Interpretacja geometryczna wartości z przekątnej tensora Greena de Saint Venanta

Wartości z przekątnej tensora Greena De Saint Venatna to wartości odkształceń liniowych (wydłużenia względne) ciała:

Omówić biegunowy rozkład gradientu deformacji, gdy U=1, R=1.

Wydłużenie lub skrócenie + przesunięcie równoległe + obrót wektora

U -prawy tensor rozciągnięcia Greena

V -lewy tensor rozciągnięcia Greena R -tensor obrotu, tensor ortogonalny Dowolny nieosobliwy tensor można przedstawić w postaci iloczynu tensora ortogonalnego i tensora symetrycznego.

1. U=1 – oznacza, że nie ma rozciągnięcia

2. R=1 – oznacza, że nie ma obrotu

Jaki materiał nazywamy prostym, a jaki hipersprężystym?

Materiał prosty: *pomijamy efekty cieplne *jedyną zmienną konstytutywną jest tensor naprężenia

Materiał hipersprężysty: *materiał, dla którego istnieje funkcja skalarna W, taka, że

W – potencjał sprężysty

Podać definicję płaskiego stanu naprężenia, czy odpowiada mu płaski stan odkształcenia?

Płaski stan naprężenia, to taki gdzie

Płaskiemu stanowi naprężeń odpowiada trójosiowy stan odkształceń.

Co to są równania przemieszczenia Lamego?

Równania Lame’go – równania równowagi zapisane w przemieszczeniach:

Jakie naprężenia występują w rurze grubościennej?

Tu już nie są stałe naprężena

b-a=duże, bo rura jest grubościenna

są to np. betonowe przepusty

σ_r - napr. promieniste

σ_y – napr. obwodowe

1 PRZYPADEK:

Pa=0 , Pb ≠ 0

2 PRZYPADEK:

Pb = 0 , Pa ≠ 0

Interpretacja elementów spoza przekątnej głównej tensora Greena de Saint-Venanta:

E_αβ = ½(C_αβ - δ_αβ) – tensor odkształceń Greena de Saint Venanta

E = ½ (C – 1)

E=

Poza przekątną występuje 6 niezależnych elementów określających odkształcenia kątowe

Problem brzegowy nieliniowej teorii sprężystości w opisie materialnym Lagrange’a:

Warunki brzegowe zapisane we współrzędnych kartezjańskich w opisie nieliniowej teorii sprężystości Lagrange`a:

Materiał anizotropowy:

Anizotropia (an- 'nie'; gr. isos 'równy, jednakowy'; gr. trópos 'zwrot, obrót') – zależność od kierunku. Materiałem anizotropowym, ortotropowym, jest drewno - jego wytrzymałość na ściskanie, rozciąganie, zginanie zależy od kierunku działania sił w stosunku do włókien.

Płaski stan odkształcenia oraz związek fizyczny dla ciała liniowo sprężystego w tym stanie:

Płaski stan występuje wówczas, gdy w każdym punkcie ośrodka współrzędne

a pozostałe współrzędne tensora odkształcenia zależą tylko od zmiennych x₁ , x₂ . Wobec tego tensor odkształcenia odniesiony do współrzędnych kartezjańskich x₁ , x₂ , x₃ jest zobrazowany macierzą:

przy czym .

Wynika stąd, że składowe wektora przemieszczenia są opisane wzorami:

Warunki charakterystyczne dla płaskiego stanu odkształcenia występują np. w bardzo długiej ścianie wykonanej z materiału izotropowego i poddanej obciążeniom, które nie zmieniają się wzdłuż osi x₃, równoległej do podłużnych krawędzi ściany. Grubość wyciętego myślowo „plasterka” ściany w btrakcie deformacji pozostaje zawsze taka sama, a oś x₃ jest główną osią odkształcenia, odpowiadającą wartości głównej

Płaskiemu stanowi odkształceń odpowiada trójosiowy stan naprężeń.

Zasada prac wirtualnych dla ośrodka liniowo sprężystego:

Zasada prac wirtualnych obszar V z brzegiem S będące w równowadze pod działaniem sił objętościowych Xi, sił powierzchniowych p_i na S_σ oraz przy danych przemieszczeniach na S_u. Obciążenie ciała wywołuje pole odkształceń ε_ij = u_{(i, j)} oraz pole naprężeń σ_ij .Nadajemy funkcji przemieszczenia u_i wirtualne przyrosty δu_i klasy C¹ o których zakładamy, że są wielkościami małymi, różnymi od zera i kinematycznie dopuszczalnymi, tzn. równymi zeru na S_u.

Zasada pracy wirtualnej mówi, że praca sił zewnętrznych jest równa pracy sił wewnętrznych na dowolnych wirtualnych przemieszczeniach, co zapisujemy:

gdzie wirtualne pole odkształceń jest zależne od wirtualnego pola przemieszczeń

Biegunowy rozkład gradientu deformacji:

X_i= x_i *(X_α,t) , d$\overset{}{r}$=$\overset{}{F}$*d$\overset{}{R}$

F=

Dowolny nieosobliwy tensor można przedstawic jako iloczyn tensora ortogonalnego i symetrycznego F= R*U = V*R

R*R^T = 1 gdzie: R=1 oznacza że nie ma obrotu U=1 oznacza że nie ma rociągnięcia

Równanie tarczy sprężystej z warunkami brzegowymi:

Jest to równanie bihatmoniczne, funkcja Airy`ego

Warunki brzegowe:

Zagadnienie flamanta : jest to szczególny przypadek zagadnienia klina sprężystego dla alfa=90*

Płaski stan naprężeń Płaski stan odkształceń