AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA

im. Stanisława Staszica

w Krakowie

Praca projektowa z przedmiotu: ‘Metody obliczeniowe’

Obliczenie „j, n-tego” (3, 3) elementu macierzy sztywności płaskiego elementu kwadratowego dla płaskiego stanu naprężenia (PSN).

Prowadzący: prof. dr hab. inż. Jan Walaszczyk

Wykonał: Łukasz Ładak,

Budownictwo, rok II

Grupa 3/1

Rok akademicki: 2012/2013

Kraków, czerwiec 2013r.

1. Cel zadania

Celem zadania jest obliczenie 3, 3 elementu macierzy sztywności płaskiego elementu kwadratowego dla płaskiego stanu naprężenia (PSN).

1. Dane

Analizowany płaski element kwadratowy charakteryzuje się następującymi parametrami:

• moduł Young’a E

• współczynnik Poisson’a ν

• bok kwadratu a

• grubość elementu H (const)

• macierz sprężystości D

Macierz sprężystości [D] elementu kwadratowego dla płaskiego stanu naprężenia ma następującą postać:

$$\left\lbrack D \right\rbrack = \ \frac{E}{1 - \nu^{2}}\text{\ \ \ }\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \nu}{2} \\ \end{bmatrix}$$

Dla płaskiego elementu kwadratowego przyjęto następujący układ współrzędnych:

1. Obliczenie macierzy sztywności

W celu obliczenia elementu k_{3, 3} macierzy sztywności [K] płaskiego elementu kwadratowego konieczne jest określenie funkcji kształtu (wpływu), służącej do wyznaczenia funkcji odkształcenia (podatności) [B]. Macierz sztywności oblicza się z zależności:

[K] =  ∫_V[ B ]^T[D ][ B ]dv,

gdzie dv = H • dx • dy

Wyznaczenie funkcji przemieszczeń [f]:

Funkcję przemieszczenia oblicza się ze wzoru:

{f} =  [N]{δ}

$$\begin{Bmatrix} u\left( x,\ y \right) \\ v\left( x,\ y \right) \\ \end{Bmatrix} = \ \left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} N_{1} & 0 & N_{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & N_{3} & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & N_{1} & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} N_{2} & 0 & N_{3} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} N_{4} & 0 \\ 0 & N_{4} \\ \end{matrix} \right\rbrack\ \begin{Bmatrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} u_{1} \\ v_{1} \\ u_{2} \\ v_{2} \\ \end{matrix} \\ u_{3} \\ \end{matrix} \\ v_{3} \\ \end{matrix} \\ u_{4} \\ \end{matrix} \\ v_{4} \\ \end{Bmatrix}\text{\ \ \ }$$

Wyznaczenie macierzy [N]:

Wyznacznik macierzy funkcji kształtu (wpływu) [ N ]:

$$\left\lbrack N \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} N_{1} & 0 & N_{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & N_{3} & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & N_{1} & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} N_{2} & 0 & N_{3} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} N_{4} & 0 \\ 0 & N_{4} \\ \end{matrix} \right\rbrack$$

Przyjęto następującą funkcję kształtu:

N(x, y) =  ax + by + cxy + d

Współrzędne poszczególnych węzłów:

(x₁,  y₁)=(0, 0)

(x₂,  y₂)=(a, 0)

(x₃,  y₃)=(a, a)

(x₄,  y₄)=(0, a)

Wyznaczenie funkcji N₁:

N₁(x,y) = a₁x + b₁y + c₁xy + d₁

N₁(0,0) = 1

a₁ • 0 + b₁ • 0 + c₁ • 0 + d₁ = 1

stad d₁ = 1

N₁(a,0) = 0

a₁ • a + b₁ • 0 + c₁ • 0 + 1 = 0

$$stad\ a_{1} = \left( - \frac{1}{a} \right)$$

N₁(a,a) = 0

$$\left( - \frac{1}{a} \right) \bullet a + b_{1} \bullet a + c_{1} \bullet a^{2} + 1 = 0$$

b₁ • a + c₁ • a² = 0

N₁(0,a) = 0

$$\left( - \frac{1}{a} \right) \bullet 0 + b_{1} \bullet a + c_{1} \bullet 0 + 1 = 0$$

$$stad\ b_{1} = \frac{1}{a}$$

wracajac do obliczenia c₁

$$otrzymujemy:\ c_{1} = \frac{1}{a^{2}}$$

ostatecznie,  funkcja N₁ przyjmuje postac:

$$N_{1}\left( x,y \right) = - \frac{x}{a} - \frac{y}{a} + \frac{\text{xy}}{a^{2}} + 1$$

Wyznaczenie funkcji N₂:

N₂(x,y) = a₂x + b₂y + c₂xy + d₂

N₂(0,0) = 0

a₂ • 0 + b₂ • 0 + c₂ • 0 + d₂ = 0

stad d₂ = 0

N₂(a,0) = 1

a₂ • a + b₂ • 0 + c₂ • 0 + 0 = 1

$$stad\ a_{2} = \frac{1}{a}$$

N₂(a,a) = 0

$$\frac{1}{a} \bullet a + b_{2} \bullet a + c_{2} \bullet a^{2} + 0 = 0$$

b₂ • a + c₂ • a² = −1

N₂(0,a) = 0

$$\frac{1}{a} \bullet 0 + b_{2} \bullet a + c_{2} \bullet 0 + 0 = 0$$

stad b₂ = 0

wracajac do obliczenia c₂:

$$\text{otrzymujemy}:\ c_{2} = - \frac{1}{a^{2}}$$

ostatecznie,  funkcja N₂ przyjmuje postac:

$$N_{2}\left( x,y \right) = \frac{x}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}}$$

