Moment siły, moment pędu i związek między nimi

MOMENT SIŁY

Wektor będacy iloczynem wektorowym wektora wodzącego poprowadzonego od osi obrotu do miejsca gdzie przyłożony jest wektor siły i wektora siły.

$\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r}$x$\overrightarrow{F}$

M = rFsinα

Przypadki szczególne:

1. α=0 $\overrightarrow{r}\ $|| $\overrightarrow{F}$ M=0

2.$\alpha = \frac{\pi}{2}$ $\overrightarrow{r}$ prost.$\ \overrightarrow{F}$ M=rF

MOMENT PĘDU

Wektor zdefiniowany jako iloczyn wektorowy wektora pędzącego i wektora pędu

$\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r}$x$\overrightarrow{p}$

Przypadki szczególne:

1. α=0 $\overrightarrow{r}\ $|| $\overrightarrow{p}$ L=0

2.$\alpha = \frac{\pi}{2}$ $\overrightarrow{r}$ prost.$\ \overrightarrow{p}$ L=vp=mvr

ZWIĄZEK MIĘDZY M a L

$\overrightarrow{M} = \frac{d\overrightarrow{L}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}(\overrightarrow{r}$x$\overrightarrow{p}) = \frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}x\overrightarrow{p} + rx\frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}} = \overrightarrow{v}x\overrightarrow{p} + \overrightarrow{r}x\overrightarrow{F}$

Zasada Zachowania Pędu

Rozwazmy odosobniony układ n ciał o masach m₁, m₂,…m_n i pędach p. Układ odosobniony to taki, na który nie działają siły zewnętrzne. Wewnątrz tego układu działają siły wewnętrzne. Zmiana pedu każdego z ciał w tym układzie będzie wywołana suma wektorową wszystkich sił działających na ciało.

$$\sum_{i = 1}^{n}\frac{d\overrightarrow{p_{0}}}{\text{dt}} = \sum_{\text{ij}}^{n}\overrightarrow{F_{\text{ij}}}$$

$\sum_{i = 1}^{n}{\frac{d\overrightarrow{p_{1}}}{\text{dt}} = 0}$ ; $\frac{d}{\text{dt}}\sum_{i = 1}^{n}\overrightarrow{p_{i}} = 0$

$\sum_{i = 1}^{n}\overrightarrow{p_{i}} = \overrightarrow{p_{c}}$; $\frac{d}{\text{dt}}\left( p_{c} \right) = 0 = > \ p_{c} = \sum_{i = 1}^{n}{}\text{\ \ \ \ \ \ \ }p_{1} = const.$

Zależność przyspieszenia ziemskiego od szerokości geograficznej

$$mg_{x} = F_{\text{gx}} - F_{\text{od}} = F_{g}cos\varphi - m\omega^{2}r^{2} = G\frac{\text{Mm}}{R^{2}}cos\varphi - m\omega^{2}\text{Rcosφ}$$

$$mg_{y} = F_{\text{gy}} = \frac{\text{Mm}}{R^{2}}\text{sinφ}$$

$$mg = \sqrt{({mg_{x})}^{2} + ({mg_{y})}^{2}}\ = > g(\varphi)$$

$$g\left( \varphi \right) = \sqrt{({g_{x}}^{2} + {g_{y}}^{2}}$$

$$g_{y} = G\frac{M}{R^{2}}\text{sinφ}$$

$$g_{x} = G\frac{M}{R^{2}}cos\varphi - \omega^{2}\text{Rcosφ}$$

Siła Coriolisa na Ziemi

$\overrightarrow{F_{c}} = 2m(\overrightarrow{v}\text{\ x\ }\overrightarrow{\omega}$)

SKŁADOWA NORMALNA

$\overrightarrow{F_{\text{CN}}} = 2m(\overrightarrow{v}\text{\ x\ }\overrightarrow{\omega_{\text{CN}}}$)

ω_N = ωsinφ

Składowa normalna ma wpływ na ciała poruszające się po powierzchni Ziemi. Odchyla ciała na półkuli północnej na wschód, a na półkuli południowej -na zachód.

