Liczbe zespoloną nazywamy liczbę postaci z=a+bi, gdzie a,bϵR i i²=-1; a-część rzeczywista l. zespolonej Rez=a; b-część urojona l. zespolonej Imz=b; i-jednostka urojona i²=-1 ($\sqrt{- 1}$=i); z={a+bi: a,bϵR, i²=-1} – zbiór l. zespolonych; def. z₁=a₁+b₁i, z₂=a₂+b₂i; z₁=z₂ ^{z def}<=> a₁=a₂ i b₁=b₂ Postać trygonometryczna l. zespolonej z= g(cosϕ+i sinϕ); g=$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$; ϕ= ϕ₀+2kπ kϵZ; Tw. Euler e^iϕ= cosϕ+i sinϕ Postać wykładnicza z=ge^iϕ 1.mnożenie z₁*z₂=(g₁*g₂)e^{i(ϕ1+ ϕ2)} = (g₁*g₂)(cos(ϕ₁+ϕ₂)+i sin(ϕ₁+ϕ₂)) 2.dzielenie z₁/z₂=( g₁/g₂)e^{i(ϕ1+ ϕ2)}= (g₁/g₂)(cos(ϕ₁-ϕ₂)+i sin(ϕ₁-ϕ₂)) 3.potęga zⁿ= (ge^iϕ)ⁿ=gⁿ(cos(nϕ)+i sin(nϕ)) 4.pierwiastek $\sqrt[n]{z}$|_k=$\frac{n}{\sqrt{z}}$e^{i(ϕ0+2kπ/n)}=$\ \frac{n}{\sqrt{z}}$(cos($\frac{\phi 0 + 2k\pi}{n}$)+i sin($\frac{\phi 0 + 2\text{kπ}}{n}$)+ Sprzężenie $\overset{\overline{}}{z} = \overset{\overline{}}{a + bi}$=a-bi wł.1. $\overset{\overline{}}{z1*z2}$= $\overset{\overline{}}{z1}$*$\overset{\overline{}}{z2}$ 2. $\overset{\overline{}}{z1/z2}$= $\overset{\overline{}}{z1}$/$\overset{\overline{}}{z2}$ 3. $\overset{\overline{}}{z1 + z2}$₌ $\overset{\overline{}}{z1}$+$\overset{\overline{}}{z2}$ 4. $\overset{\overline{}}{z1 - z2}$₌ $\overset{\overline{}}{z1}$-$\overset{\overline{}}{z2}$ Moduł g=|z|=$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ wł.1. |z₁*z₂|₌ |z₁|*|z₂|2. |z₁/z₂|≤ |z₁|/|z₂| 3. |z₁+z₂|≤ |z₁|+|z₂|;. |z₁-z₂|-odległość między z₁ i z₂; |z₁-z₀|=r – okrąg w pkt z₀ i promieniu r; |z₁-z₀|≤r – koło wraz z okręgiem; r_2≤|z₁-z₀|<r₁ – zbiór wszystkich l.zesp spełniających war Macierze def. iloczynem kartezjańskim AxB nazywamy zbiór uporządkowanych {(a,b):aϵA, bϵB}, AxB={(a,b):aϵA, bϵB}; (a,b)-para uporządkowanych; def. (a,b)=(c,d) ^{z def}<=>a=c i b=d – równość par uporządkowanych; def Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy dowolną funkcję ε(o elementach rzeczywistych, zespolonych) f:{1,2,...,m}x{1,2,...,n}->R,(Z), Funkcja ta każdej parze liczb nauralnych (i,j)(1≤i≤m;1≤j≤n) przypisuje liczbę rzeczywistą (zespoloną) a,,j. Funkcje te w sposób jawny mozna zaposzac w postaci tablicy o m wierszach i n kolumnach. Element aij lezy w i-tym wierszu i j-tej kolumnie; dodawanie (a_ij)_mxn,(b_ij) _mxn <-ᶆ_mxn(R,Z);(a_ij)_mxn+(b_ij)_mxn=(c_ij)_mxn; ^(1≤i≤m;1≤j≤n)^{{cij=aij=bij}} wł.1. ^A,B,Cϵᶆ_mxn^{{(A+B)+C=A+(B+C)}}-łącznosc dod 2. ^A,Bϵᶆ_mxn^{{(A+B)=(B+A)}}-przemienność 3.VΘ_mxnϵᶆ_mxn ^Aϵᶆ_mxn^{{A+Θ= Θ+A=A}} istnienie macierzy zerowej 4. ^Aϵᶆ_mxn V (-A)ϵᶆ_mxn^{{A+(-A)= Θ}} istnienie macierzy przeciwnej mnożenie przez liczbę(skalar) niech kϵR(skalar); (a_ij)_mxnϵᶆ_mxn(R,Z) def. k*(a_ij)_mxn=(b_ij)_mxn gdzie ^(1≤i≤m;1≤j≤n)^{bij=k*aij} wł. k,k₁,k₂ϵR, A,Bϵᶆ_mxn 1.