STEROWANIE – każde celowe oddziaływanie na obiekt w taki sposób, aby osiągnięte zostały zamierzone cele.

UKŁADEM AUTOMATYCZNEJ REGULACJI nazywamy układ sterowania z ujemnym sprzężeniem zwrotnym, który to układ zapewnia bez ingerencji człowieka wymaganą zmienność jednej lub kilku wielkości charakteryzujących proces. Wielkości te nazywamy wielkościami regulowanymi (wyjściowymi).

KLASYFIKACJA UAR:

1. ze względu na charakter członów składających się na system:

- liniowe - nieliniowe

2. ze względu na liczbę wejść:

- jednowymiarowe: SISO - wielowymiarowe: MISO, MIMO

3. ze względu na zadania:

- układy regulacji stałowartościowej (stabilizujące)

- układy regulacji programowej

- układy regulacji nadążnej

MATEMATYCZNY OPIS UKŁADÓW STEROWANIA opisuje statyczne i dynamiczne właściwości układów automatyki i jest niezbędnym narzędziem do analizy i syntezy tych układów. Właściwości statyczne są to cechy zachowania układów w stanie ustalonym. Właściwości dynamiczne opisują zachowanie układu w stanie nieustalonym. Matematyczne modele układów sterowania otrzymujemy na drodze identyfikacji.

OGÓLNE RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE:

OPIS W PRZESTRZENI STANU:

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) – równanie stanu

y(t) = Cx(t) + Du(t) – równanie wyjścia

A- macierz stanu

B- macierz wejściowa

C- macierz wyjścia

D- macierz bezpośredniego sterowania

x(t) – wektor zmiennych stanu

u(t) – wektor wejść

y(t) – wektor sygnałów wejściowych

TRANSFORMATA LAPLACE’A

Transformatą Laplace’a F(s) funkcji f(t) nazywamy funkcję zmiennej zespolonej s=a+bj, takiej że:

F(s) = α[f(t)] = ∫₀^∞f(t)•e^−stdt

WŁASNOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE’A

1. liniowość: α[a₁•f₁(t)+a₂•f₂(t)] = a₁ • F₁(s) + a₂ • F₂(s)

2. przesunięcie w dziedzinie czasu: α[f(t−T₀)] = e^−sT₀ • F(s)

3. Transformata pochodnej

4. Transformata z całki

5. Twierdzenie o wartości końcowej: f(t) =  s • F(s)

6. Twierdzenie o wartości początkowej: f(t) =  s • F(s)

STANDARDOWE TRANSFORMATY

f(t)	F(s)
1(t)	$$\frac{1}{s}$$
δ(t)	1
t	$$\frac{1}{s^{2}}$$
t^2	$$\frac{2}{s^{3}}$$
e^−aT/e^+aT	$\frac{1}{s + a}$ / $\frac{1}{s - a}$
sin(ωt)	$$\frac{\omega}{s^{2} + \omega^{2}}$$
cos(ωt)	$$\frac{s}{s^{2} + \omega^{2}}$$

TRANSFORMATA ODWROTNA

$$f\left( t \right) = \ \alpha^{- 1}\left\lbrack F\left( s \right) \right\rbrack = \frac{1}{2\text{πj}}\int_{a - \text{jb}}^{a + \text{jb}}{F(s) \bullet e^{\text{st}}\text{ds}}$$

TRANSMITANCJA OPERATOROWA

Transmitancją G(s) nazywamy stosunek transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace’a sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych.

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U(s)}$$

CHARAKTERYSTYKI CZASOWE

1. IMPULSOWA

Impuls Diraca: $u\left( t \right) = \delta(t) = \left\{ \begin{matrix} 0,\ \ \& t \neq 0 \\ \infty,\ \ \& t = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{U\left( s \right)}$ => Y(s) = G(s) • U(s) = G(s) • 1 = G(s)

g(t) = α⁻¹[G(s)]

2. SKOKOWA

Skok jednostkowy: $u\left( t \right) = 1(t) = \left\{ \begin{matrix} 0,\ \ \& t < 0 \\ 1,\ \ \& t \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{U\left( s \right)}$ => $Y\left( s \right) = G\left( s \right) \bullet U\left( s \right) = G\left( s \right) \bullet \frac{1}{s}$

$$H\left( s \right) = G\left( s \right) \bullet \frac{1}{s}$$

$$h\left( t \right) = \alpha^{- 1}\left\lbrack G\left( s \right) \bullet \frac{1}{s} \right\rbrack = \alpha^{- 1}\left\lbrack H\left( s \right) \right\rbrack$$

