{dt}$ lnA|_A0^A = −bt|₀^t

lnA-lnA₀=-bt ln(A/A₀)=-bt

A/A₀=e^-bt A=A₀e^-bt

Praca w polu elektrycznym

$\overrightarrow{F} = \frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon r^{2}} \bullet \frac{\overrightarrow{r}}{r}$ , $W = \int_{r_{A}}^{r_{B}}\overrightarrow{F} \bullet d\overrightarrow{r}$ ,

$W = \int_{r_{A}}^{r_{B}}\frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon r^{3}}\overrightarrow{r} \bullet d\overrightarrow{r}$, $W = \frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon}\int_{r_{A}}^{r_{B}}\frac{\overrightarrow{r} \bullet d\overrightarrow{r}}{r^{3}}$

$\overrightarrow{r} \bullet d\overrightarrow{r} = rdr$ , $W = \frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon}\int_{r_{A}}^{r_{B}}\frac{\text{rdr}}{r^{3}}$

$W = \frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon}\int_{r_{A}}^{r_{B}}{r^{- 2}\text{dr}}$ , $\ W = \frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon}\left( - \frac{1}{r} \right)|_{r_{A}}^{r_{B}}$

$$W = \frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon}\left\lbrack \left( - \frac{1}{r_{B}} \right) - \left( - \frac{1}{r_{A}} \right) \right\rbrack$$

$$W = \frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon}\left\lbrack \frac{1}{r_{A}} - \frac{1}{r_{B}} \right\rbrack$$