SKŁADOWA STYCZNA

$\overrightarrow{F_{\text{Cτ}}} = 2m(\overrightarrow{v}\text{\ x\ }\overrightarrow{\omega_{\text{Cτ}}}$)

ω_τ = ωcosφ

Składowa styczna powoduje odchylenie ciał spadających na Ziemię. Na półkuli północnej odchyla ciała na wschód, a na południowej- na zachód.

Inercjalne układy odniesienia

Układ, w którym spełnione są Zasady Dynamiki Newtona nazywa się układem inercjalnym. Jest nim każdy układ pozostający w spoczynku. Okazuje się, że również ukł. Odniesienia przemieszczający się ze stałą prędkością względem układu podstawowego, inercjalnego, jest także inercjalny. Układ równań pozwalający dokonać transformacji współrzędnych OXYZ do O’X’Y’Z’ nosi nazwę transformacji Galileusza.

$$\frac{d^{2}x^{'}}{dt^{2}} = \frac{d^{2}}{dt^{2}}\left( x - ut \right) = \frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\text{dx}}{\text{dt}} - u \right) = \frac{d^{2}x}{\text{dt}}$$

Nieinercjalne układy odniesienia

Układy odniesienia w których II ZDN nie stosuje się bezpośrednio, nosza nazwę nieinercjalnych. W układach tych pojawia się dodatkowa siła zwana siłą bezwładności.

RUCH POSTĘPOWY

$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{r_{0}} + \overrightarrow{r'}$; $\frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}} = \ \frac{d\overrightarrow{r_{0}}}{\text{dt}} + \frac{d\overrightarrow{r'}}{\text{dt}}$

$$v\left( t \right) = \overrightarrow{u}\left( t \right) + \overrightarrow{v}\left( t \right)$$

$$\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = \frac{d\overrightarrow{u}}{\text{dt}} + \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}}$$

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a_{0}} + \overrightarrow{a'}$; $m\overrightarrow{a} = m\overrightarrow{a_{0}} + m\overrightarrow{a'}$

$$m\overrightarrow{a'} = - \ m\overrightarrow{a_{0}} + m\overrightarrow{a}$$

$$m\overrightarrow{a'} = \overrightarrow{F} + \overrightarrow{F_{0}}$$

RUCH OBROTOWY

$$\overrightarrow{F'} = \overrightarrow{F} + \overrightarrow{F_{\text{od}}} + \overrightarrow{F_{c}}$$

$\overrightarrow{F_{\text{od}}} = m\omega^{2}\overrightarrow{r}$ - odśrodkowa

$\overrightarrow{F_{c}} = 2m(\overrightarrow{v^{'}}x\ \overrightarrow{\omega}$) – coriolisa

$$g\left( \varphi \right) = \sqrt{(G{\frac{M}{R^{2}}cos\varphi - \omega^{2}Rcos\varphi)}^{2} + {(G\frac{M}{R^{2}}sin\varphi)}^{2}}$$

Zasada Zachowania Pędu

Rozwazmy odosobniony układ n ciał o masach m₁, m₂,…m_n i pędach p. Układ odosobniony to taki, na który nie działają siły zewnętrzne. Wewnątrz tego układu działają siły wewnętrzne. Zmiana pedu każdego z ciał w tym układzie będzie wywołana suma wektorową wszystkich sił działających na ciało.

$$\sum_{i = 1}^{n}\frac{d\overrightarrow{p_{0}}}{\text{dt}} = \sum_{\text{ij}}^{n}\overrightarrow{F_{\text{ij}}}$$

$\sum_{i = 1}^{n}{\frac{d\overrightarrow{p_{1}}}{\text{dt}} = 0}$ ; $\frac{d}{\text{dt}}\sum_{i = 1}^{n}\overrightarrow{p_{i}} = 0$