PODSTAWOWE CZŁONY UAR

1. CZŁON PROPORCJONALNY

y(t) = ku(t)

G(s) = k − transmitancja

$$H\left( s \right) = \frac{1}{s}k - ch - \text{ka}\ \text{skokowa}$$

h(t) = k1(t)

$$y\left( t \right) = \frac{R_{2}}{R_{2} + R_{1}}u(t)$$

2. CZŁON INERCYJNY I RZĘDU

$$T\frac{\text{dy}\left( t \right)}{\text{dt}} + y\left( t \right) = \text{ku}\left( t \right)\text{\ \ \ \ \ }$$

$$G\left( s \right) = \frac{k}{\text{Ts} + 1}$$

$$H\left( s \right) = \frac{k}{s(\text{Ts} + 1)}$$

$$h\left( t \right) = k(1 - e^{- \frac{1}{T}t})$$

$$\text{RC}\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + y\left( t \right) = u(t)$$

3. CZŁON OSCYLACYJNY II RZĘDU

$$T_{n}^{2}\frac{d^{2}y\left( t \right)}{dt^{2}} + 2\zeta T_{n}\frac{\text{dy}\left( t \right)}{\text{dt}} + y\left( t \right) = \text{ku}\left( t \right)$$

$G\left( s \right) = \frac{1}{T_{n}^{2}s^{2} + 2\zeta T_{n}s^{2} + 1},\ \text{gdy}\ \zeta = 1\ G\left( s \right) = \frac{1}{(T_{n}{s + 1)}^{2}}$

$$H\left( s \right) = \frac{1}{{s(T}_{n}^{2}s^{2} + 2\zeta T_{n}s^{2} + 1)}$$

$$h\left( t \right) = k\lbrack 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - \zeta}}e^{- \frac{\zeta}{T_{n}}t} \bullet \sin(\frac{\sqrt{1 - \zeta^{2}}}{T_{n}} \bullet t + \varphi)\rbrack$$

$$\text{LC}\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + \text{RC}\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + y\left( t \right) = u(t)$$

4. CZŁON CAŁKUJĄCY IDEALNY

$y\left( t \right) = \frac{1}{T_{c}}\int_{0}^{t}{u\left( \tau \right)\text{dτ}}$

$$G\left( s \right) = \frac{1}{\text{sT}_{c}}$$

$$H\left( s \right) = \frac{1}{{s^{2}T}_{c}}$$

$h\left( t \right) = \frac{1}{T_{c}} \bullet t$

$$y\left( t \right) = \frac{1}{C}\int_{0}^{t}{i\left( \tau \right)\text{dτ}}$$

5. CZŁON CAŁKUJĄCY RZECZYWISTY (z inercją)

$T\frac{\text{dy}\left( t \right)}{\text{dt}} + y\left( t \right) = \frac{1}{T_{c}}\int_{0}^{t}{u\left( \tau \right)\text{dτ}}$

$$G\left( s \right) = \frac{1}{T_{c}s(\text{Ts} + 1)}$$

$$H\left( s \right) = \frac{1}{T_{c}s^{2}(\text{Ts} + 1)}$$

$$h\left( t \right) = \frac{t}{T_{c}} - \frac{T}{T_{c}}(1 - e^{- \frac{1}{T}t})$$

$$\frac{\text{JR}}{\text{kC}}\frac{\text{dα}\left( t \right)}{\text{dt}} + \alpha\left( t \right) = \frac{1}{C}\int_{0}^{t}{u\left( \tau \right)\text{dτ}}$$

6. CZŁON RÓŻNICZKUJĄCY IDEALNY

$y\left( t \right) = T_{d}\frac{\text{du}(t)}{\text{dt}}$

G(s)=T_ds

H(s) = T_d

h(t) = T_dδ(t)

$$i\left( t \right) = C\frac{\text{du}(t)}{\text{dt}}$$

7. CZŁON RÓŻNICZKUJĄCY RZECZYWISTY

$T\frac{\text{dy}\left( t \right)}{\text{dt}} + y\left( t \right) = T_{d}\frac{\text{du}(t)}{\text{dt}}$

$$G(s) = \frac{T_{d}s}{\text{Ts} + 1}$$

$H\left( s \right) = \frac{T_{d}}{\text{Ts} + 1}$

$$h\left( t \right) = \frac{T_{d}}{T}e^{- \frac{1}{T}t}$$

$$\text{RC}\frac{\text{dy}\left( t \right)}{\text{dt}} + y\left( t \right) = \text{RC}\frac{\text{du}(t)}{\text{dt}}$$

