Wydział Budowy Maszyn i Informatyki

Rok akademicki: 2011/2012

Studia: stacjonarne/inżynierskie

Semestr: 4

Kierunek: mechanika i budowa maszyn

Grupa 1b

PRACA DOMOWA NR 1

Projektowanie układu dwustronnego sprężyn

Dane:

H=500mm

F_d=1000 N

F_g=860 N

f_d=40 mm

Wartości przyjęte:

Q₀=500N

g=5 mm

1. Obliczenia wstępne:

• Sztywność zastępcza C_n:

$$C_{n} = \frac{F_{d}}{f_{d}} = \frac{1000}{40} = 25\ \frac{N}{\text{mm}}$$

• Założenia C₁ oraz C₂:

C₁=11,2 $\frac{N}{\text{mm}}$

C₂=13,8 $\frac{N}{\text{mm}}$

• Ugięcia zmontowania f_zm1 oraz f_zm2:

$$f_{zm1} = \frac{Q_{0}}{C_{1}} = \frac{500}{11.2} = 44,64\ mm$$

$$f_{zm2} = \frac{Q_{0}}{C_{2}} = \frac{500}{13.8} = 36,23\ mm$$

• Przesunięcie tłoczyska w górę pod działaniem siły F_g:

$$f_{g} = \frac{F_{g}}{C_{n}} = \frac{860}{25} = 34,4\ mm$$

• Przesunięcie tłoczyska w dół pod działaniem siły F_d:

$$f_{d} = \frac{F_{d}}{C_{n}} = \frac{1000}{25} = 40\ mm$$

• Obciążenie sprężyny:

Pod działaniem siły F_d:

$$Q_{1max} = Q_{0} + F_{d} = Q_{0} + \frac{C_{1}}{C_{n}} \bullet F_{d} = 500 + \frac{11.2}{25} \bullet 1000 = 948\ N$$

$$Q_{2min} = Q_{0} - F_{d} = Q_{0} - \frac{C_{2}}{C_{n}} \bullet F_{d} = 500 - \frac{11.2}{25} \bullet 1000 = 52\ N$$

Pod działaniem siły F_g:

$$Q_{2max} = Q_{0} + F_{g} = Q_{0} + \frac{C_{2}}{C_{n}} \bullet F_{g} = 500 + \frac{13.8}{25} \bullet 860 = 974,72\ N$$

$$Q_{2min} = Q_{0} - F_{g} = Q_{0} - \frac{C_{2}}{C_{n}} \bullet F_{g} = 500 + \frac{13.8}{25} \bullet 860 = 25,28\ N$$

Obliczenia geometryczne:

• Wartości przyjęte:

Średnice drutów:

d₁=8 mm

d₂=8 mm

Średnice podziałowe D:

D₁=66mm

D₂=65 mm

Liczby zwojów czynnych sprężyn Z_c:

Z_c1=13

Z_c2=11

• Całkowite liczby zwojów sprężyny Z:

Z₁=Z_c1+1,5=13+1,5=14,5

Z₂=Z_c2+1,5=11+1,5=12,5

• Sztywność sprężyny C: (G - moduł sprężystości poprzecznej materiału sprężyny)

$$C_{1} = \frac{G}{8} \bullet \frac{d_{1}^{4}}{D_{1}^{3} \bullet Z_{c1}} = \frac{8,14 \bullet 10^{4}}{8} \bullet \frac{8^{4}}{66^{3} \bullet 13} = 11,2\ \frac{N}{\text{mm}}$$

$$C_{2} = \frac{G}{8} \bullet \frac{d_{2}^{4}}{D_{2}^{3} \bullet Z_{c2}} = \frac{8,14 \bullet 10^{4}}{8} \bullet \frac{8^{4}}{65^{3} \bullet 13} = 13,8\ \frac{N}{\text{mm}}$$

