1. Kwadratura numeryczna

kwadratura numeryczna – Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały, ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji.

2. Kwadratury złożone newtona-cotesa

W przypadku, gdy przybliżoną wartość całki otrzymano ze zbyt małą dokładnością (metodą prostą trapezów lub Simpsona), wówczas stosuje się kwadratury złożone.

Algorytm obliczenia przybliżonej wartości całki metodą złożoną jest następujący:

1. Przedział całkowania [a,b] dzielimy na pewną liczbę równych podprzedziałów,

2. W każdym podprzedziale stosujemy kwadraturę niskiego rzędu (np. metodą prostą trapezów lub prostą Simpsona)

3. Sumujemy otrzymane wyniki

Kwadraturę, która jest sumą kwadratur na podprzedziałach, nazywamy kwadraturą złożoną.

3. Proste i złożone wzory trapezów i simpsona

Wzór złożony Trapezów:

Przedział całkowania [a,b] dzielimy na m-części, każda o długości

$$h = \ \frac{b - a}{m}$$

W każdym podprzedziale stosujemy prosty wzór trapezów

$$\int_{a}^{b}{f\left( x \right)dx:\ \ Tp = \ \frac{b - a}{m}}(f\left( a \right) + f\left( b \right))$$

I wyniki sumujemy. Otrzymujemy:

$$T_{z} = \frac{h}{2} \bullet (f\left( a \right) + f\left( b \right) + 2 \bullet \sum_{k = 1}^{m - 1}{f(x_{k}))}$$

Gdzie x_k = a + k • h,           k = 0, 1, …, m

Wzór złożony Simpsona:

Przedział całkowania [a,b] dzielimy na m równych części o długości :

$$h = \ \frac{b - a}{m}$$

gdzie: $x_{k} = a + k \bullet \frac{h}{2},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k = 0,1,\ldots,2 \bullet m$

W każdym podprzedziale stosujemy prosty wzór Simpsona

$$\int_{a}^{b}{f\left( x \right)dx:}\ \ \ \ \ \ \ \ Sp = \frac{1}{6}(b - a)(f\left( a \right) + 4f\left( \frac{a + b}{2} \right) + f\left( b \right))$$

Wyniki sumujemy i otrzymujemy

$$S_{z} = \frac{1}{6}h(f\left( a \right) + f\left( b \right) + 2\sum_{k = 1}^{m}{f(x_{2k - 1}})) =$$

$$= \frac{1}{6}h\left( f\left( a \right) + f\left( b \right) + 2\sum_{k = 1}^{m - 1}{f\left( a + kh \right) + 4\sum_{k = 1}^{m}{f(a + (k - \frac{1}{2}}} \right)h)$$

Prosty wzór trapezów

$$Tp = \frac{b - a}{2}\lbrack f\left( a \right) + f\left( b \right)\rbrack$$

∫_a^bf(x)dx ≈ Tp ∖ n

$$Sp = \frac{1}{6}(b - a)(f\left( a \right) + 4f\left( \frac{a + b}{2} \right) + f\left( b \right))$$

∫_a^bf(x)dx ≈ Sp ∖ n