8. CZŁON OPÓŹNIAJĄCY (OPÓŹNIENIE TRANSPORTOWE)

y(t) = ku(t − T₀)

G(s) = ke^−sT₀

$$H\left( s \right) = \frac{ke^{- sT_{0}}}{s}$$

h(t) = k1(t − T₀)

CZŁONY ZŁOŻONE INERCYJNE II RZĘDU
a) $T_{1}T_{2}\frac{d^{2}y(t)}{\text{dt}} + \left( T_{1} + T_{2} \right)\frac{\text{dy}(t)}{\text{dt}} + y\left( t \right) = k \bullet u(t)$

b) $G\left( s \right) = \frac{k}{T_{1}T_{2}s^{2} + \left( T_{1} + T_{2} \right)s + 1} = \frac{k}{\left( T_{1}s + 1 \right)(T_{2}s + 1)}$

c) $H\left( s \right) = \frac{k}{s(T_{1}T_{2}s^{2} + \left( T_{1} + T_{2} \right)s + 1)}$

$$h\left( t \right) = k\left\lbrack 1 - \frac{1}{T_{1} - T_{2}}(T_{1}e^{- \frac{1}{T_{1}}t} - T_{2}e^{- \frac{1}{T_{2}}t} \right\rbrack$$

charakterystyka skokowa; przybliżenie: $G\left( s \right) = \frac{k}{T_{s} + 1} \bullet e^{- sT_{0}}$

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

$$\overset{\overline{}}{u}\left( t \right) = U_{m}e^{\text{jωt}}$$

$$\overset{\overline{}}{y}\left( t \right) = Y_{m}e^{j\left( \text{ωt} + \varphi \right)}$$

$G\left( \text{jω} \right) = \frac{\overset{\overline{}}{y}(t)}{\overset{\overline{}}{u}(t)} = \frac{Y_{m}e^{j\left( \text{ωt} + \varphi \right)}}{U_{m}e^{\text{jωt}}} = \frac{Y_{m}}{U_{m}}e^{\text{jφ}(\omega)} = \left| G(\text{jω}) \right|e$

Transmitancja widmowa (przepustowość widmowa) układu jest to stosunek wielkości wyjściowej do wielkości wejściowej, gdy są one sygnałami zespolonymi.

G(jω) = |G(jω)|cosφ + j|G(jω)|sinφ

$$\left| G\left( \text{jω} \right) \right| = \sqrt{P^{2}\left( \omega \right) + Q^{2}\left( \omega \right)}$$

$$\varphi\left( \omega \right) = \text{arctg}\frac{Q\left( \omega \right)}{P\left( \omega \right)}$$

G(s)|_s = jω = G(jω)

$$G\left( s \right) = \frac{k}{T_{s} + 1}$$

$$G\left( s \right) = \frac{k}{1 + \text{jωT}}$$

1. CHARAKTERYSTYKA AMPLITUDOWO-FAZOWA (NYGUISTA)

$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{k}{j + \text{jωT}} = \frac{k - jkT\omega}{1 + T^{2}\omega^{2}}$$

2. CHARAKTERYSTYKA LOGARYTMICZNA (BODYEGO)

a) amplitudowa

L_m(ω) = 20log|G(jω)|

b) fazowa

$L_{m}\left( \omega \right) = 20\log\left| G(\text{jω}) \right| = 20\log\left| \frac{k}{1 + \text{jωT}} \right| = 20\log\frac{\left| k \right|}{\left| 1 + \text{jTω} \right|} = 20\log\frac{k}{\sqrt{1 + \omega^{2}T^{2}}} = 20\text{logk} - 20\log\sqrt{1 + \omega^{2}T^{2}}$

$$- 20\log\sqrt{1 + \omega^{2}T^{2}} = \left\{ \begin{matrix} 0;\ \omega \ll \frac{1}{T} \\ - 20\log\left( \text{ωT} \right);\ \omega \gg \frac{1}{T} \\ \end{matrix} \right.\ $$