(k₁+k₂)A= k₁A+ k₂A 2. k(A+B)=kA+kB 3.(k₁*k₂)A= k₁(k₂*A) 4. 1*A’A mnożenie macierzy mamy (a_ij)_mxkϵᶆ_mxk(R,Z), (b_ij)_kxnϵᶆ_kxn(R,Z) def. (a_ij)_mxk*(b_ij)_kxn=(c_ij)_mxn gdzie ^(1≤i≤m;1≤j≤n)^{{cij=E ais*bsj}}; (cij=ai₁b₁j+ai₂b₂j+ai_kbk_j) Iloczyn skalarny $\overrightarrow{v}$*$\overrightarrow{w}$=a₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n Element cij lezacy w i-tym wierszu i j-tej kolumnie macierzy bedacej iloczynem macierzy (a_ij)_mxk*(b_ij)_kxn jest rowny iloczynowi skalarnemu i-tego wiersza 1 macierzy i j-tej kolumny 2 macierzy wł. 1.(A,B)C=A(BC) łącznosc 2. Mnożenie nie jest przemienne![na ogół A*B≠B*A 3.A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC rozdzielnosc wzgl dodawania 4.kϵR, k(A,B)=(kA)B=A(kB) 5. (A*B)^T=B^T*A^T t-transponowana 6. I*A=A*I=A I-macierz jednostkowa def. transponowanie macierzy ((a_ij)_mxn)^T=(b_ij)_mxn gdzie ^(1≤i≤m;1≤j≤n)^{bij=aij} def. I_mxn – macierz jednostkowa[macierz kwadratowa]; I_nxm - (a_ij)_nxm gdzie ^(1≤i,j≤n) ^{(aij)={1 i=j;0 i≠j}} Wyznaczniki def. wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję: def: ᶆ_mxn(R,Z)-> R,(Z) określoną indukcyjnie:1)def[a₁₁]=a₁₁ 2)def[_an1 amn^a11 a1n.]_nxn=a₁₁A₁₁+ a₁₂A₁₂+...+a_1nA_1n gdzie Aij=(-1)^i+j+Mij, Aij-dop alegebraiczne elem(aij), Mij-minor dopełniający elem(aij) tzn wyznacznik stopnia n-1 ktory powstał z naszego wyznacznika przez wykreslenie i-tego wiersza i j-tej kolumny wł.1)|A^T|=|A|wyznacznik macierzy transponowanej jest rowny wynikowi samej macierzy 2)Jeżeli jedna linia wyzn składa się z samych zer to |A|=0 3)Jeżeli zamienimy miejscami 2 równoległe linie ro wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną 4)Jeżeli 2 || linie wyzn sa identyczne to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną 5)Jeżeli 2 || linie wyzn sa proporcjonalne (wij=k*wij) to wartość wyzn |A|=0 6)Jeżeli jedna linia wyzn jest liniowo kombinacja innych lini || to wart wyzn |A|=0 7) Jeżeli do jednej lini wyzn dodamy liniowa kombinacje innych lini|| to wartosc wyzn nie ulega zmianie 8)Tw Laplace’a 9)... Macierz odwrotna def.macierz nieosobliwa |A|≠0; macierz osobliwa |A|=0 Tw.jeżeli macierz A jest nieosobliwa(|A|≠0) to istnieje macierz odwrotna A^-1:A*A^-1=A^-1*A=I I-m.jednostkowa UKŁ. Równan Kramera. def. ukł złozony z m-rówan liniowych o n niewiadomych :{a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+ a_1nx_n=b_1, a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+ a_2nx_n=b_b,..., a_m1x₁+a_m2x₂+...