I WB	Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego oraz logarytmicznego dekrementu tłumienia wahadła fizycznego	19.03.2008
Nr ćw.5	Marek Nalepka

1. Wstęp teoretyczny:

Przyspieszenie - wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę prędkości w czasie.

Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie (jest to miara zmienności prędkości). Przyspieszenie jest wielkością wektorową, gdzie wartość tego wektora jest równa wartości pochodnej prędkości względem czasu w danej chwili. Jeśli przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do kierunku prędkości ruchu, to jest czasem nazywane opóźnieniem.

Dekrement tłumienia (logarytmiczny), wielkość charakteryzująca tłumienie drgań, zdefiniowana jako logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń w tę samą stronę drgającej cząsteczki.

Przyspieszenie ziemskie (g) jest to stała, o jaką wzrasta prędkość swobodnie spadającego ciała w czasie każdej następnej sekundy trwania lotu. Wartość przyspieszenia jest zależna od wielu czynników, takich jak rozmiary planety, a z tym nie rozłącznie wiąże się siła dośrodkowa, szerokości geograficznej, wysokości i in.. Przyśpieszenie ziemskie zostało przyjęte jako stała i wynosi 9,80665 m/s² lecz w rzeczywistości zmienia się w zależności tak jak już to zostało powiedziane, od szerokości geograficznej w jakiej się znajdujemy (np. równiku g=9,78 m/s² zaś na biegunie g=9,83 m/s²). Posługując się wahadłem prostym możemy wyznaczyć przyspieszenie ziemskie.

Wahadło proste jest to najczęściej kulka zawieszona na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Kulka odchylona od położenia równowagi i swobodnie puszczona porusza się ruchem drgającym zwanym wahadłowym. Siłą, która decyduje o tym ruchu, jest składową siły ciężkości, styczną do toru kulki. Ruch po łuku jest zmienny okresowo - zgodnie z przebiegiem funkcji sinus. Przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia.

Do wyznaczenia logarytmicznego dekrementu tłumienia wykorzystamy wahadło fizyczne. Wahadłem fizycznym nazywamy bryłę sztywną zawieszoną na poziomej osi O przechodzącej powyżej środka masy bryły S. Jeżeli bryłę taką odchylimy od położenia równowagi o niewielki kąt ϕ, to poruszać się ona będzie ruchem wahadłowym, harmonicznym o pewnym okresie T, przy czym siłą decydującą o ruchu będzie ciężar wahadła P = mg przyłożony do jego środka ciężkości S.

1. Tabela pomiarów i obliczeń

Rodzaj kulki	Długość nici l [m]	Średnia kulki d [m]	Długość wahadła L=(l+d/2) [m]	Czas trwania 30 okresów [s]	Okres T [s]	Średnia wartość okresu T [s]	Średnia długość wahadła L [m]	Stosunek $$\frac{L}{T^{2}}$$	Przysp. ziemskie g [m/s^2]
drewniana I	0,778	0,0255	0,791	53,19	1,77	1,76	0,787	0,2534	10,002
	0,771	0,0253	0,784	52,53	1,75
	0,774	0,0258	0,787	52,91	1,76
drewniana II	0,527	0,0265	0,540	44,39	1,48	1,48	0,537	0,2457	9,700
	0,523	0,0270	0,537	44,21	1.47
	0,521	0,0272	0,535	44,46	1,48
metalowa I	0,635	0,0278	0,649	48,46	1,62	1,62	0,645	0,2458	9,703
	0,632	0,0268	0,645	48,58	1,62
	0,627	0,0267	0,640	48,74	1,62
metalowa II	0,634	0,0260	0,647	48,39	1,61	1,61	0,644	0,2481	9,795
	0,630	0,0272	0,644	48,24	1,61
	0,628	0,0271	0,642	48,37	1,61

t₁ = 37,85 s t₂ = 37,81 s t₃ = 38,00s m = 268,5 g

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
An[mm]	467	387	327	277	237	210	180	160	147	133	117

niepewności wzorcowania

_dm = 0,5g – dla wagi

_dt=0,2s – dla sekundomierza

_et=0,2s

_dl₁=0,001 m – dla katetometra

_dl₂=0,000005 m - dla suwmiarki

1. Obliczenia:

1. Wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła prostego.

- długość wahadła L = l +$\frac{d}{2}$

dla kulki drewnianej I :