−20log(ωT) = −20logω − 20logT

$\varphi\left( \omega \right)\text{arctg}\frac{Q(\omega)}{P(\omega)} = \text{arctg}\frac{- \frac{\text{kTω}}{1 + T^{2}\omega^{2}}}{\frac{k}{1 + T^{2}\omega^{2}}} = \text{arctg}\left( - \text{ωT} \right)$

CHARAKTERYSTYKA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA CZŁONÓW ZŁOŻONYCH

G(s) = G₁(s) + G₂(s) + … + G_n(s)

Charakterystyka amplitudowa Body'ego

20log|G(jω)| = 20log|G₁(jω)•G₂(jω)•G₃(jω)•…•G_n(jω)| = 20log|G₁(jω)| • |G₂(jω)| • |G₃(jω)| • … • |G_n(jω)| = 20log|G₁(jω)| + 20log|G₂(jω)| + 20log|G₃(jω)| + … + 20log|G_n(jω)|

Charakterystyka fazowa Body'ego

G(jω) = |G(jω)|e^jφ(ω)

G(jω) = |G₁(jω)|e^jφ₁(ω) + |G₂(jω)|e^jφ₃(ω) + … + |G_n(jω)|e^jφ_n(ω) = |G₁(jω)+G₂(jω)+…+G_n(jω)|e^{j(φ₁(ω) + φ₂(ω) + … + φ_n(ω))} = |G(jω)|e^jφ(ω)

OBIEKTY REGULACJI I REGULATORY

STATYCZNE (bez całkowania)

$$G\left( s \right) = \frac{b_{m}s^{m} + b_{m - 1}s^{m - 1} + \ldots + b_{1}s + b_{0}}{a_{n}s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ldots + a_{1}s + a_{0}}$$

charakterystyka skokowa obiektu inercyjnego o transmitancji np:

1: $G_{1}\left( s \right) = \frac{k}{\text{Ts} + 1}$

2: $G_{2}\left( s \right) = \frac{k}{\left( T_{1}s + 1 \right)(T_{2}s + 1)}$

charakterystyka skokowa obiektu oscylacyjnego

$$G_{3}\left( s \right) = \frac{k}{T_{2}s^{2} + 2\text{ξTs} + 1}$$

Przybliżenie obiektu inercyjnego z opóźnieniem:

T₀ – czas opóźnienia

$$G\left( s \right) = \frac{1}{\text{Ts} + 1}e^{- sT_{0}}$$

Statyczny – sygnał ustala się po zmianie sygnału wejściowego

ASTATYCZNE (z całkowaniem)

$$G\left( s \right) = \frac{1}{s^{p}} \bullet \frac{b_{m}s^{m} + b_{m - 1}s^{m - 1} + \ldots + b_{1}s + b_{0}}{a_{n}s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ldots + a_{1}s + a_{0}}$$

p - rząd astatyzmu
s – operator całkowania w dziedzinie czasu

charakterystyka skokowa obiektów regulacji o transmitancji:

$$G_{1}\left( s \right) = \frac{k}{T_{i}s} = \frac{k}{s}$$

$G_{2}\left( s \right) = \frac{k}{T_{i}s(\text{Ts} + 1)} = \frac{k}{s(\text{Ts} + 1)}$ (inercja z całkowaniem)

Obiekty z całkowaniem przybliżamy z transmitancją obiektu z całkowaniem z opóźnieniem o transmitancji

$$G\left( s \right) = \frac{1}{T_{i}s}e^{- sT_{0}} = \frac{k}{s}e^{- sT_{0}}$$

T₀ – czas opóźnienia

$$\text{tgα} = \frac{1}{T_{i}} = k$$

Astatyczny- wartość sygnału wejściowego rośnie do nieskończoności

REGULATOR PID

Człony regulatora:
P – proporcjonalny
I – całkujący
D – różniczkujący

Regulator typu P

u(t) = k_p • e(t)

e(t)=0 => u(t)=0 brak sygnału sterującego
e(t)!=0 => sygnał sterujący zależny (proporcjonalny) do wielkości zakłócenia

$$u\left( t \right) = \frac{1}{T_{i}}\int_{0}^{t}{e\left( t \right)\text{dt}}$$

sygnał sterujący ze stałą całkowania jest proporcjonalny do całki z błędu

T_i – stała całkowania / czas całkowania

Regulator typu D

$$u\left( t \right) = T_{d}\frac{\text{de}(t)}{\text{dt}}$$

T_d – stała różniczkowania / czas różniczkowania

G_D(s) = T_d • s

$$u\left( t \right) = k_{p}\left\lbrack e\left( t \right) + \frac{1}{T_{i}}\int_{0}^{t}{e\left( t \right)\text{dt}} \right\rbrack$$

$$G_{\text{PI}}\left( s \right) = k_{p}(1 + \frac{1}{T_{i}s})$$

k_p, T_i, T_d – nastawy regulatora

$$u\left( t \right) = k_{p}\left\lbrack e\left( t \right) + T_{d}\frac{\text{de}\left( t \right)}{\text{dt}} \right\rbrack$$

G_PD(s) = k_p(1 + T_ds)

$$u\left( t \right) = k_{p}\left\lbrack e\left( t \right) + \frac{1}{T_{i}}\int_{0}^{t}{e\left( t \right)\text{dt}} + T_{d}\frac{\text{de}\left( t \right)}{\text{dt}} \right\rbrack$$

$$G_{\text{PID}}\left( s \right) = k_{p}(1 + \frac{1}{T_{i}s} + T_{d}s)$$

ALGEBRA SCHEMATÓW BLOKOWYCH

1. POŁĄCZENIE SZEREGOWE

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U(s)} = ?$$

Y₁(s) = U(s)•G₁(s)

Y₂(s) = Y₁(s)•G₂(s)

...

Y_n(s) = Y_n − 1(s) • G_n(s) = Y(s)

Y₂(s) = U(s) • G₁(s) • G₂(s)

Y(s) = Y_n(s) = U(s) • G₁(s) • G₂(s) • … • G_n(s)

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{U\left( s \right)} = G_{1}\left( s \right) \bullet G_{2}\left( s \right) \bullet \ldots \bullet G_{n}\left( s \right)$$

2. POŁĄCZENIE RÓWNOLEGŁE

Y(s) = Y₁(s) + Y₂(s) + … + Y_n(s)

Y(s) = U(s) • G₁(s) + U(s) • G₂(s) + … + U(s)•G_n(s)

Y(s) = U(s) • [G₁(s)+G₂(s)+…+G_n(s)]

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{U\left( s \right)} = G_{1}\left( s \right) + G_{2}\left( s \right) + G_{3}\left( s \right) + \ldots + G_{n}\left( s \right)$$

3. SPRZĘŻENIE ZWROTNE

Y(s) = E(s)•G₁(s)

Y(s) = [U(s)±G₂(s)•Y(s)] • G₂(s)

Y(s) = U(s)G₁(s) ± G₁(s)G₂(s)Y(s)

Y(s) ∓ G₁(s)G₂(s)Y(s) = U(s)G₁(s)

Y(s)[1∓G₁(s)G₂(s)] = U(s)G₁(s)

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{G_{1}(s)}{1 \mp G_{1}\left( s \right)G_{2}(s)}$$

OPIS MATEMATYCZNY UKŁADÓW AUTOMATYCZNEJ REGULACJI

y(t) – sygnał regulowany (wyjściowy)
y₀(t) – wartość zadana (sygnał wejściowy)
e(t) – błąd regulacji; e(t)=y₀(t)-y_s(t); y_s(t)=y(t)
u(t) – sygnał sterujący d(t) – zakłócenie
y_s(t) – wartość mierzona sygnały wyjściowego

Y(s) = E(s) • G_r(s) • G₀(s) + D(s)G_d(s)

E(s) = Y₀(s) − Y(s)•G_s(s)

Y(s) = [Y₀(s)−Y(s)•G_s(s)]G_r(s) • G₀(s) + D(s)G_d(s)

Y(s) = Y₀(s) • G_r(s) • G₀(s) −  Y(s) • G_r(s) • G₀(s) • G_s(s) + D(s)G_d(s)

Y(s)[1+G_r(s)•G₀(s)•G_s(s)] = Y₀(s) • G_r(s) • G₀(s) + D(s)G_d(s)