+ a_mnx_n=b_m} gdzie x₁,x₂,..,x_n-niewiadome ^(1≤i≤m;1≤j≤n)^{{aijϵR,bijϵR}} def. Rozw ukł nazywamy każdy ukł n liczb:[x₁⁰,x₂⁰,..,x_n⁰] takich ze po podst ich za niewiadome : x_i⁰-> x_i. Rozw ukł oznacza znalezc wszystkie jego rozw. Def. Układ równań(*) nazywamy ukł Kramera<=>kiedy spełnia war: 1)m=n(ilosc równan jest taka sama jak niewiadomych) 2)wyznacznik macierzy układu jest różny od 0 Tw.Ukł Kramera ma dokł jedno rozwiązanie dane wzorami X_i=W_i/W gdzie W=|A|-wyzn macierzy ukł, W_i= wyzn ktory powstal z wyzn w przez zastapienie i-tej kolumny kolumna wyr wolnych Rząd macierzy def.Rz.m. nazywamy najwyższy ze stopni minorów różnych od 0 zawartych w tej macierzy Tw.przy szukaniu rzędu macierzy poruszamy się od wyzn st mniejszych do wyzn wyzszych st. Jeżeli znajdziemy wyzn≠0 st. k zaś wszytkie zawierajace go wyznaczniki st. k+1 sa rowne 0 to rz.m. rowna sie k. Operacje elementarne na macierzach 1) zamiana macierzy 2||lini macierzy 2)pomnożenie lini przez skalar k≠0 3)dodanie do lini kombinacji liniowej innych lini równoleglych k₁$\overrightarrow{V1}$+ k₂$\overrightarrow{V2}$+..+ k_n$\overrightarrow{Vn}$, k_iϵR $\overrightarrow{Vi}$ϵ$\overrightarrow{V}$ def.Mówimy ze macierz A=(aij) ma postać diagonalna jezeli ^(1≤i≤m;1≤j≤n;i≠j)^{aij=0^} Tw.za pomoca operacji elementarnych kazda macierz mozna doprowadzic do postaci diagonalej Tw.Rzad m. w postaci diag jest równy ilości niezerowej elem tej macierzy Ukł rówana liniowych Mamy ukł m-równan liniowy o n-niewiadomych :{a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+ a_1nx_n=b_1, a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+ a_2nx_n=b_b,..., a_m1x₁+a_m2x₂+...+ a_mnx_n=b_m} Tw.(Kronecker-Capelli) Ukł (*) ma rozwiązanie <=>rz(A)=rz(U), nadto jeżeli rz(A)=rz(U)=k to:1)k+n –ukł ma dokłdanie 1 rozw(n-niewiadome) 2)k<n –ukł ma nieskonczenie wiele rozw. Elementy rach wektorowego def wektorem nazywamy uporzadkowana pare pkt w przestrzeni (A,B)=$\overrightarrow{\text{AB}}$=($\overrightarrow{A}$,$\overrightarrow{B}$), dł wektora $\overrightarrow{\text{AB}}$-dł odcinka AB, wektor $\overrightarrow{0}$-wektor zerowy:poczatek pokrywa sie z koncem A=B (A-pocz,B-koniec w.) def.rownosc wektorow $\overrightarrow{\text{AB}}$=$\overrightarrow{\text{CD}}$ 1)w $\overrightarrow{\text{AB}}$,$\ \overrightarrow{\text{CD}}$ maja ta sama dł |$\overrightarrow{\text{AB}}$|=|$\overrightarrow{\text{CD}}$| 2)$\ \overrightarrow{\text{AB}}$||$\overrightarrow{\text{CD}}$ maja ten sam kierunek, sa|| 3)$\ \overrightarrow{\text{AB}}$,$\ \overrightarrow{\text{CD}}$ maja ten sam zwrot def.suma wektorów$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$ nazywamy wektor $\overrightarrow{c}$ uzyskany w nastepujacy sposob:.. Wł.dodawania w. 1)^$\ \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ϵV^{$\overrightarrow{a}$⁺$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}$⁺$\overrightarrow{a}$^} przemiennosc 2) )^$\ \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$ϵV^{($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)+$\ \overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+($\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$) łacznosc 3)V$\ \overrightarrow{\Theta}$ϵV ^$\overrightarrow{a}$ϵV ^{$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{\Theta}$=$\overrightarrow{\Theta}$+$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$ istnienie w zerowego 4) ^$\overrightarrow{a}$ϵV V$\overrightarrow{a}$ϵV^[$\overrightarrow{a}$+(-$\overrightarrow{a}$)=$\ \overrightarrow{\Theta}$ istnieje wektor przeciwny Iloczyn wektora i liczby kϵR-liczba(skalar), $\overrightarrow{a}$ϵV-wektor def.k*$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$*k=$\overrightarrow{b}$ϵV: 1)|k*$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|k|*$\overrightarrow{a}$ –długosc 2)k*$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{a}$ –kierunek 3)k>0 zwrot $\overrightarrow{a}$,k$\overrightarrow{a}$ sa takie same, k<0 –zwrot $\overrightarrow{a}$,k$\overrightarrow{a}$ sa przeciwne wł. ... def. iloczyn skalarny 0≤ <|($\overrightarrow{a}$,$\ \overrightarrow{b}$)≤π $\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}$={|$\overrightarrow{a}$|*|$\overrightarrow{b}$|cos<|($\overrightarrow{a}$,$\ \overrightarrow{b}$)-$\ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$≠$\overrightarrow{\Theta}$ ; 0-$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{\Theta}$v$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{\Theta}$ wł. ... def. Ortonormalny kartezjanski układem współrzędnych bedziemy nazywac układ 3 wzajemnie prostopadłych osi OX,OY,OZ o wspolnym poczatku i tej samej jednostce dł.; |$\overrightarrow{i}$|-|$\overrightarrow{j}$|=|$\overrightarrow{k}$|=1 i,j,k-wersory-wektory rownolegle do odpowiednich osi i dł 1; $\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{\text{ax}}$+$\overrightarrow{\text{ay}}$=$\overrightarrow{\text{axi}}$+$\overrightarrow{\text{ayj}}$=[a_y,a_x]-ax,ay to współ(składowe)wektora $\overrightarrow{a}$ wł. ... Iloczyn wektorowy I.w uporzadkowanej pary wektorów niezerowych i nierownoleglych $\overrightarrow{a}$,$\ \overrightarrow{b}$:$\ \overrightarrow{a}$x$\overrightarrow{b}$ –nazywamy wektor: 1)|$\ \overrightarrow{a}$x$\overrightarrow{b}|$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|*sin<|($\overrightarrow{a}$,$\ \overrightarrow{b}$) –dł 2)$\ \overrightarrow{a}$x$\overrightarrow{b}$ ḻ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{a}$x$\overrightarrow{b}$ ḻ $\overrightarrow{b}$ – kierunek 3)trójka wektorów($\overrightarrow{a}$,$\ \overrightarrow{b}$,$\ \overrightarrow{a}$x$\overrightarrow{b}$) jest zgodnie skretna z przyjetym ukl współ. Jeżeli $\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$ bądź $\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{\Theta}$v$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{\Theta}$ to $\overrightarrow{a}$x$\overrightarrow{b}$=0 wł. ...

