RÓWNIA POCHYŁA

Na ciało o masie m działają następujące siły:

- siła przyciągania ziemskiego Q skierowana pionowo do dołu,

- siła tarcia T równoległa do powierzchni równi,

- siła sprężystości podłoża F_s prostopadła do powierzchni równi.

Każda z tych sił ma inny kierunek.

Wyznaczamy składowe wektora siły przyciągania ziemskiego Q  =  mg:

• równoległą do powierzchni równi F₁:

$$\sin\alpha = \frac{F_{1}}{Q}\ $$

F₁ = Qsinα

• prostopadłą do powierzchni równi F₂:

$$\cos\alpha = \frac{F_{2}}{Q}$$

F₂ = Qcosα

Siły działające prostopadle do równi równoważą się:

F_s = F₂

F_s = mgcosα

Siła sprężystości jest siłą reakcji na nacisk ciała na powierzchnię równi. Zatem zgodnie z III zasadą dynamiki:

N = F_s = mgcosα

Największy nacisk wywiera ciało znajdujące się na poziomym torze, ponieważ cos0  =  1 i wtedy:

N = mg

Rozpatrzmy teraz trzy różne przypadki:

Przypadek 1 - ciało pozostaje w spoczynku na równi pochyłej

Ciało pozostaje w spoczynku wtedy, gdy działające na nie siły równoważą się. W tym przypadku siłę F₁ równoważy siła tarcia statycznego T_s:

F₁ = T_s

Siła tarcia statycznego nie może przekroczyć wartości:

T_Smax = f_sN

Zatem:

F₁ < f_sN

mgsinα < f_smgcosα

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} < \frac{f_{s}\text{mg}}{\text{mg}}$$

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} < f_{s}$$

tanα < f_s

Otrzymaliśmy warunek, jaki musi spełniać kąt α, aby ciało pozostawało na równi w spoczynku (gdzie f_s - współczynnik tarcia statycznego)

Przypadek 2 - ciało zsuwa się z równi pochyłej

Podczas zsuwania się ciała z równi siła tarcia dynamicznego T jest skierowana przeciwnie do siły F₁ i ma wartość:

T = fN = fmgcosα

Siła wypadkowa w tym przypadku ma wartość:

F_w = F₁ − T

Jeżeli F₁ =  T, to ciało zsuwa się z równi ruchem jednostajnym (I zasada dynamiki). Jeżeli F₁ > T, to ciało zsuwa się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem (II zasada dynamiki):

$$a_{1} = \frac{F_{w}}{m} = \frac{F_{1} - T}{m} = \frac{\text{mg}\sin\alpha - fmg\cos\alpha}{m} = g\left( \sin\alpha - f\cos\alpha \right)$$

Jeżeli równia jest idealnie gładka, czyli f  =  0, to przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do sinusa kąta nachylenia równi:

a₁ = gsinα

Przypadek 3 - ciało posuwa się w górę równi pochyłej

Ciału nadano prędkość skierowaną pod górę równi. Podczas ruchu pod górę zarówno siła tarcia T, jak i siła F₁, działają przeciwnie do ruchu ciała. Ciało takie porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym (II zasada dynamiki) aż do zatrzymania.

Siła wypadkowa wynosi:

F_w = F₁ + T = mgsinα + fmgcosα = mg(sinα+fcosα)

Zatem możemy wyliczyć opóźnienie:

$$a_{2} = \frac{F_{w}}{m} = \frac{\text{mg}\left( \sin\alpha + f\cos\alpha \right)}{m} = g\left( \sin\alpha + f\cos\alpha \right)$$

I analogicznie - jeśli f  =  0:

a₂ = gsinα

Wnioski:

Przy ruchu po równi pochyłej idealnie gładkiej (f  =  0) czas wznoszenia równy jest czasowi zsuwania:

a₁ = a₂ = gsinα

Natomiast gdy f  >  0, czas wznoszenia jest krótszy od czasu zsuwania:

a₂ > a₁