Podstawy automatyki

Sprawozdanie z Laboratorium nr 2

Ćwiczenie polegało na utworzeniu modeli silnika elektrycznego w postaci: równań różniczkowych, równań stanu i wyjścia, schematu blokowego i transmitancji operatorowej,

-wyznaczenie odpowiedzi skokowej silnika w Matlabie/Simulinku,

-wyznaczenie odpowiedzi silnika na sygnały prostokątne w Matlabie/Simulinku.

1. Rozwiązanie ćwiczeń:

6.5).

$$\left\{ \begin{matrix} \mathrm{L}\mathrm{w}\frac{\mathrm{\text{di}}\mathrm{w}}{\mathrm{\text{dt}}}\mathrm{+ \ R}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{\text{w\ }}\mathrm{= \ U}\mathrm{z}\mathrm{\ - \ k}\mathrm{e}\mathrm{\omega}\mathrm{s} \\ \mathrm{J}\frac{\mathrm{\text{dω}}\mathrm{s}}{\mathrm{\text{dt}}}\mathrm{+ \ B\omega}\mathrm{\text{s\ \ }}\mathrm{= \ k}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{\text{w\ }}\mathrm{- \ M}\mathrm{\text{obc}} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Dokonane podstawienia:

x1 = i_w

x2 = 𝜔_s

u1 = U_z

u2 = M_obc

y = 𝜔_s

6.6)

$\left\{ \begin{matrix} \mathrm{L}\mathrm{w}\dot{x1} + \ \mathrm{R}\mathrm{w}\mathrm{x}\mathrm{1} = \mathrm{u}\mathrm{1} - \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{\omega}\mathrm{s} \\ J\dot{x2} + \ B\mathrm{x}\mathrm{2} = \mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{w} - \mathrm{u}\mathrm{2} \\ \mathrm{y}\mathrm{1 =}\mathrm{x}\mathrm{1} \\ \mathrm{y}\mathrm{2 =}\mathrm{x}\mathrm{2} \\ \end{matrix} \right.\ $

6.7).

$\begin{bmatrix} \dot{\mathrm{x}\mathrm{1}} \\ \dot{\mathrm{x}\mathrm{1}} \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} \frac{- \mathrm{R}\mathrm{w}}{\mathrm{L}\mathrm{w}} & \frac{- \mathrm{k}\mathrm{e}}{\mathrm{L}\mathrm{w}} \\ \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{J} & \frac{- B}{J} \\ \end{bmatrix}$ ∙ $\begin{bmatrix} \mathrm{x}\mathrm{1} \\ \mathrm{x}\mathrm{2} \\ \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} \frac{1}{\mathrm{L}\mathrm{w}} & 0 \\ 0 & \frac{- 1}{\mathrm{L}\mathrm{w}} \\ \end{bmatrix}$ ∙ $\begin{bmatrix} \mathrm{u}\mathrm{1} \\ \mathrm{u}\mathrm{2} \\ \end{bmatrix}$

Przekształcenie Laplace’a do równania 6.5:

$$\left\{ \begin{matrix} \mathrm{L}\mathrm{w}\mathrm{\ (sI}\mathrm{w}\mathrm{(s)\ - \ I}\mathrm{w}(0)) + \mathrm{R}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{w}\mathrm{(s)\ = \ U}\mathrm{z}\mathrm{(s)\ - \ k}\mathrm{e}\mathrm{\mathrm{\Omega}}\mathrm{s}\mathrm{(s)\ }\ \\ J(s\mathrm{\mathrm{\Omega}}\mathrm{s}\mathrm{(s)\ - \ \mathrm{\Omega}}\mathrm{s}\mathrm{(0))\ + \ B\mathrm{\Omega}}\mathrm{s}\mathrm{(s)\ = \ k}\mathrm{m}\mathrm{I}\mathrm{w}\mathrm{(s)\ - \ M}\mathrm{\text{obc}}\mathrm{(s)} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Przekształcenie przy założeniu zerowych warunków początkowych:

$$\left\{ \begin{matrix} \mathrm{I}\mathrm{w}\mathrm{(s)\ = \ }\frac{\mathrm{U}\mathrm{z}\mathrm{(s)\ - \ k}\mathrm{e}\mathrm{\mathrm{\Omega}}\mathrm{s}\mathrm{(s)}}{\mathrm{L}\mathrm{w}\mathrm{s\ + \ R}\mathrm{w}} \\ \mathrm{\mathrm{\Omega}}\mathrm{s}\mathrm{(s)\ = \ }\frac{\mathrm{k}\mathrm{m}\mathrm{I}\mathrm{w}\mathrm{(s)\ - \ M}\mathrm{\text{obc}}\mathrm{(s)}}{Js + B} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Uzupełniony schemat blokowy:

Schemat po uproszczeniu:

Wyznaczenie odpowiedzi skokowej silnika w Matlabie/Simulinku

Przyjęte parametry silnika:

R_w = 2 [Ω]

L_w = 0.1 [H]

k_e = 0.1 $\lbrack\frac{\text{Vs}}{\text{rad}}\rbrack$

J = 0.1$\lbrack\frac{kg*m\mathrm{2}}{s\mathrm{2}}$]

B = 0.5 $\lbrack\frac{\text{Nms}}{\text{rad}}$]

k_m = 0.1$\lbrack\frac{\text{Nm}}{A}$]

Program napisany w Matlab:

Rw = 2; Lw = 0.1; ke = 0.1;

J = 0.1; B = 0.5; km = 0.1;

licz = km;

mian = [J*Lw Rw*J + B*Lw Rw*B + km*ke];

system = tf(licz,mian);

t = 0:0.02:1.4;

odp = step(system,t);

plot(t,odp,'r'); grid

xlabel('czas (s)'),ylabel('predkosc katowa ws (rad/s)')

title('Odpowiedz skokowa silnika pradu stałego')

Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku:

Wyznaczenie odpowiedzi na sygnały prostokątne silnika w Simulinku

Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku:

Na wykresach otrzymujemy przebiegi:

napięcia zasilającego wirnik (U_z), prądu płynącego przez wirnik (i_w), momentu obciążenia silnika (M_obc) oraz prędkości kątowej wirnika (ω_s) w funkcji czasu.

Wyznaczenie odpowiedzi silnika na sygnały prostokątne w Matlabie (metodą równań stanu we/wy)

Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku:

na wykresach, otrzymujemy przebiegi:

napięcia zasilającego wirnik (U_z) oraz prędkości kątowej wirnika (ω_s) w funkcji czasu

Wnioski:

Za pomocą programu Matlab/Simulink wyznaczyliśmy odpowiedź skokową silnika. Model silnika mogliśmy zapisać za pomocą równań stanu jak i transmitancją operatorową. Niezależnie od sposobu zapisu, wyniki otrzymywaliśmy równoważne. Zadanie momentu obciążającego powoduje spadek prędkości obrotowej i wzrost natężenia pobieranego prądu.