• Wskaźniki sprężyny w:

$$w_{1} = \frac{D_{1}}{d_{1}} = \frac{66}{8} = 8,25$$

$$w_{2} = \frac{D_{2}}{d_{2}} = \frac{65}{8} = 8,13$$

• Współczynniki poprawkowe k:

$$k_{1} = 1 + \frac{5}{4} \bullet \left( \frac{1}{w_{1}} \right) + \frac{7}{8} \bullet \left( \frac{1}{w_{1}} \right)^{2} + \left( \frac{1}{w_{1}} \right)^{2} = 1 + \frac{5}{4} \bullet \left( \frac{1}{8,25} \right) + \frac{7}{8} \bullet \left( \frac{1}{8,25} \right)^{2} + \left( \frac{1}{8,25} \right)^{2} = 1,2$$

$$k_{2} = 1 + \frac{5}{4} \bullet \left( \frac{1}{w_{2}} \right) + \frac{7}{8} \bullet \left( \frac{1}{w_{2}} \right)^{2} + \left( \frac{1}{w_{2}} \right)^{2} = 1 + \frac{5}{4} \bullet \left( \frac{1}{8,13} \right) + \frac{7}{8} \bullet \left( \frac{1}{8,13} \right)^{2} + \left( \frac{1}{8,13} \right)^{2} = 1,2$$

• Naprężenia styczne bez uwzględnienia współczynnika k:

$$\tau_{1} = \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{1}}{d_{1}^{3}} \bullet F_{d} = \frac{8}{\pi} \bullet \frac{66}{8^{3}} \bullet 1000 = 328,26\ MPa$$

$$\tau_{2} = \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{2}}{d_{2}^{3}} \bullet F_{g} = \frac{8}{\pi} \bullet \frac{65}{8^{3}} \bullet 860 = 278,02\ MPa$$

• Naprężenia styczne z uwzględnieniem współczynnika k:

τ_k1 = k₁ • τ₁ = 1, 2 • 328, 26 = 393, 912 MPa

τ_k2 = k₂ • τ₂ = 1, 2 • 278, 02 = 333, 6 MPa

• Średnice drutów d:

$$d_{1} = \sqrt[3]{k_{1} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{F_{d} \bullet D_{1}}{\tau_{k1}}} = \sqrt[3]{1,1 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{1000 \bullet 66}{393,912}} = 8\ mm$$

$$d_{2} = \sqrt[3]{k_{2} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{F_{g} \bullet D_{2}}{\tau_{k2}}} = \sqrt[3]{1,2 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{860 \bullet 65}{333,6}} = 8\ mm$$

• Liczba zwojów czynnych sprężyny Z_c:

$$Z_{c1} = \frac{G}{8} \bullet \frac{d_{1}^{4}}{D_{1}^{3} \bullet C_{1}} = \frac{8,14 \bullet 10^{4}}{8} \bullet \frac{8^{4}}{66^{3} \bullet 11,2} = 13$$

$$Z_{c2} = \frac{G}{8} \bullet \frac{d_{2}^{4}}{D_{2}^{3} \bullet C_{2}} = \frac{8,14 \bullet 10^{4}}{8} \bullet \frac{8^{4}}{65^{3} \bullet 13,8} = 11$$

• Nominalne długości sprężyn zblokowanych l_blnom:

l_blnom1 = (Z₁−0,5) • d₁ = (14,5−0,5) • 8 = 112 mm

l_blnom2 = (Z₂−0,5) • d₂ = (12,5−0,5) • 8 = 96 mm

• Długości sprężyn zblokowanych l_bl:

l_bl1 = l_blnom1 + 0, 5 • d₁ = 112 + 0, 5 • 8 = 116 mm

l_bl1 = l_blnom1 + 0, 5 • d₁ = 96 + 0, 5 • 8 = 100 mm

• Długości sprężyn nieobciążonych l₀:

$$l_{01} = \frac{\left( H - g \right)}{2} + f_{zm1} = \frac{\left( 500 - 5 \right)}{2} + 44,64 = 292,14\ mm$$

$$l_{02} = \frac{\left( H - g \right)}{2} + f_{zm2} = \frac{\left( 500 - 5 \right)}{2} + 36,23 = 283,73\ mm$$

