I.(1)C.
monotoniczny-
funkcja odwzorowywująca zbiór liczb N w zbiór liczb R nazywamy c.
liczbowym i oznaczamy (an). Mówimy że c. an jest jest 1.rosnące,
2.malejące
;
C.
ograniczony-
an nazywamy c. ogran, jeżeli
;
(2)Gran
skończona ciągu(c. zbieżny)-
mówimy, że c. (an) jest zbieżny do granicy g co zapisujemy
Oznacza
to, że w otoczeniu liczby g znajdują się prawie wszystkie wyrazy
ciągu tzn. wszystkie wyrazu ciągu z wyjątkiem co najwyżej
skończenie wielu. Jednoznaczność
granicy ciągu:
Jeżeli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granice. Jeżeli
ciąg jest zbieżny ti jest ograniczony. Jeżeli ciąg jest
ograniczony i monotoniczny to jest zbieżny. (3)Gran
niewłaściwa ciągu (c. rozbieżny)
-
1.(2)Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do +(-)niesk, jeżeli
co
zapisu.
lub
;
(4)Gran
ciągu geometrycznego-
an=q^n, gdzie q należy R; gdy q<= -1 to mamy dwa wyniki granicy w
"n" parzystych i nie parzystych.
(5)Liczba
Eulera-
e=2,71828182... podstawa ln, Ciąg
Eulera-
jest to ciąg o wyrazie ogólnym
.
Granicą ciągu jest liczba e. Ciąg rosnący i ograniczony, zbieżny.
II.(1)Granica
skończona funkcji w pkt-
gran skończ. funkcji w f(x) w x0 jest liczba g co zapisujemy:
f(x)---(x-->x0)--->g lub lim f(x)= g; 1.(Heinego) Jeżeli
każdemu ciagowi (xn) argumentów funkcji zbieżnemu do x0, po
wartościach różnych od x0 odpowiadający mu ciąg wartości
(f(xn)) funkcji jest zbieżny do granicy. 2.(Cauchego)
(2)Funkcja
ciągła w pkt-
funkcje f(x) nazywamy ciągłą w x0 jeżeli:
1.jest określona w otoczeniu U(x0,6) 2. istnieje lim(x->xo)
f(x); 3. lim(x->x0) f(x)=f(x0); Jeżeli
któreś z tych 3 wymagań nie zachodzi, to funkcja jest nieciągła
w x0. W przypadku istniea w x0 tylko granicy jednostronnej i
spełnieniu pozostalych mówimy o ciągłości jednostronnej. Rodzaje
nieciągłości-
Jeżeli pkt x0 jest punktem nieciągłości funkcji ciągłej w S(x0,
6) to ten punkt nazywamy pkt odosobnionym. Dzielimy je na dwa
rodzaje: 1.pkt
nieciągłości I rodzaju,
tj. takie w których istnieją granice jednostronne właściwie
(różne bądź równe, ale różniące się od f(x0)) 2.pkt
nieciągłości II rodzaju
tj.
takiej gdy choć jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest
granica niewłaściwą. luka-
Jeżeli pkt x0 jest pkt nieciągłości I rodzaju, przy czym
lim(x->x0+)f(x)= lim (x->x0-) f(x)=g i
x0 nie należy do dziedziny, to mówimy że funkcja f(x) ma w x0
nieciągłość usuwalną (x0-luka); (3) Własności
funkcji ciągłych-
1.Każdy wielomian jest f cg w R 2.Każda funkcja wymierna jest
funkcja cg w swojej D, tzn poza meijscami zerowymi mianownika.
3.Funkcje sinus, cosinus są cg w R, a tangens i cotagens w swoich D.
4.złożenie funkcji cg jest funkcją cg np. e^sinx, e^(-1/x^2) w
części wspólnej dziedzin. 5.Każda funkcja cg w <a,b> jest
ograniczona. 6.Każda funkcja cg w <a,b> osiąga swoją
najwieksza i najmniejszą wartość. 7.Funkcja odwrotna do funkcji cg
jest funkcją ciągłą.
(5)Twierdzenie
o pochodnej funkcji odwrotnej -
jeżeli funkcja f(x) posiada funkcję odwrotną f^(-1)(x), oraz w
punkcie x0 ma skończoną i różną od zera pochodną f'(x0) ,
wtedy w odpowiadającym x0 punkcie y0 istnieje pochodna funkcji
odwrotnej (f^(-1)(x))' i jej wartość w punkcie y0 równa jest
1/f'(x0). III(1)
(5)Twierdzenie
o pochodnej funkcji odwrotnej w x0-
Jeżeli x=g(y) jest ciągła i ściśle monotoniczna w (a,b) oraz
istnieje g'(y0)=różne0 to y=f(x) jako odwrotna do niej posiada w
xo=g(y0) pochodną f'(x0) wyrażoną wzorem:
(5)Pochodna
funkcji -
niech f(x) będzie określona w U(x0,6) oraz (x0+h)eU(x0,6) (h rózne
od 0). Jeżeli istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego
[f(x0+h)-f(x0)]/h przy h ->0 to nazywamy ją pochodna funkcji f(x)
[p czy l] w x0 i oznaczamy f'(x). Tw.
WKiW na
to, aby istniała f'(x0) jest równość pochodnych jednostronnych
czyli: f'(x0) istnieje <=> f'+(x0)=f'_(x0) Interpretacja
geometryczna pochodnej f'(x0)-
mówi że f'(x0) jest równa tangensowi kąta nachulenia stycznej w
x0 do wykresu funkcji f(x). Równanie stycznej zatem ma postać
y-f(x0)= f'(x)(x-x0).
III.(1)Pochodna
funkcji I-go rzedu -
jeżeli f(x) ma w każdym punkcie zbioru X pochodną to dla każdego
x należącego do zbioru X przyporządkowana jest jedna wartość
f'(x). Symbol f'(x), y' możemy tez zapisać jako: df(x)/dx; y'/dx.
Mamy więc dy=y'dx - różniczka funkcji (rózniczka I-go rzędu).
(2)Defi.
pochodnej logarytmicznej-
pochodna logarytmiczną różnikowalnej funkcji f(x) (o dodatnich
wartościa'ch) nazywamy pochodną jej logarytmu naturalnego:
[lnf(x)]'=1/f(x)*f(x) stąd
f'(x)=f(x)*[lnf(x)]' Ostatni wzór jest wygodny w przypadku
obliczania pochodnych funkcji typu f(x)=[a(x)]^b(x) (3)Twierdzenie
Lagrange'a-
Jeżeli f(x) spełnia 1. jest ciągła w <a,b> 2. jest
różniczkowalna w (a,b) to istnieje taki c enależący(a,b), że
f'(c)=[f(b)-f(a)]/b-a.
Wnioski
z tw Lagrange'a z
tego twierd wynikają ważne wnioski 1. Jeżeli f'(x)=0
to f(x) jest stała w(a,b) f'(c)=0 => f(x)=c; dla x nal (a,b);
2.Jeżeli f'(x)>0 (<0) dla
to
f(x) jest rosnąca w (a,b) (malejąca w (a,b)).
3. Jeżeli f'(x)=g'(x) to
te funkcje różnią się o stałą f(x)=g(x)+B, BeR
(4)Ekstremum
lokalne funkcji (min, maks)-
mówimy,
że funkcja f(x) ma w x0 minimum (maksimum) lokalne, jeżeli
Jeżeli >=,<= zastąpimy >,< to mówimy o minimum
maksimum właściwym.
Warunek
koniecznmy istnienia ekstremum-
jeżeli funkcja różniczkowalna w x0 ma w nim ekstremum to f'(x0)=0.
[f ma ekstremum w x0=>f'(x0)=0]. (5)I
WWE
warunek wystarczający istnienia ekstremum-
zmiana
znaku pierwszej pochodnej. Jeżeli funkcja f(x) ma dla x nal U(x0,6)
pochodną oraz |dla xeS_(x0,6): f'(x)>0 (f'(x)<0) |dla x=x0:
f'(x0)=0 |dla xeS+(x0,6): f'(x)<0 (f'(x)>0) |to f ma w x0
maksimum (minimum) właściwe. (6)Punkt
przegięcia wykresu funkcji-
punkt P0(x0,f(x0)) nazywamy punktem przegięcia krzywej: y=f(x),
jeżeli w x0 funkcja ciągła oraz wypukła w górę w S_(x0,6) i
wypukła w dół w S+(x0,6) lub na odwrót.
WKPP
warunek konieczny istnienia punktu przegięcia-
Jeżeli
istnieje f''(x0) i punkt P0(x0, f(x0)) jest punktem przegięcia to
f''(x0)=0.
(7)I
warunek wystarczający istnienia pkt przegięcia
(zmiana
znaku f''(x)). Jeżeli funkcja ma
pochodna I i II rzędu oraz |dla xeS_(x0,6): f''(x)>0 (f''(x)<0)
tzn, jest wypukła w dół (w grę) |dla x=x0: f''(x0)=0 |dla
xeS+(x0,6): f''(x)<0 (f''(x)>0) tzn. jest wypukła w górę (w
dół) |to P0(x0,f(x0)) jest punktem przegięcia.
(8)Asymptota-
nazywamy taką prostą, do punktów której zbliżają się pkt
wykresu funkcji. As.
ukośna (pozioma)
1.(2.)Jeżeli f(x) jest określona w (-niesk,d(,+niesk)), deR to
prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną (lub poziomą, dla a=0)
lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji y=f(x) gdy:
lim(x->-niesk) [f(x)-(ax+b)]=0; 3. Prosta y=ax+b jest asymptotą
ukośna (poziomą, dla a=0) obustronną krzywej y=f(x), gdy jest
jednocześnie asymptotą ukośną (poziomą) lewostronna i
prawostronna tej krzywej. (9)Asymptota
pionowa-
prosta o równaniu x=x0 nazywamy asymptota pionową lewostronną
(prawostronną) wykresu funkcji f(x), gdy: lim (x->x0-+)
f(x)=-niesk lub +niesk. 2.Prostą x=x0 nazywamy pionową obustronną
<=> gdy jest jednocześnie asymptotą lewostronną i
prawostronną. IV.
(1)Funkcja pierwotna-
funkcją pierwotną danej funkcji f(x) dla xeX nazywamy każda
różniczkowalna funkcje F(x), taką , że F'(x)=f(x). Ponieważ
(F(x)+C)'=F'(x), czyli F(x)+C też spełnia ten warunek, więc każda
funkcja różniąca sie o stałą od F(x) jest funkcja pierwotną.
(2)Całka
nieoznaczona-
zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w X nazywamy całka
nieoznaczoną i oznaczamy symbolem /f(x)dx, gdzie /-symbol całki,
f(x)dx -wyrażenie podcałkowe, f(x)- funkcja podcałkowa.
Otrzymujemy więc: /f(x)dx= F(x)+C, gdzie C- stała całkowania.
(4)Całkowanie
przez podstawienie-
Jeżeli f(x) jest ciągła w (a,b) i x=fi(t) jest ciągła w (alfa,
beta) i istnieje ciągła fi'(t) to zachodzi wzór /f(x)dx=
/f(fi(t))*fi'(t)dt Należy przy tym pamiętać, że podstawienie ma
całke upraszczać.
(5)Całkowanie
przez części-
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) maja ciągłe pochodne w X to zachodzi
wzór: /u(x)*v;(x)dx=u(x)*v(x)-/u'(x)*v(x)dx. (6)Ułamki
proste pierwszego rodzaju-
nazywamy funkcje postaci w(x)=l(x)/m(x), gdzie l i m są
wielomianami. Funkcję wymierna postaci A/(x+a)^n, gdzie neN oraz
(a,AeR), nazywamu ułamkiem prostym pierwszego rodzaju. Do obliczania
całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie
x+a=t i otrzymujemy cał a/(x+a)dx=A*ln|x+a|+C; cał (A/(x+a)^n)*dx=
-[a/(n-1)(x+a)^(n-1)]+C, gdzie n>=2.
(6)Ułamki
proste drugiego rodzaju-
funkcję wymierną postaci Bx+C/(x^2+bx+c)^n, gdzie neN oraz
b,c,B,CeR przy czym delta<0 gdzie delta jest wyróżnikiem
trójmianu x^2+bx+c nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
Całki z ułamków prostych drugiego rodzaju obliczamy w nastepujący
sposób: |Gdy B=0 - obliczamy całkę całdx/(x^2+bx+c)^n:
sprowadzamy trójmian x^2+bx+cdo postaci kanonicznej (x-p)^2+q i
stosujemy podstawienie x-p=pier(q)*t. |dla n=1 korzystamy ze wzoru
całdt/(t^2+1)=arctgt+C |dla n>=2 stosujemy wzór rekurencyjny:
całdt/(t^2+1)^n=[t/(2n-2)(t^2+1)^(n-1)]+[(2n-3)/(2n-2)]*całdt/(t^2+1)^(n-1)