$\sum_{i = 1}^{n}\overrightarrow{p_{i}} = \overrightarrow{p_{c}}$; $\frac{d}{\text{dt}}\left( p_{c} \right) = 0 = > \ p_{c} = \sum_{i = 1}^{n}{}\text{\ \ \ \ \ \ \ }p_{1} = const.$

Prędkość liniowa

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{=}\frac{d\overrightarrow{r}}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{i}x + \overrightarrow{j}y \right) = \overrightarrow{i}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \overrightarrow{j}\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = \overrightarrow{i}v_{x} + \overrightarrow{j}v_{y}$$

$\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = v_{x}$ $\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = v_{y}$

$$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$$

$$v_{x} = \frac{d}{\text{dt}}\left( v_{0}t \right) = v_{0}$$

$$v_{y} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{gt^{2}}{2} \right) = gt$$

$$v(t) = \sqrt{v_{0}^{2} + g^{2}t^{2}}$$

Prędkość kątowa

$$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{\omega}\text{\ x\ }\overrightarrow{r}$$

$$\omega = \frac{\varphi}{t}$$

Przyspieszenie liniowe

$$\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \overrightarrow{i}v_{x} + \overrightarrow{j}v_{y} \right) = \overrightarrow{i}\frac{dv_{x}}{\text{dt}} + \overrightarrow{j}\frac{dv_{y}}{\text{dt}} = \overrightarrow{i}a_{x} + \overrightarrow{j}a_{y}$$

$\frac{dv_{x}}{\text{dt}} = a_{x}$ $\frac{dv_{y}}{\text{dt}} = a_{y}$

$$a_{x} = \frac{d}{\text{dt}}\left( v_{0} \right) = 0$$

$$a_{y} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \text{gt} \right) = g$$

$a = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}}$=g

Przyspieszenie kątowe

$$\overrightarrow{\varepsilon} = \frac{d\overrightarrow{\omega}}{\text{dt}}$$

Droga w ruchu płaskim

Długość drogi s jest sumą wszystkich odcinków toru ∆s_i przebytych przez ciało w poszczególnych przedziałach czasu ∆t_i

$$s = \sum_{}^{}{s_{i}} = \int_{A}^{B}\text{ds} = \int_{A}^{B}\sqrt{{(\frac{\text{dx}}{\text{dt}})}^{2} + {(\frac{\text{dy}}{\text{dt}})}^{2}} = \int_{\text{tA}}^{\text{tB}}\sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}\text{dt}\int_{\text{tA}}^{\text{tB}}\text{v\ dt}$$

$$s = \int_{}^{}{v_{0}t\ dt = \ \int_{}^{}(}v_{0} + at)dt = \int_{}^{}{v_{0}\ dt + \int_{}^{}\text{at\ dt}} = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}$$

Przyspieszenie styczne i normalne w ruchu płaskim

$$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a_{r}} + \overrightarrow{a_{n}}$$

$$\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \frac{d}{\text{dt}}\left( \tau*v \right) = \frac{d\overrightarrow{\tau}}{\text{dt}}*v + \overrightarrow{\tau}\frac{\text{dv}}{\text{dt}}$$

$$\frac{d\overrightarrow{\tau}}{\text{dt}} = \overrightarrow{n}\frac{v}{f};\ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{n}\frac{v^{2}}{f} + \overrightarrow{\tau}\frac{\text{dv}}{\text{dt}}$$

$a_{n} = \frac{v^{2}}{f}$ ; $a_{\tau} = \frac{\text{dv}}{\text{dt}};\ \ \ \ a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{r}^{2}}$

I zasada dynamiki Newtona

Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub wypadkowa sił jest równa 0 to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym.

$$\overrightarrow{F} = m*\overrightarrow{a} = 0;\overrightarrow{a} = 0;\ \ \overrightarrow{v} = const.$$

II Zasada dynamiki Newtona

$$\overrightarrow{F} = m*\overrightarrow{a};\ \overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m}$$