• Suma prześwitów w sprężynie nieobciążonej ∑a:

$$\sum_{}^{}a_{1} = l_{01} - \left( Z_{1} - 0,5 \right) \bullet d_{1} = 292,14 - \left( 14,5 - 0,5 \right) \bullet 8 = 180,14\ mm$$

$$\sum_{}^{}a_{2} = l_{02} - \left( Z_{2} - 0,5 \right) \bullet d_{2} = 283,73 - \left( 12,5 - 0,5 \right) \bullet 8 = 187,73\ mm$$

• Suma najmniejszych prześwitów ∑a_min: (x – współczynnik zależny od wskaźnika w)

$$\sum_{}^{}a_{min1} = x_{1} \bullet d_{1} \bullet Z_{c1} = 0,2 \bullet 8 \bullet 13 = 20,6\ mm$$

$$\sum_{}^{}a_{min2} = x_{2} \bullet d_{2} \bullet Z_{c2} = 0,2 \bullet 8 \bullet 11 = 17,6\ mm$$

• Warunek nie blokowania się sprężyn:

$$\sum_{}^{}a - f - f_{\text{zm}} \geq \sum_{}^{}a_{\min}$$

$$\sum_{}^{}a_{1} - f_{d} - f_{zm1} = 180,14 - 40 - 44,64 = 95,5\ mm \geq 20,6\ mm$$

$$\sum_{}^{}a_{2} - f_{g} - f_{zm2} = 187,73 - 34,4 - 36,23 = 117,1\ mm \geq 17,6\ mm$$

Sprawdzenie wytrzymałości zmęczeniowej:

• Naprężenia wstępne τ_k0:

$$\tau_{k01} = k_{1} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{1}}{d_{1}^{3}} \bullet Q_{0} = 1,2 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{66}{8^{3}} \bullet 500 = 196,95\ MPa$$

$$\tau_{k02} = k_{2} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{2}}{d_{2}^{3}} \bullet Q_{0} = 1,2 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{65}{8^{3}} \bullet 500 = 193,97\ MPa$$

• Według PN-85/M-80701 (rys. I-3):

Dla τ_k01 = τ_min1^* = 196, 95 MPa oraz d₁₌8 mm:

τ_max1^* = 655 MPa

Dla τ_k02 = τ_min2^* = 193, 97 MPa oraz d₁=8 mm:

τ_max2^* = 650 MPa

• Maksymalne naprężenia styczne τ_kmax:

$$\tau_{k1max} = k_{1} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{1}}{d_{1}^{3}} \bullet Q_{1max} = 1,2 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{66}{8^{3}} \bullet 948 = 373,4\ MPa < \tau_{max1}^{*} = 655\ MPa$$

$$\tau_{k2max} = k_{2} \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{D_{2}}{d_{2}^{3}} \bullet Q_{2max} = 1,2 \bullet \frac{8}{\pi} \bullet \frac{65}{8^{3}} \bullet 974,72 = 378,13\ MPa < \tau_{max2}^{*} = 650\ MPa$$

• Rozpiętość cyklu naprężeń wyznaczona z wykresu równa największemu dopuszczalnemu przyrostowi naprężeń stycznych na drodze pracy spręzyny:

τ_kh1^* = τ_max1^* − τ_min1^* = 655 − 196, 95 = 458, 05 MPa

τ_kh2^* = τ_max2^* − τ_min2^* = 650 − 193, 97 = 456, 03 MPa

• Rozpiętość cyklu naprężeń równa przyrostowi naprężeń stycznych na drodze pracy sprężyny:

τ_kh1 = τ_k1max − τ_k01 = 373, 4 − 196, 95  = 196, 962 < τ_kh1^* = 458, 05

τ_kh2 = τ_k2max − τ_k02 = 333, 6 − 193, 97 = 139, 63 < τ_kh2^* = 456, 03

• Wykres pracy układu sprężyn: