I. Moment siły względem bieguna.

Definicja momentu siły:

Moment siły F to iloczyn wektorowy ramienia r i siły F.

1) iloczyn wektorowy momentu i siły są prostopadłe do płaszczyzny

2) moment i siła to długość momentu i siły co równe jest długości wektora r iloczynu skalarnego z długością wektora F i iloczynu wektorowego sinusa między r a F.

3) reguła prawej śruby: {r,F,Mo(F)}<=>(x,y,z)

Druga definicja momentu siły:

M_o(F)=| $\begin{matrix} i & j & k \\ x - xo & y - yo & z - zo \\ \text{Fx} & \text{Fy} & \text{Fz} \\ \end{matrix}$ |

II. Moment siły względem osi.

1. Moment siły F względem osi l nazywamy rzut F względem punktu A.

2. Moment siły F względem osi l nazywamy rzut wektora momentu siły F' będącej składową siły F zrzutowanej na płaszczyznę Pi prostopadłej do osi względem punktu przebicia 0 płaszczyzny Pi osią l.

III. Moment par sił.

Moment pary jest wynikiem iloczynu wektorowego, stąd ma własności:

1) jest prostopadły do p i F

2) skierowany zgodnie z regułą prawej śruby

Twierdzenie o parach. Z faktu:

1. Parę sił można przenosić dowolnie w jej płaszczyźnie działania.

2. Parę sił można przenosić w przestrzeni równolegle do jej pierwotnej płaszczyzny działania.

3. Wartości sił tworzących parę można zmieniać dowolnie tak, aby iloczyn skalarny wartości wektora jednej z sił F i tworzących parę i długości h ramienia pary pozostał bez zmiany.

4. Dwie pary sił o momentach M1 i M2 leżące w płaszczyznach przecinających się i działające na jedno ciało sztywne można zastąpić jedną ekwiwalentną im parą, której moment M będzie równy sumie wektorowej obu tych par: M=M1+M2.

IV. Więzy.

Stopień niewyznaczalności: k=n-r.

Warunki równowagi układów sił:

1. W postaci wektorowej:

Jeśli układ U(Fn,..,Fi,...,Fn) jest w równowadze to ekwiwalentny mu układ U(V,Mo) też jest w równowadze. Oba układy są ekwiwalentne zeru.

Warunek zachodzi gdy wektor główny i moment główny danego układu sił są równe zeru:

V=0, Mo=0

2. W postaci skalarowej:

(układ równań):

|Vx=0

|Vy=0

|Vz=0

|Mox=0

|Moy=0

|Moz=0

V. Przestrzenny układ sił.

1. Warunki równowagi przestrzennego układu sił w postaci skalarowej:

Układ równań: suma Fix i suma Fiy i suma Fiz i suma Mx(Fi) i suma My(Fi) i suma Mz(Fi) równe są zeru.

2. Warunki:

Przestrzenny równoległy	Sumy: Fiz=0, Mx(Fi)=0, My(Fi)=0
Przestrzenny zbieżny	Sumy: Fix=0, Fiy=0, Fiz=0
Płaski dowolny	I warunek: sumy: Fiy=0, Fix=0, Mo(Fi)=0 II warunek: sumy: Fil=0, Mo1(Fi)=0, Mo2(Fi)=0 III warunek: sumy: Mo1(Fi)=0, Mo2(Fi)=0, Mo3(Fi)=0
Płaski równoległy	Sumy: Fix=0, Mo(Fi)=0 lub sumy: Mo1(Fi)=0, Mo2(Fi)=0
Zbieżny płaski	Sumy: Fix=0, Fiy=0
Liniowy w postaci skalarnej	Sumy Fil=0
Par sił	Sumy: Mix=0, Miy=0, Miz=0

Gdy momenty są równoległe do prostej l, to sumy Mil=0.

VI. Tarcie.

Tarcie dzielimy na suche lub kolumbowskie i tarcie płynne.

Prawa tarcia:

1) Tmax=mi s * N, gdzie mi s - współczynnik tarcia statycznego.

2) Tk = mi k * N, gdzie mi k - współczynnik tarcia kinetycznego.

3) Ani mi s, ani mi k nie zależą od wielkości powierzchni styku. Zależą natomiast od rodzaju tych powierzchni, sposobu ich obróbki i rodzaju materiału.

Tarcie cięgien - wzór Eulera:

alfa - kąt opasania

dl=r d fi - długość cięgna

r - promień wału

dS - różnica naciągu cięgien w pkt D i E

dT=mi s dN - siła tarcia rozwiniętego

dS= mi s dN

siła dN to:

suma Fiy=0 => dN-S sin (d fi / 2) - (S + dS) sin (d fi / 2)=0

zaniedbując małe wyższego rzędu, dla małych kątów otrzymujemy:

dN=Sd fi

skąd:

dS=mi s S d fi

Rozdzielając zmienne i całkując równanie różniczkowe w odpowiednich granicach otrzymujemy:

całka od Q do P po dS/S = mi s * całka od 0 do alfa po d teta => lnP/Q = mi s * alfa

Ostatecznie:

Q=P*e^(-mi s * alfa)

gdzie: Q - siła, P - siła, alfa - kąt opasania wała, mi s - tarcie statyczne.

VII. Tarcie toczne.

Toczenie bez poślizgu	P<=mi s * Q M+Pr>fQ Lub mi s * Q>=P>(fQ-M)/r => mi s>f/r - M/r*Q
Toczenie z poślizgiem	P>=mi s*Q M+Pr>fQ Lub P>=mi s*Q P>(fQ-M)/r
Bez toczenia	P>=mi s * Q M+Pr<fQ Lub Mi s*Q<=P<(fQ-M)/r Gdzie: mi s<f/r - M/rQ

VIII. Kratownice.

Kratownice:

-przenoszą obciążenia dużo większe niż ciało stałe

-kratownice zbudowane z prętów wysmukłych połączonych idealnymi beztarciowymi i nie przenoszącymi momentów przegubami

-ciężary prętów redukujemy do przegubów

-siły skupione są przyłożone w przegubach

-siły liniowe rozłożone redukujemy do przegubów

Podsumowanie: każdy pręt może być ściskany lub rozciągany.

k=p+wz-2w

w - ilość węzłów, p - ilość prętów, wz - ilość więzów zewnętrznych, k - stopień niewyznaczalności wewnętrznej

Kroki obliczania kratownic:

- liczymy reakcje Ra i Rc

-rozważamy równowagę węzła A skąd mamy S1 i S2

- rozważamy równowagę węzła D skąd mamy S3 i S4

- rozważamy równowagę węzła E skąd mamy S5 i S6

- rozważamy równowagę węzła B skąd mamy S7

Obliczanie kratownic metodą Rittera:

-sprawdzanie k i obliczenie reakcji

-reakcje więzów zewnętrznych - jeśli trzeba

-przecinamy kratownice na 2 części przez 3 nierównoległe części

-wybieramy dowolną część kratownicy (rozciętej) i rozpatrujemy jej równowagę; obliczamy siły w 3 przeciętych prętach.

IX. Redukcja układu sił. Skrętnik.

Wektor głównego momentu obrotowego: skończony lub nieskończony zbiór wektorów, posiadające punkt zaczepienia.

Twierdzenie o transformacji momentu głównego:

Mk=Mo-KOxV

Mk=suma KAi x Fi = suma (OAi - OK) x Fi=Mo-OK x suma Fi = Ms - OK x V

Mk * V = Mo * V - (KO x V)*V

Mk*V=Mo*V

Definicja osi centralnej:

V x Mk=0

jest prostą równoległą wektora V:

OK=[V x Mo]/[V]^2 + kappa * V/|V|

Przypadki redukcji:

1. Jeżeli V=0, Mo=0 to układ wektorów T jest w równowadze.

2. Jeżeli V!=0, Mo*V=0 to układ redukuje się do wypadkowej.

3. Jeżeli V=0, Mo!=0 to układ redukuje się do pary sił.

4. Jeżeli V!=0, Mo!=0 to układ redukuje się do skrętnika. W tym wypadku:

a) jeśli Mo*V>0 - skrętnik prawy

b) jeśli Mo*V<0 - skrętnik lewy

X. Moment siły wypadkowego względem bieguna.

Twierdzenie Varignona :

W przypadku kiedy dowolny układ sił (płaski lub przestrzenny) działający na ciało sztywne redukuje się do wypadkowej, możemy posłużyć się tzw tw. Varignona:

"Moment siły wypadkowej względem dowolnego bieguna jest równy sumie momentów wszystkich sił działających na ciało względem tegoż biegunu".

Dla płaskiego układu sił mamy:

Mo(W)=suma Mo(Fi) czyli:

"Algebraiczny moment siły wypadkowej płaskiego układu sił względem dowolnego bieguna jest równa sumie algebraicznych momentów wszystkich sił względem tegoż bieguna".

Podobnie można zapisać twierdzenie względem osi z: Mz(W)=suma Mz(Fi).

XI. Kinematyka punktu.

/Kinematyka punktu lepiej opracowana na podstawie ćwiczeń. Z wykładów mało co jest czytelne./

Kinematyka - nauka o ruchu bez uwzględnienia przyczyn go wywołujących.

1. Układ kartezjański.

2. Układ cylindryczny - szczególny przypadek do układ biegunowy.

3. Układ sferyczny.

4. Układ naturalny.

5. Układ krzywoliniowy.

Ruch punktu w układzie kartezjańskim.

1. Opis ruchu. Tor punktu. Parametry: czas i promień wodzący r.

r=r(t) - wektorowe parametryczne równanie rzeczywiste punktu (R.R.P.)

r(t)=i x(t)+j y(t) +kz(t)

x=x(t)

y=y(t)

z=z(t)

-- skalarne pamaetryczne R.R.P.

Tor : miejsce geometryczne punktów jakie zajmuje w kolejnych chwilach czasu koniec promienia wodzącego r(t). Tor --- HODOGRAF r(t)

Szukanie toru punktu: ze skalarnych równań parametrycznych rogujemy czas.

Hodograf prędkości - prędkość punktu.

Definicja prędkości chwilowej:

V(t)=lim (delta t->0) delta r / delta t = dr/dt = r*(t)

Vśr=delta r / delta t = r1-r0 / t1-t0

Wzory:

Vx(t)=dx/dt

Vy(t)=dy/dt

Vz(t)=dz/dt

V=sqrt(Vx^2+Vy^2+z^2)

cos(x,v)=Vx/V i analogicznie dla y, z.

Hodograf prędkości - miejsce geometryczne punktów gdzie zajmuje koniec wektora prędkości chwilowej jeżeli jego początek umieścić we wspólnym biegunie O'.

a śr=(a xśr, a yśr, a zśr) = delta V / delta t gdzie delta V = V1-V0, delta t=t1-t0

a xśr=delta Vx/delta t i analogicznie dla y, z.

a=lim (delta t->0) a śr = lim (delta t->0) delta V/ delta t = dV/dt

ax(t)=dVx/dt

ay(t)=dVy/dt

az(t)=dVz/dt

a=sqrt(ax^2+ay^2+az^2)

Cosinusy kierunkowe a: cos(x,a)=ax/a i analogicznie dla y, z.

Kryteria ruchu przyspieszonego: ruch po prostej, ruch po krzywej, ruch przyspieszony, ruch opóźniony.

Prędkość ruchu w układzie naturalnym: wektor v = v * wektor tał.

Promień krzywizny:

p=lim (delta teta ->0) delta s/delta teta

Krzywizna toru:

k(t)=[|k' x r"|]/|r"^3|

k(x)=|y"(x)|/(1+[y'(x)]^2)^3/2

Dla krzywej płaskiej:

k=[|macierz: $\begin{matrix} x' & y' \\ x" & y" \\ \end{matrix}$|] / (sqrt(x'^2+y'^2))^3

Wartość przyspieszenia stycznego i normalnego:

a^2=an^2+a tał^2

a tał=dV/dt

a n=sqrt(a^2-a tał^2)

ro = V^2/a n

Procedura:

1) wyznaczyć równanie parametryczne toru ruchu na podstawie rysunku lub ilustracji

2) wyznaczanie toru (równanie toru, rysunek toru)

3) obliczanie prędkości V

4) obliczanie przyspieszenia a

5) kryterium ruchu przyspieszonego V*a

6) przyspieszenie styczne a tał (2 sposoby)*

7) przyspieszenie normalne a n^2=a^2-a tał^2

8) ro=V^2/an

*jedna metoda to a tał=dV/dt druga metoda to a tał=V*a / |V|= (Vx ax+Vy ay+ Vz az) / |V|

XII. Ruch punktu po okręgu.

wektor V=dr/dt

V=ds/dt

V=r*(fi)'

a tał=r * (fi)"

a n = r* (fi)'^2

prędkość kątowa omega: w=(fi)' prostopadle do płaszczyzny okręgu

epsilon E=(fi)" prostopadle do płaszczyzny okręgu

Gdy (fi)'=const ruch jednostajny po okręgu

Gdy (fi)"=const ruch jednostajnie zmienny

Ruch punktu we współrzędnych cylindrycznych:

Def: współrzędne cylindryczne:

r=f1(t)

(fi)=f2(t)

z=z(t)

Zależności:

x=r*cos(fi)

y=r*sin(fi)

z=z

Prędkości punktu:

Vx=x'

Vy=y'

Vz=z'

ax=x"

ay=y"

az=z"

Ruch punktu we współrzędnych biegunowych:

Vr=r'

Vfi=r*(fi)'

ar=r"-r*(fi)'^2

afi=2 r' (fi)' + r (fi)"

V, a - analogicznie jak poprzednio.

/na ćwiczeniach była prędkość ruchu we współrzędnych biegunowych/

Ruch punktu dany współrzędnymi, krzywoliniowe z wektorem wodzącym punktu:

q1, q2, q3 - współrzędne krzywoliniowe

r=r(q1,q2,q3) - wektor wodzący punktu

• krzywą współrzędną q1 - linia jaką zakreśla wektor r przy zmiennych q1, q2 a q3 = const

• q2 i q3

• wekt. jednostkowych styczny do krzywej:

e i=1/Hi * dr/dqi {i=1,2,3}, Hi - ity współczynnik Lame'go

Hi=|dr/dqi|=sqrt[(dx/dqi)^2+(dy/dqi)^2+(dz/dqi)^2]

• jeżeli ei*ej=0 to układ krzywoliniowy jest ortogonalny

Układ krzywoliniowy ortogonalny:

vqi=Hi*qi

aqi=1/Hi * [d/dt(dT/dqi - dT/dqi]

gdzie: T=(v^2)/2 = 1/2 [H1^2*q1^2+H2^2*q2^2+H3^2*q3^2]

Trochę zawiłe, dlatego przedstawiam przykład obliczeń dla układu ortogonalnego w 5 krokach:

1. Mamy układ równań x,y,z:

x=r cos fi

y=r sin fi

z=z

oraz mamy układ równań współczynników krzywoliniowych q1, q2, q3:

q1=r

q2=fi

q3=z

2. Obliczamy H1, H2, H3:

H1=sqrt(cos^2 fi + sin^2 fi + 0)=1

H2=sqrt((-r sin fi)^2+(rcos fi)^2+0)=r

H3=sqrt(0+0+1)=1

3. Obliczamy vr, vfi, vz oraz v:

Vr=H1*r'=r'

Vfi=H2*fi'=r fi'

Vz=H3*z'=z'

V=sqrt(Vr^2+Vfi^2+Vz^2)

4. Obliczamy T:

T=1/2(r'^2+r^2*(fi)'^2+z'^2) skąd:

dT/dr' = r'

dT/dfi'=r^2*fi'

dT/dz'=z'

dT/dr=r fi^2

dT/dfi = 0

dT/dz = 0

5. Obliczamy ar, afi, az i a:

ar=r"-r*(fi)'^2

afi=2r' fi'+r (fi)"

az=z"

a=sqrt(ar^2+afi^2+az^2)

XIII. Kinematyka bryły sztywnej.

Kinematyka bryły sztywnej zajmuje się zależnościami między czasem a położeniem, prędkościami i przyspieszeniami poszczególnych punktów ciała bryły sztywnej.

Ruch postępowy bryły sztywnej.

Definicja ruchu postępowego: gdy dowolna prosta przechodząca przez ciało pozostaje równoległa przez cały czas ruchu ciała.

Wszystkie punkty ciała sztywnego poruszają się postępowo i poruszają się po torach "równoległych".

Jeśli te tory są prostymi liniami to mamy ruch postępowy prostoliniowy. Jeśli krzywe - krzywoliniowy.

W ruchu postępowym wszystkie punkty ciała sztywnego w danym czasie mają tę samą prędkość i przyspieszenie.

Vn=omega x r

a tał = epsilon x r

a n = omega x v

XIV. Ruch płaski. Złożenie ruchu postępowego i obrotowego.

Definicja ruchu płaskiego: ruch płaski to taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny nieruchomej Pi.

W związku z tym zamiast rozpatrywać ruch bryły, można rozpatrywać ruch przekroju bryły lub jego pewnego odcinka.

Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe bryły w równaniu płaskim nie zależą od bieguna.