Aby zmienić pęd ciała należy działać na nie innym ciałem, miarą oddziaływania jest siła. Siła jest przyczyną zmiany ruchu ciała lub jego deformacji. Układ odniesienia, w którym obowiazuje IIZDN nosi nazwę inercjalnego.

$$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{i}F_{x} + \overrightarrow{j}F_{y} = m(\overrightarrow{i}\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \overrightarrow{j}\frac{d^{2}y}{dt^{2}})$$

POPĘD SIŁY $\overrightarrow{F}t = p;\ \ \overrightarrow{F} = \frac{d\overrightarrow{p}}{\text{dt}}$

III Zasada dynamiki Newtona

Jeśli na ciało A działa na ciało B pewną siłą F, to ciało B działa na ciało A siłą F o tej samej wartości i kierunku lecz o przeciwnym zwrocie

mg = Ma

$$\overrightarrow{F_{\text{AB}}} = - \overrightarrow{F_{\text{BA}}}$$

F_AB=F_BA

I zasada Termodynamiki

Ciepło dostarczone do gazu znajdującego się pod tłokiem jest zużywane na wzrost energii wewnętrznej związane ze wzrostem temp. oraz na pracę jaką wykonuje gaz na ciałach zewn. przesuwając tłok i zwiększając objętość. Q = U + W

Zastosowanie – przemiany gazowe

a)przemiana izotermiczna, T=const ; U = 0 ;  Q = W ;  dW=pdV ; pV=nRT ; P=$\frac{\text{nRT}}{V}$ ; dW=$\frac{\text{nRTdV}}{V}$ ; W$\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{\text{nRTdV}}{V}$=nRT$\int_{V_{1}}^{V_{2}}\frac{\text{dV}}{V} =$nRT(lnV₁-lnV₂)=nRT ln $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ ,

b)przemiana izobaryczna, p=const ; Q = U + W ; Q = U + pV ; pV₁=$\frac{m}{\mu}$RT₁ ; pV₂=$\frac{m}{\mu}$RT₂ ; pV₁- pV₂= $\frac{m}{\mu}$RT₁-$\ \frac{m}{\mu}$RT₂ ; pV=$\frac{m}{\mu}$RT ; Q = mC_pT ; $C_{p} = \frac{Q}{mT}$ ; mC_pT=$\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}RT + \frac{m}{\mu}RT$ ; $C_{p} = (\frac{i}{2} + 1)\frac{R}{\mu}$(ciepło właściwe) ; C_p = C_pμ ; $C_{p} = (\frac{i}{2} + 1)R$ (ciepło molowe wł.)

c)przemiana izochoryczna V=const, W=0 ; Q = V ; Q = mC_pT ; $C_{V} = \ \frac{Q}{mT}$ [$\frac{J}{kg*T}$] ; $mC_{V}T = \frac{i}{2}\frac{m}{\mu}\ RT$ ; $C_{V} = \frac{i}{2}\frac{R}{\mu}$ (właściwe) ; $C_{V} = \frac{i}{2}\text{R\ }$(molowe) ; $C_{p} = C_{V} + \frac{R}{\mu}$ ; C_p = C_V + R,

d)przemiana adiabatyczna (równanie adiabaty) Q = 0 (bez wymiany ciepła praca kosztem zmniejszenia energii wewn.);dW=-dU ; dla jednego k mola gazu : pdV=C_VdT ; pdV+C_VdT=0 ; p=$\frac{\text{RT}}{V}$ ; $\frac{\text{RT}}{V}$dV+C_VdT=0 /:T ; R$\int_{}^{}\frac{\text{dV}}{V} +$ $C_{V}\int_{}^{}\frac{\text{dT}}{V}$=0 ; RlnV+C_VlnT=const, ale R=C_p- C_V ;

(C_p- C_V)lnV+ C_VlnT=const ; V^{C_p −  C_V}T ^C_V = const ;   $V^{\frac{C_{p} - \text{\ C}_{V}\ }{\text{\ C}_{V}}}$T =const ; V^{ℵ − 1}T = const,  ale T= $\frac{\text{pV}}{R}$ ; PV^ℵ = const ;obliczamy pracę w przemianie adiabatycznej: W=−C_VdT= − C_V(T₂-T₁), dla masy m: W= − $\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}$R(T₂-T₁),

e)przemiana politropowa (równanie politropy) – to przemiana przy której ciepło właściwe przyjmuje dowolnie wybraną stałą wartość C: dQ=dU+pdV ; dQ=CdT ; dla jednego k mola gazu : dU= C_VdT ; CdT=pdV+ C_VdT ; przeprowadzając obliczenia analogicznie jak w adiabacie otrzymujemy ale T= $\frac{\text{pV}}{R}$ ; $V^{\frac{C_{p} - \text{\ C}_{V}\ }{\text{\ C}_{V} - C}}$+1T=const ; $\frac{C_{p} - \text{\ C}_{V} + \text{\ C}_{V} - \ C}{\text{\ C}_{V} - C}$= $\frac{C_{p} - \ C}{\text{\ C}_{V} - C}$=n ; pVⁿ=const

II zasada Termodynamiki

Niemożliwe jest zbudowanie silnika perpetuum mobile drugiego rodzaju co oznacza: niemożliwy jest proces którego jedynym rezultatem jest zamiana ciepła otrzymanego ze źródła ciepła na równoważną mu pracę. Niemożliwy jest proces którego jedynym rezultatem jest przekazywanie energii w postaci ciepła od ciała zimniejszego do ciała cieplejszego. $\eta = \frac{W}{Q_{1}}$ ; W=Q₁ −  Q₂ ; η =$\frac{Q_{1} - \ Q_{2}}{Q_{1}}$ ; η- sprawność silnika, Q₁- całkowite ciepło pobrane ze źródła ciepła , Q₂- ciepło oddane.

Cykl Carnota

Rozpatrzmy uproszczony silnik na cyklu zamkniętym zwanym cyklem Carnota. Składa się on z dwóch izoterm i dwóch adiabat, jest odwracalny, może działać w obie strony, tzn. pobierać ciepło z chłodnicy i pracę dostarczoną z zewnątrz i oddać ciepło grzejników.

1→2 – rozprężanie izotermiczne T₁=const , V₁=V₂ (rośnie), obliczamy pracę: W₁=$\int_{V_{1}}^{V_{2}}\text{pdV} = \ \int_{V_{1}}^{V_{2}}{\text{nR}T_{1}\frac{\text{dV}}{V}}$= nRT₁ln$\frac{V_{2}}{V_{1}}$=Q₁

2→3 rozprężanie adiabatyczne T₁→T₂ , V₃ > V₂ ; W₂=-dU=nC_V(T₁-T₂), ciepło pobrane =0,

3→4 sprężanie izotermiczne T₂=const , V₃→V₄; W₃=∫_V3^V₄pdV=$\int_{V_{3}}^{V_{4}}{\text{nR}T_{2}\frac{\text{dV}}{V}}$= nRT₂ln$\frac{V_{4}}{V_{3}}$=-Q₂ 4→1 sprężanie adiabatyczne T₂-T_1, V₄→V₁ ; W₄ =-dU= nC_V (T₂-T₁) ciepło oddane = 0 ;

𝜂=$\frac{Q_{1} - \ Q_{2}}{Q_{1}}$=$\frac{W}{Q_{1}}$=$\frac{W_{1} + W_{2} + W_{3} + W_{4}}{Q_{1}}$ ; 𝜂=$\frac{\text{nR}T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}} + \text{nR}T_{2}\ln\frac{V_{4}}{V_{3}}}{\text{nR}T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}}$= $\frac{\text{nR}(T1 - T2)ln\frac{V_{2}}{V_{1}}}{\text{nR}T_{1}\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}}$= $\frac{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\mathbf{T}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{T}_{\mathbf{1}}}$ Wzór na sprawność cyklu Carnota mówi nam że ta sprawność zależy od skrajnych temperatur cyklu. Nie zależy od ciała znajdującego się pod tłokiem.

Chłodziarka -> odwrotny cykl Carnota : Q₁=Q₂+W ; 𝜂=$\frac{Q_{1} - \ Q_{2}}{Q_{1}}$=$\frac{\ Q_{2 + W -}Q_{2}}{Q_{2} + W}$=$\frac{W}{Q_{2} + W}$

Drgania tłumione

W rzeczywistych ruchach drgających zawsze pojawiają się opory ruchu prowadzącego do strat energii. W równaniu drgań pojawia się dodatkowa się siła je reprezentująca, proporcjonalna do prędkości drgań. Drgania tłumione odbywają się z nową pulsacją ; F_s=-kx ; F_o = −rV (współczynnik oporu) ; F_s+F_o=ma ; ma+rv+kx=0 ; m$\ddot{x} + r\dot{x} + kx = 0$/:m ; $\ddot{x}$+ $\frac{r}{m}\dot{x}$ + $\frac{k}{m}x$=0 ; $\frac{r}{m} = 2\beta$(współ. tłumienia) ; $\frac{k}{m} = \omega_{0}^{2}$ (pulsacja drgań własnych) ; równanie drgań: $\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_{0}^{2}x = 0$ ; x=x₀e^−βtsin(ωt + φ) ; rozwiązaniem równania drgań tłumionych jest równanie w którym amplituda maleje z czasem jak : A=A₀e^−βt , a drgania odbywają się z nową pulsacją która jest równa $\omega = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$ ; x= A₀e^−βt sin(ωt + φ)

Drgania wymuszone

Pkt materialny pod wpływem siły sprężystości wykonuje drgania z częstością własną. Gdy pojawiają się opory ruchu częstość ulega zmianie. Można wymusić drgania tego pktu z dowolną inną częstością, jeżeli dodatkowo zadziała siła zewn. zmieniającego się okresowo o nowej częstości : F_w = F_ocosΩ t ; F_s = −kx ;  F_o = −rv ; F_w + F_s + F_o = ma ; ma+rv+kx=F_ocosΩ t ; m$\ddot{x} + r\dot{x} + kx$=F_ocosΩ t/:m ; $\ddot{x}$+ $\frac{r}{m}\dot{x}$ + $\frac{k}{m}x$=$\frac{F_{o}}{m}\text{\ cosΩ}$ t ; $\frac{r}{m} = 2\beta$ ; $\frac{k}{m} = \omega_{0}^{2}\ $; $\ddot{x} + 2\beta\dot{x} + \omega_{0}^{2}x$ = $\frac{F_{o}}{m}\text{\ cosΩ}$ t (równanie drgań wymuszonej w wersji uproszczonej ). To równanie różniczkowe ma stabilne rozwiązanie o pulsacji drgań siły wymuszającej, posiada nową amplitudę wynikającą. x=Acos(Ωt − φ)

Rezonans mechaniczny

Wyst. W drganiach wymuszonych, z tego powodu że amplituda drgań wymuszonych zależy od pulsacji siły wymuszającej. W przypadku drgań wymuszonych amplituda tych drgań wyraża się wzorem : A= $\frac{F_{o}}{m\sqrt{{(\omega_{0}^{2} - \Omega^{2})}^{2} + 4\beta^{2}\Omega^{2}}}$ Amplituda zmienia się wraz z pulsacją siły wymuszającej i rośnie gwałtownie w pobliżu pulsacji drgań własnych – ten gwałtowny wzrost amplitudy to rezonans mechaniczny.