$Y\left( s \right) = \frac{G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0}\left( s \right)}{1 - G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0}\left( s \right) \bullet G_{s}\left( s \right)}Y_{0}\left( s \right) + \frac{G_{d}(s)}{1 + G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0}(s) \bullet G_{s}\left( s \right)}D\left( s \right)$ - ogólne równanie UAR

dla D(s)=0: $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{Y_{0}(s)} = \frac{G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0}\left( s \right)}{1 - G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0}\left( s \right) \bullet G_{s}\left( s \right)}$

E(s) = Y₀(s) − Y(s) • G_s(s) = Y₀(s) − [E(s)•G_r(s)•G₀+D(s)•G_d(s)]G_s(s)

E(s) = Y₀(s) −  E(s) • G_r(s) • G₀ • G_s(s) −  D(s) • G_d(s) • G_s(s)

E(s)[1+G_r(s)•G₀•G_s(s)] = Y₀(s) − G_s(s) • G_d(s) • D(s)

$E\left( s \right) = \frac{1}{1 + G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0} \bullet G_{s}\left( s \right)} \bullet Y_{0}\left( s \right) - \frac{G_{s}\left( s \right) \bullet G_{d}\left( s \right)}{1 + G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0} \bullet G_{s}\left( s \right)} \bullet D\left( s \right)$

$$D\left( s \right) = 0 = > \ G_{e}\left( s \right) = \frac{E\left( s \right)}{Y_{0}\left( s \right)} = \frac{1}{1 + G_{r}\left( s \right) \bullet G_{0} \bullet G_{s}\left( s \right)}$$

STABILNOŚĆ UKŁADÓW AUTOMATYCZNEJ REGULACJI

1. Jeżeli w odpowiedzi na impuls o skończonej amplitudzie i skończonym czasie trwania (sygnał) układ powraca do poprzedniego stanu ustalonego to układ jest nazywany stabilnym asymptotycznie.

2. Jeżeli po wymuszeniu impulsem o skończonej amplitudzie i skończonym czasie trwania układ dąży do nowego stanu ustalonego to jest to układ stabilny.

3. Jeżeli w odpowiedzi na impuls o skończonej amplitudzie i skończonym czasie trwania układ (sygnał) nie dąży do wartości stanu ustalonego to jest to układ niestabilny.

Ogólne kryterium stabilności:

Liniowy układ automatycznej regulacji jest stabilny asymptotycznie jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego M(s)=0 lężą w lewej półpłaszczyźnie zespolonej z wyłączeniem osi urojonej.

$$G\left( s \right) = \frac{b_{m}s^{m} + b_{m - 1}s^{m - 1} + \ldots + b_{1}s + b_{0}}{a_{n}s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ldots + a_{1}s + a_{0}} = \frac{L\left( s \right)}{M\left( s \right)}$$

Kryterium Hurvitza – metoda zastępcza określania stabilności

1. $\bigwedge_{iN}^{}{a_{i} > 0}$

2. wartość wszystkich podwyznaczników
Δ _n-1, Δ_n-2, ... , Δ₁ >0 i Δ_n= Δ_H>0
Przykład

M(s) = a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀

1. a₃, a₂, a₁, a₀ >0

2. $H = \left| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} & 0 \\ a_{0} & a_{1} & a_{2} \\ 0 & 0 & a_{0} \\ \end{matrix} \right| > 0$

$$_{2} = \left| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ a_{0} & a_{1} \\ \end{matrix} \right| = a_{2}a_{1} - a_{0}a_{3}$$

H=₂ • a₀

Kryterium Nyguista

Jeżeli układ otwarty jest stabilny to będzie on również stabilny po jego zamknięciu jeżeli charak. amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu (-1, j₀)

Zapas stabilności

1. Zapas amplitudy (modułu) ΔL – jest to krotność o jaką musiałoby wzrosnąć wzmocnienie przy niezmiennym argumencie (przesunięciu fazowym) układu otwartego, aby układ zamknięty znalazł się na granicy stabilności.

2. Zapas fazy Δϕ – jest to wartość zmiany argumentu ϕ układu otwartego przy niezmiennym wzmocnieniu, która doprowadziłaby układ zamknięty do granicy stabilności.

Ocena jakości regulacji

1. stabilność układu

2. dokładność statyczna

3. dokładność dynamiczna

Kryterium całkowe

1. I₁ = ∫₀^te(t)dt

2. I₂ = IAE = ∫₀^t|e(t)|dt

3. I₃ = ISA = ∫₀^te²(t)dt