Własności prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego ciała w ruchu płaskim:

fi'=omega=fi'1

fi"=epsilon=fi"1

Równania ruchu dowolnego punktu bryły w ruchu płaskim:

xn=xa+|AM|cos(fi+alfa)

yn=ya+|AM|sin(fi+alfa)

lub:

xn=xa+(ksi cos fi - eta sin fi)

yn=ya+(ksi sin fi + eta cos fi)

Prędkość dowolnego punktu ciała w ruchu płaskim. Metoda klasyczna:

r=r0+fi, gdzie: r0 - początek w układzie, fi - zmienna

r'=r0'+fi' (różniczkuje w układzie stałym)

r'=r0'+omega x fi

Vm=Va+Vm^(A)

|Vm^(A)|=omega * fi

Co sprowadza się do równania:

Vb=Va+Vb^(A) gdzie b - szukana, a - znana

XV. Procedura wyznaczania chwilowego środka prędkości.

Definicja chwilowego środka prędkości: chwilowy środek prędkości (obrotu) przekroju "S" bryły w ruchu płaskim nazywamy ten punkt przekroju (lub płaszczyzny z nim związanej) którego prędkość wynosi zero.

Kroki procedury:

1) mając dane Va oraz omega odkładamy od wektora Va kąt 90 stopni zgodnie ze zwrotem omega

2) na odłożonym ramieniu kąta odkładamy odcinek ro=Va/omega

3) punkt S odległy od A o odcinek ro jest chwilowym środkiem obrotu

XVI. Przyspieszenie dowolnego punktu ciała w ruchu płaskim.

/brak definicji; procedura taka jak na ćwiczeniach/

XVII. Chwilowy środek przyspieszeń.

Definicja: chwilowy środek przyspieszeń to punkt związany z bryłą lub przekrojem ciała poruszającego się ruchem płaskim, którego przyspieszenie równa się zero.

Procedura wyznaczania chwilowego środka przyspieszeń:

1) mając aA oraz omega i epsilon, odkładamy od wektora aA kąt alfa zgodnie ze zwrotem epsilon takim, że tg alfa = epsilon/omega^2

2) na odłożonym ramieniu kąta odkładamy odcinek AP=aA/ sqrt(omega^4+epsilon^2)

3) punkt P odległy od A o odcinek AP jest chwilowym środkiem przyspieszeń

/procedura bardzo ważna, nie było na ćwiczeniach/

XVIII. Kinematyka punktu w ruchu złożonym.

Ruch układu ruchomego względem układu stałego nazywamy ruchem unoszenia.

Ruch punktu M względem układu ruchomego nazywamy ruchem względnym

Ruch punktu M względem układu stałego nazywamy ruchem bezwzględnym.

r=r0+ ro

Prędkość ruchu w ruchu złożonym: pierwsza różniczka:

r'=r0'+(ro r)'+omega x ro

Vb=Vu+Vw

(prędkość bezwzględna = prędkości unoszenia + prędkości względna)

Vu=r0'+omega x ro

Vw=(ro r)'

Przyspieszenie punktu w ruchu złożonym: druga różniczka:

r"=r0"+d/dt (ro r)' + d/dt [omega x ro]

r"=r0"+omega x (omega x ro) + epsilon x ro + (ro r)" + 2 omega x (ro r)'

Oznaczenia:

ab=r"

au=r0"+omega x (omega x ro) + epsilon x ro

aw=(ro r)"

aCOR=2 omega x (ro r)'

gdzie:

ab - przyspieszenie bezwzględne punktu

a u - przyspieszenie unoszenia

aw - przyspieszenie względne

aCOR - przyspieszenie Coriolisa

co ostatecznie daje nam:

ab=au+aw+aCOR

ab=aun+autał+awn+awtał+aCOR

Własności przyspieszenia Coriolisa:

1) aCOR jest prostopadła do (omega, Vw)

2) |aCOR|=|omega|*|Vw|*sin (omega, Vw)

3) (omega, Vw, aCOR) <=> (x,y,z)

XIX. Podsumowanie.

Na egzaminie ma być: Coriolis, przyspieszenie i prędkość względna, chwilowe środki obrotu, przyspieszeń. Kinematyka: przestrzenny, ruch płaski, zadanie ze statyki niezłożony z tarciem lub złożony bez tarcia, ruch obrotowy, ruch punktu złożony. Równanie osi centralnej, definicja momentu siły względem osi, ogólniki z każdego wykładu + inne.

2 lub 3 pytania teoretyczne

5 zadań praktycznych