Drgania harmoniczne proste

w drganiach nie występują opory ruchu, nie ma strat energetycznych, amplituda drgań jest stała, niezmienna w czasie, stały jest również okres tych drgań ; stały okres, stała ampl.-oscylator harmoniczny ; przykłady :wahadło mat. dla małych wychyleń, masa zawieszona na sprężynie,(drgania elektryczne)elektryczny obwód ; drgania oscylatora harmonicznego odbywają się pod wpływem siły harmonicznej wprost proporcjonalnej do wychylenia: -F=-kx ; F  ∼  x ; ma=-kx ; a=$\frac{d^{2}x}{d^{2}t}$ ; m$\ddot{x}$=-kx ; m$\ddot{x}$+kx=0 ; $\ddot{x}$+$\frac{k}{m}$x=0 (równanie różniczkowe drgań harmonicznych prostych, jednorodne, rzędu II) ; $\ddot{x}$+$\omega_{0}^{2} = 0\ ;\ \omega_{0}^{2} = \frac{k}{m}$ ; x(t)=x₀sin((ω₀t + φ) ; x(t) – chwilowa wartość WYCHYLENIA z położenia równowagi, x₀- max. Wartość wychylenia z położenia równowagi(amplituda), ω₀- częstość kołowa drgań (pulsacja drgań ω₀=$\frac{2\pi}{T_{0}} = 2\pi v_{0}$), φ- faza początkowa drgań t=0 x=x₀sin φ ; PRĘDKOŚĆ DRGAŃ: v=$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$=$\dot{x} = x_{0}\omega_{0}$cos(ω₀t + φ) ; x₀ω₀ = v_max − v₀ (amplituda prędkości) , PRZYSPIESZENIE DRGAŃ : a=$\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = \ddot{x} = {- x}_{0}\omega_{0}^{2}sin(\omega_{0}t + \varphi)$ ; x₀ω₀²=a_max = a₀ (amplituda przysp.) ; a=$\frac{\text{dv}}{\text{dt}}$=$\ddot{x}$=-ω₀²x ; a+ω₀²x=0;

Energia drgań harmonicznych prostych

Energia całkowita jest sumą en. kinetycznej i potencjalnej ; E_k=$\frac{1}{2}mv^{2} = \frac{1}{2}m\lbrack{x_{0}\omega_{0}\cos(\omega_{0}t + \varphi)\ \rbrack}^{2}$ = $\frac{1}{2}mx_{0}^{2}\omega_{0}^{2}\cos^{2}(\omega_{0}t + \varphi)$= E_k(t) ; $E_{p} = \ \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}\lbrack{x_{o}\sin(\omega_{0}t + \varphi)\rbrack\ }^{2} = \frac{1}{2}m{x_{0}^{2}\omega}_{0}^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t + \varphi)$= E_p(t) ; E_c = E_k + E_p = $\frac{1}{2}mx_{0}^{2}\omega_{0}^{2}\cos^{2}(\omega_{0}t + \varphi)$ + $\frac{1}{2}m{x_{0}^{2}\omega}_{0}^{2}\sin^{2}(\omega_{0}t + \varphi)$= $\frac{1}{2}mx_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$[cos²(ω₀t + φ)+ sin²(ω₀t + φ)]= $\frac{1}{2}mx_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$=const

Moment bezwładności z przykładem obliczeniowym – suma po wszystkich elementach bryły z wybranego elementu bryły jest równa I=$\sum_{k = 1}^{n}{m_{k}r_{k}^{2}}$ , I=∫r²dm ; bryły jednorodne mają stałą gęstość $\rho = \frac{m_{k}}{V_{k}}$= const. , Δm_k=ρΔV_{k ,} I=$\rho\sum_{k = 1}^{n}{V_{k}r_{k}^{2}}$ dla bryły jednorodnej ( I=ρ∫r_k²dV). Przykład - Moment bezwładności wydrążonego walca: *znajdź taki element bryły który ma stałą odległość od osi obrotu i definiujemy jego objętość dV=2πrdrl * wstawiamy dV do wzoru i ustalamy granice całkowania: ( I=ρ∫r_k²dV= ρ∫_R1^R₂r²2πrldr=2πρl∫_R1^R₂r³dr) * I=2πρl${\lbrack\frac{1}{4}r^{4}\rbrack}_{R_{1}}^{R_{2}} = \frac{1}{2}$ πρl($R_{2}^{4} - R_{1}^{4}) = \ \frac{1}{2}$πρl(R₂² − R₁²) (R₂² + R₁²) * wprowadzamy do wzoru masę bryły m= ρV = ρ(πR₂²l−πR₁²l)=πρl(R₂² − R₁²) → I=$\frac{1}{2}m(R_{2}^{2} + R_{1}^{2}$) .