Iloczyn mieszany w. I.m. uporządkowanej trójki wektorów $\overrightarrow{a}$,$\ \overrightarrow{b}$,$\ \overrightarrow{c}$ nazywamy liczbę:[$\ \overrightarrow{a}$,$\ \overrightarrow{b}$,$\ \overrightarrow{c}$}=($\overrightarrow{a}$x$\ \overrightarrow{b}$)*$\ \overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$*($\ \overrightarrow{b}$x$\ \overrightarrow{c})$ wł. ... Równanie ogólne płaszczyzny Pϵπ<=>PoP ḻ $\overrightarrow{n}$<=>PoP*$\overrightarrow{h}$=0<=>A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0; Ax+By+Cz-D=0; rów kanoniczne Pϵπ<=>PoP||$\overrightarrow{a}$<=>VkϵR ^{k$\overrightarrow{a}$^}<=>x-x₀/m=y-y₀/n=z-z₀/p=t rów parametryczne x=x₀+mt; y=y₀+nt; z=z₀+pt}tϵR przestrzen n-wymiarowa Rⁿ Rⁿ={(a₁,a₂,...,a_n):a_iϵR i=1,2,..,4}; pϵRⁿ:p=(a₁,a₂,...,a_n) gdzie a1...-współ pkt z przestrzeni Rⁿ; odległość w Rⁿ:P₁ =(a₁,a₂,...,a_n)ϵRⁿ; P₂ =(b₁,b₂,...,b_n)ϵRⁿ odległość pkt w Rⁿ g(P₁,P₂)=$\sqrt{\left( a1 - b1 \right)^{2} + \left( a2 - b2 \right)^{2} + \ldots + (an - bn)\hat{}2}$ def. kula otwarta o środku w P₀ i promieniu r- otoczenie pkt P₀ o promieniu r): K(P₀,r)=0(P₀,r)={PϵRⁿ:g(P,P₀)<r} sąsiedztwo pkt P₀ o prom r: K(P₀,r)=0(P₀,r)\2P₀ otoczenie z wyrzuconym sr w p X₀ i przest ε K(X₀,ε)={XϵRⁿ:g(x,x₀)<ε; ε>0 g(x₀,ε)=Ỡ(Y₀,ε)-{x₀}-sasiedztwo K(X₀,ε)=0(x₀,ε)-otoczenie def.zbiór otwarty mówimy że zbior DϵRⁿ jest otwarty jezeli ^x₀ϵD V0(x₀,ε) ^{Ỡ(x₀,ε)cD^} def.zbiór spojny(R₁,R₂,R₃) Mówimy ze zbiór DcRⁿ jest spójny jeżeli każde dwa punkty tego zbioru można połączyć krzywą całkowania, zawarty w zbiorze D def.gr ciągu liczbowego lim n->oo a_n=g^{z def}<=>^ε>0 VN ^n>N^{|a_n-g|<ε^} ;X_nεRⁿ {x₁} x₁(x₁ⁿ,x₂ⁿ...x_mⁿ); lim n->oo X_n=x₀<=>^ε>0 VN ^n>N{g(x_n,x₀)<ε} def. funkcja n-zmiennych bedziemy nazywali funcje f:DcRⁿ->R; xεD:$\overset{\overline{}}{X}$=(x₁,x₂,...x_n); f(x)=f(x₁,x₂,...x_n)-f n-zmiennych def. funcja ciagla mówimy ze funckja f:DϵRⁿ->R jest ciagla w punkcie x₀ϵD jeżeli 1)istnieje lim x->x f(x) 2)lim x-> f(x)=f(x₀) x,x₀ϵDcRⁿ; x=(x₁,x₂...x_n)ϵRⁿ Elementy rachunku rózniczkowego f:DcRⁿ->; f($\overset{\overline{}}{x}$)=f(x₁,x₂,...,x_n), Rⁿ->X=(x₁,x₂,...,x_n) def. Pochodnej czastkowej funkcji n-zmiennych. Jeżeli istnieje skończona granica ilorazu róznicowego lim ∆xi->0 (f($\dot{x1}$,$\dot{x2}$,...,$\dot{\text{xi}}$-1,xi+∆x,$\dot{\text{xi}}$,...,$\dot{\text{xn}}$)-f($\dot{x1}$...$\dot{x2}$...$\dot{x3}$))/∆xi to granice te nazywamy pochodna czastkowa funkcji f(x₁,x₂,...,x_n) po zmiennej xi obliczona w p f(x₁^ω,x₂^ω...x₃^ω... x_n^ω), i piszemy ϐf(x₁,x₂...xi...x_n)/ϐxi _/(x1°_{...x2ω...xnωо)}; x₂^о-ustalona wartosc zmiennej xi. Pochodna ϐf(x₁...x_n)/ϐxi jest zwana funkcja n-zmiennych. Pochodna tej funkcji po zmiennej xj to pochodna czastkowa rzedu drugiego ϐ(ϐf(x₁...x_n)/ϐx₁)/ϐxi= ϐ²f(x₁...x_n)/ϐxj_<-ϐxi def. pochodna czastkowa i pochodna cz rzedu n-tego to poch cz rzedu n+1 def.dwie pochodne drugiego rzedu różniące się tylko kolejnością wykonywanych rozniczkowan to tzw pochodne mieszane. TW Schwarz jezeli pochodna mieszana istnieje w obszarze D i są ciągłe to są równe w obszarze D def ekstrema lokalne mówimy ze funkcja z=f(x,y) ma w pkt (x₀,y₀) ekstremum lokalne, jeżeli S(V(x₀,y₀)ε) ^(x,y)ϵS(x₀,y₀)ε)^{f(x,y)≤,≥f(x₀,y₀)^}; S(P₀,ε) 0(P₀,ε) –{P₀} –sąsiedztwo def. ekst lok f 2 zmiennych mówimy ze funkcja z=f(X) gdzie XϵRⁿ ma w pkt X₀ ekstremum lokalne(maximum/minimum)<=>jezeli istnieje takie sasiedztwo V S(X₀,ε) ^xϵS(X₀,ε) f(X)≤_max ≥_minf(X₀) def mowimy ze funkcja z=f(X) XϵDRⁿ jest klasy Cⁿ_D jezeli ma w D wszystkie pochodne ciągłe az do rzedu n-tego włacznie Tw. Jezeli f(X)ϵ Cⁿ_D. Funkcja z=f(x,y)ϵ C¹_D ma w pkt P₀(x₀,y₀) ekstremum lokalne, P₀(x₀,y₀)ϵD, x₀: ϐf(x_,y)/ϐx _/(x0,y0)=0 ; ϐf(x_,y)/ϐx _/(x0,y0)=0 –jest to warunek konieczny ale nie wystarczajacy anu w pkt x₀,y₀ wystepowalo ekstremum lokalne def. punkt(x_0,y₀) spełniejaćy warunki(*)nazywamy pkt stacjonarnym TW. Jezeli funcja z=f(x,y)ϵC²_D w pkt stacjonarnym (x₀,y₀) spełnia warunek w(x,y)_/(x0,y0)=|ϐ²f/ϐx²; ϐ²f/ϐx ϐy; ϐ²f/ϐy ϐx ; ϐ²f/ϐy²|_/(x0,y0)>0 to w pkt stacjonarnym wystepuje (x0,y0) wystepuje ekstremum lokalne Całka podwojna jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów{π_n} prostokąta P istnieje skończona granica ciągu sum całkowych: lim n->oo Sn=S, zawsze taka sama niezaleznie od wyboru ciagu normalnego (π_n) i wyboru pkt posrednich Ai*Bi=1,..n to granice te nazywamy calka podwojna funkcji z=f(x,y) w prostokącie P i piszemu ∬f(x,y)dxdy=lim n->oo Sn O funkcji z=f(x,y) mowimy ze jest calkowalna (w sensie Reimana) w prostokacie P jezeli funkcje z=f(x,y) jest ograniczona w obszarze ograniczonym D to: zamykany obszar D w prostokącie P i okreslamy funkcje :f^*(x,y)={f(x,y) (x,y)ϵD; 0 (x,y)ϵP/D def. ∬_Pf(x,y)dxdy = ∬_Pf * (x,y)dxdy Tw. Jezeli funkcja z=f(x,y) jest ciagła w prostokacie P:a≤x≤b; c≤y≤d} to ∬_{a ≤ x ≤ b;  c ≤ y ≤ d}f(x,y)dxdy=∫_a^b(∫_c^df(x,y)dy)dx = ∫_c^d(∫_a^bf(x,y)dx)dy –zamiana całki podwojnej na i-terowana def. obszar normalny wzgl osi OX. Obszar postaci a≤x≤b, f₁(x)≤y≤f₂(x)}f₁(x), f₂(x) sa ciagle w xϵ<a,b> Tw. Jezeli funkcja z=f(x,y) jest ciagla