1. L = 0,778m + $\frac{0,0255m}{2}$ = 0,791 m

2. L = 0,771m + $\frac{0,0253m}{2}$ = 0,784 m

3. L = 0,774m + $\frac{0,0258m}{2}$ = 0,787 m

dla kulki metalowej II :

1. L = 0,634m + $\frac{0,0260m}{2}$ = 0,647 m

2. L = 0,630m + $\frac{0,0272m}{2}$ = 0,644 m

3. L = 0,628m + $\frac{0,0271m}{2}$ = 0,642 m

- stosunek $\frac{L}{T^{2}}$

dla kulki drewnianej I: $\frac{L}{T^{2}}$ = $\frac{0,787}{{1,76}^{2}}$ = 0,2534

dla kulki drewnianej II: $\frac{L}{T^{2}}$ = $\frac{0,537}{{1,48}^{2}}$ = 0,2457

dla kulki metalowej I: $\frac{L}{T^{2}} = \frac{0,645}{{1,62}^{2}}$ =0,2458

dla kulki metalowej II: $\frac{L}{T^{2}}$ = $\frac{0,644}{{1,61}^{2}}$ = 0,2481

- przyspieszenie ziemskie g = $\frac{{4\pi}^{2}L}{T^{2}}$ π=3,1415

dla kulki drewnianej I: g = $\frac{{4\pi}^{2}0,787}{{1,76}^{2}}$ = 10,002 m/s²

dla kulki drewnianej II: g = $\frac{{4\pi}^{2}0,537}{{1,48}^{2}}$ = 9,700 m/s²

dla kulki metalowej I: g = $\frac{{4\pi}^{2}0,645}{{1,62}^{2}}$ = 9,703 m/s²

dla kulki metalowej II: g = $\frac{{4\pi}^{2}0,644}{{1,61}^{2}}$ = 9,795 m/s²

- szacowanie niepewności standardowej u(T) u(l)

u_B(T)= $\sqrt{\frac{{(\frac{_{d}t}{30})}^{2} + {(\frac{_{e}t}{30})}^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{{(\frac{0,2}{30})}^{2} + {(\frac{0,2}{30})}^{2}}{3}}\ $= 0,0054 s

$u_{B}\left( l \right) = \ \frac{0,001}{\sqrt{3}}$ = 0,0006 m

- niepewność złożona

u_c(g)=$\sqrt{{\lbrack\frac{- 8\pi^{2}L}{T^{3}}\ \times u(T)\rbrack}^{2} + \ {\lbrack\frac{- 8\pi^{2}L}{T^{3}}\ \times u(l)\rbrack}^{2}}$

u_c(g₁)= $\sqrt{{\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,787}{{1,76}^{3}}\ \times 0,0054\rbrack}^{2} + \ {\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,787}{{1,76}^{3}}\ \times 0,0006\rbrack}^{2}} =$ 0,062

u_c(g₂) $= \sqrt{{\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,537}{{1,48}^{3}}\ \times 0,0054\rbrack}^{2} + \ {\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,537}{{1,48}^{3}}\ \times 0,0006\rbrack}^{2}} =$ 0,071

$u_{c}\left( g_{3} \right) = \sqrt{{\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0.645}{{1,62}^{3}}\ \times 0,0054\rbrack}^{2} + \ {\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,645}{{1,62}^{3}}\ \times 0,0006\rbrack}^{2}} = \ $0,065

$u_{c}\left( g_{4} \right) = \sqrt{{\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,644}{{1,61}^{3}}\ \times 0,0054\rbrack}^{2} + \ {\lbrack\frac{- 8\pi^{2}0,644}{{1,61}^{3}}\ \times 0,0006\rbrack}^{2}} =$ 0,066

- wyznaczam niepewność rozszerzoną

U(g) = k  ×  u_c(g)

Przyjmujemy współczynnik k=2

U(g₁)=2  × 0, 062  = 0, 122

U(g₂)=2  ×  0, 071 = 0, 142

U(g₃)=2  ×  0, 065 = 0, 130

U(g₄)=2  ×  0, 066 = 0, 132

g₁= 10,002 ± 0,122 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

g₂= 9,700 ± 0,142$\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

g₃= 9,703 ± 0,130$\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

g₄= 9,795 ± $0,132\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

1. Logarytmiczny dekrement tłumienia D = ln$\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}$

D₁ = ln$\frac{467}{387}$ = 0,188

D₂ = ln$\frac{387}{327}$ = 0,168

D₃ = ln$\frac{327}{277}$ = 0,166

D₄ = ln$\frac{277}{237}$ = 0,156

D₅ = ln$\frac{237}{210}$ = 0,121

D₆ = ln$\frac{210}{180}\ $= 0,154

D₇ = ln$\frac{180}{160}$ = 0,117

D₈ = ln$\frac{160}{147}$ = 0,085

D₉ = ln$\frac{147}{133}$ = 0,100

D₁₀ = ln$\frac{133}{117}$= 0,128

- średnia wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia

D_śr = 0,138

- niepewność standardowa wartości średniej

u_A(D_sr)= $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(D_{i -}D_{sr)}}^{2}}{n(n - 1)}}$

	Di−Dsr	(Di−Dsr)^2
1.	0,04949	0,002449
2.	0,03005	0,000903
3.	0,02753	0,000758
4.	0,01754	0,000308
5.	-0,01746	0,000305
6.	0,01574	0,000248
7.	-0,02063	0,000426
8.	-0,05367	0,002881
9.	-0,03833	0,001469
10.	-0,01024	0,000105

u_A(D_sr)= $\sqrt{\frac{0,009851}{90}}$ = 0,0105

D_sr= 0,138(105)

- stała tłumienia(β) oraz współczynnik oporu środka (b)

okres drgań $T_{i} = \frac{t_{i}}{11}$

$T_{1} = \frac{t_{1}}{11}$ = $\frac{37,85s}{11}$ = 3,44s

$T_{2} = \frac{t_{2}}{11}$ = $\frac{37,81s}{11}$ = 3,44s

$T_{3} = \frac{t_{3}}{11}$ = $\frac{38,00s}{11}$ = 3,45s

$T_{sr} = \frac{3,44 + 3,44 + 3,45}{3}$ = 3,44

stała tłumienia

= $\frac{D_{sr}}{T_{sr}}$ = $\frac{0,138}{3,44}$ =0,040 [$\frac{1}{s}$]

współczynnik oporu ośrodka (b)

b=2m==$\frac{0,537}{3,44} \times 0,138$ = 0,022 [$\frac{\text{kg}}{s}\rbrack$

- niepewność złożona u_c(b) i u_c(β)

u_B(T) = $\sqrt{\frac{{(\frac{_{d}t}{11})}^{2} + {(\frac{_{e}t}{11})}^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{{(\frac{0,2}{11})}^{2} + {(\frac{0,2}{11})}^{2}}{3}}$=0,015

$u_{c}\left( b \right) = \sqrt{{\lbrack\frac{- 2\text{mD}}{T^{2}} \times u\left( T \right)\rbrack}^{2}} = \sqrt{{\lbrack\frac{- 2 \times 0,2685 \times 0,138}{{3,44}^{2}} \times 0,015\rbrack}^{2}} =$0,000094

$u_{c}\left( \beta \right) = \sqrt{{\lbrack\frac{- D}{T^{2}} \times u\left( T \right)\rbrack}^{2}} = \sqrt{{\lbrack\frac{- 0,138}{{3,44}^{2}} \times 0,015\rbrack}^{2}} = \ $0,0000175

1. Wnioski:

Porównując wyliczone wartości wyliczone dla przyspieszenia ziemskiego z wartością tablicową, zauważyć można pewne nieścisłości. Owe nieścisłości mogą wynikać, z niedokładności pomiarów czy też samych obliczeń. Wartość tablicowa jest wyprowadzona przy padaniu w specjalnych warunkach, których z oczywistego powodu nie mogą być odwzorowane w uczelnianym laboratorium. W tym badaniu nie uwzględniono również oporu powietrza który wpłynął by na końcowe wyniki.