Równanie Bernouliego z przykładem- jako wynik przepływu można uważać zniknięcie cieczy w objętości V₁ i pojawianie się jej w obj V₂. Do tego przepływu zastosujemy ZZEM. Masa cieczy w obu obj jest taka sama. S₁V₁= S₂V₂ , S₁dx₁=S₂dx_{2 ,} E₁=E_k1+E_p1=$\frac{1}{2}\text{ρS}$₁dx₁V₁²₊ ρS₁dx₁gh_{1 ;} E₂=E_k2+E_p2=$\frac{1}{2}\text{ρS}$₂dx₂V₂²₊ ρS₂dx₂gh₂ ; dW=E₂-E₁ ; Przyrost energii powstaje kosztem pracy ciśnienia na przekrojach. dW=p₁S₁dx₁- p₂S₂dx₂ -> p₁S₁dx₁- p₂S₂dx₂=$\frac{1}{2}\text{ρS}$₂dx₂V₂²₊ ρS₂dx₂gh₂-$\frac{1}{2}\text{ρS}$₁dx₁V₁²₊ ρS₁dx₁gh_{1 ;} $\frac{1}{2}\rho V_{1}^{2}$₊ ρgh₁+p₁= $\frac{1}{2}\rho V_{2}^{2}$₊ ρgh₂+p₂=const ; równanie- $\frac{\rho V^{2}}{2} + \rho gh + p = const$ przykład- pozioma rura _; $\frac{1}{2}\rho V_{1}^{2}\ $+p₁ = $\frac{1}{2}\rho V_{2}^{2}$+p₂ ; _; $\frac{1}{2}\rho V_{1}^{2} - \frac{1}{2}\rho V_{2}^{2}$ =p₂-p₁= ρg(h₂−h₁) < 0 rys.

Fale stojące- rozważamy nałożenie się 2 identycznych fal biegnących w kierunkach przeciwnych: y₁=Asin2 π($\frac{t}{T}$ - $\frac{x}{\lambda}$) oraz y₂=Asin2 π($\frac{t}{T}$ + $\frac{x}{\lambda}$), y=y₁+y₂= A[sin2 π($\frac{t}{T}$ - $\frac{x}{\lambda}$)+ sin2 π($\frac{t}{T}$ + $\frac{x}{\lambda}$)]= 2Asin$\frac{2\text{\ π}\left( \frac{t}{T}\ - \ \frac{x}{\lambda} \right) + 2\ \pi(\frac{t}{T} + \ \frac{x}{\lambda})\ }{2}\cos\frac{2\text{\ π}\left( \frac{t}{T}\ - \ \frac{x}{\lambda} \right) - 2\ \pi(\frac{t}{T} + \ \frac{x}{\lambda})}{2}$=2Asin $2\text{\ π}\frac{t}{T}cos( - 2\pi\frac{x}{\lambda}$)= 2Acos2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}2\text{\ π}\frac{t}{T}\ $ ; amplituda fali- A(x)=2Acos2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}$ ; A(x)=0 -> cos2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}$=0 -> 2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}$=$\frac{\pi}{2}$(2m+1) -> x_w=$\frac{2m + 1}{4}$* λ -węzły ; A(x)=1 -> cos2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}$=1 -> 2$\text{\ π}\frac{x}{\lambda}$= πm -> x_s=$\frac{m}{2}\ \lambda - strzalki$.