w obszarze normalnym a≤x≤b, f₁(x)≤y≤f₂(x)} to ∬_{a ≤ x ≤ b;} f(x,y)dxdy=∫_a^b(∫_f1(x)^f2(x)f(x,y)dy)dx Całka potrójna jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów π_n istnieje skonczona granica lim n->oo Sn=S zawsze taka sama, niezaleznie od wyboru ciągu normalnego (π_n) i pkt posrednich Ai to granica ta nazywamy calka potrojna funkcji f(x,y,z) w prostopadłoscianie P i piszemy ∭_Pf(x,y,z)dxdydz. O funckji f(x,y,z) mowimy ze jest calkowalna w prostopadloscianie P w sensie Reimana Całka krzywa jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów π_n istnieje skonczona gr ciagu sum calkowych Sn:lim n-> Sn=S zawsze taka sama niezależnie od wyboru ciągu normalnego podziałów π_n i wyboru pkt posrednich Ai, i=1..n to granica ta nazywamy calka krzywoliniowa niezorientowana po krzywej k z funkcji f(x,y) i piszemu ∬_kf(x,y)ds Równania różniczkowe zwyczajne Równanie postaci F(x,y,y’,y’’...,yⁿ)=0 gdzie funkcja F(x,...yⁿ) jest funkcja ciagłą n+2 zmiennych w obszarze DϵRⁿ⁺¹, zas y⁽ⁱ⁾ oznaczona i-ta pochodna pewnej fukcji y(x)- nazywamy rownaniem rozniczkowym zwyczajnym rzędu n-tego. Rozwiązaniem tego równania(całka) nazywamy dowolna funkcje y(x) n-krotnie rozniczkowalna w pewnym przedziale i spełniajaca to rownanie. Rozw to rownanie oznacza znalezc wszystkie rozwiazania. Rów różniczkowe zwyczajne rzedu I-go. Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych (**)y’=f(x)/g(y), gdzie f(x),g(y) sa ciagłe odpowiednio w przedziałach a<x<b; c<y<d}g(y)≠0 Tw.przy powyższych załozeniach przez kazdy pkt obszaru a<x<b; c<y<d}przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa(1 rozw) rówania(**). Jest o krzywa rodziny∫g(y)dy = ∫f(x)dx + C CϵR def Warunek, aby krzywa całkowa przechodziła przez punkty(x₀,y₀) nazywamy warunkiem poczatkowym. Rów rożn jednorodne def. Równanie postaci(* * *)y’=f(y/x) gdzie: funkcja f(y/x) jest fukcja zalezna tylko od stosunku (y/x) i jest fukcja ciągłą w pewnym przediale I, x≠0 Rów roż liniowe rzędu pierwszego def. Równanie postaci y’+f(x)*y=g(x) gdzie f(x),g(x) sa ciagłe w przedziale I nazywamy rów róż liniowym rzedu 1-tego 1)jezeli y(x)≡0 to rownanie y’+f(x)y=0- rów róz liniowe jednorodne 2)jezeli g(x)≡/≡0 to rownanie y’+f(x)y=g(x) )≡/≡0 –rów roż lin niejednorodne Tw. CORN=CORJ+CSRN calka ogolna rownania niejednorodnego=calka ogolna rownania jednorodnego+calka szczegolna rownania niejednorodnego def. Równanie postaci y’’+ay’+by=f(x) gdzie a,b ϵR zas f(x) jest ciagla w przedziale I –rownanie rozniczkowe liniowe drugiego rzedu o stalych współczynnikach. Jezeli 1) f(x)≡0 to równanie y’’+ay’+by=0- row roz liniowe jednorodne 2) f(x)≡/≡0 to rownanie y’’+ay’+by=f(x) ≡/≡0 –rown roz liniowe niejednorodne