Wyznaczenie funkcji N₃:

N₃(x,y) = a₃x + b₃y + c₃xy + d₃

N₃(0,0) = 0

a₃ • 0 + b₃ • 0 + c₃ • 0 + d₃ = 0

stad d₃ = 0

N₃(a,0) = 0

a₃ • a + b₃ • 0 + c₃ • 0 + 0 = 0

stad a₁ = 0

N₃(a,a) = 1

0 • a + b₃ • a + c₃ • a² + 0 = 1

b₃ • a + c₃ • a² = 0

N₃(0,a) = 0

0 • 0 + b₃ • a + c₃ • 0 + 0 = 0

stad b₃ = 0

wracajac do obliczenia c₃

$$otrzymujemy:\ c_{3} = \frac{1}{a^{2}}$$

ostatecznie,  funkcja N₃ przyjmuje postac:

$$N_{3}\left( x,y \right) = \frac{\text{xy}}{a^{2}}$$

Wyznaczenie funkcji N₄:

N₄(x,y) = a₄x + b₄y + c₄xy + d₄

N₄(0,0) = 0

a₄ • 0 + b₄ • 0 + c₄ • 0 + d₄ = 0

stad d₄ = 0

N₄(a,0) = 0

a₄ • a + b₄ • 0 + c₄ • 0 + 0 = 0

stad a₄ = 0

N₄(a,a) = 0

0 • a + b₄ • a + c₄ • a² + 0 = 0

b₄ • a + c₄ • a² = 0

N₄(0,a) = 1

0 • 0 + b₄ • a + c₄ • 0 + 0 = 1

$$stad\ b_{4} = \frac{1}{a}$$

wracajac do obliczenia c₄

$$\text{otrzymujemy}:\ c_{4} = - \frac{1}{a^{2}}$$

ostatecznie,  funkcja N₂ przyjmuje postac:

$$N_{2}\left( x,y \right) = \frac{y}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}}$$

Ostatecznie otrzymujemy następującą macierz [N]:

$$\left\lbrack N \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} \frac{- x}{a} - \frac{y}{a} + \frac{\text{xy}}{a^{2}} + 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 0 \\ \frac{- x}{a} - \frac{y}{a} + \frac{\text{xy}}{a^{2}} + 1 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} \frac{x}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}} \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 0 \\ \frac{x}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}}\text{\ \ } \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} \frac{\text{xy}}{a^{2}} \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 0 \\ \frac{\text{xy}}{a^{2}} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} \frac{y}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}} \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 0 \\ \frac{y}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}} \\ \end{matrix} \right\rbrack$$

Wyznaczenie funkcji odkształceń [ε]:

Funkcję odkształcenia oblicza się ze wzoru:

{ε} = [B]{δ}

$$\begin{Bmatrix} \varepsilon_{x} \\ \varepsilon_{y} \\ \gamma_{\text{xy}} \\ \end{Bmatrix} = \left\lbrack \begin{matrix} N_{1X} \\ 0 \\ N_{1Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{1Y} \\ N_{1X} \\ \end{matrix}\begin{matrix} N_{2X} \\ 0 \\ N_{2Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{2Y} \\ N_{2X} \\ \end{matrix}\begin{matrix} N_{3X} \\ 0 \\ N_{3Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{3Y} \\ N_{3X} \\ \end{matrix}\begin{matrix} N_{4X} \\ 0 \\ N_{4Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{4Y} \\ N_{4X} \\ \end{matrix} \right\rbrack\begin{Bmatrix} \begin{matrix} u_{1} \\ v_{1} \\ \end{matrix} \\ u_{2} \\ v_{2} \\ u_{3} \\ v_{3} \\ u_{4} \\ v_{4} \\ \end{Bmatrix}$$

Obliczenie pochodnych cząstkowych:

$${N_{1X} = \frac{\partial N_{1}}{\partial x} = \frac{- 1}{a} + \frac{y}{a^{2}}\backslash n}{N_{2X} = \frac{\partial N_{2}}{\partial x} = \frac{1}{a} - \frac{y}{a^{2}}\backslash n}{N_{3X} = \frac{\partial N_{3}}{\partial x} = \frac{y}{a^{2}}\backslash n}{N_{4X} = \frac{\partial N_{1}}{\partial x} = - \frac{y}{a^{2}}}$$	$${N_{1Y} = \frac{\partial N_{1}}{\partial y} = \frac{- 1}{a} + \frac{x}{a^{2}}\backslash n}{N_{2Y} = \frac{\partial N_{2}}{\partial y} = - \frac{x}{a^{2}}\backslash n}{N_{3Y} = \frac{\partial N_{3}}{\partial y} = \frac{x}{a^{2}}\backslash n}{N_{4Y} = \frac{\partial N_{4}}{\partial y} = \frac{1}{a} - \frac{x}{a^{2}}}$$

Stąd macierz odkształceń [B] przyjmuje następującą postać:

$$\left\lbrack B \right\rbrack = \frac{1}{a^{2}}\left\lbrack \begin{matrix} - a + y & 0 & a - y \\ 0 & - a + x & 0 \\ - a + x & - a + y & - x \\ \end{matrix}\text{\ \ \ }\begin{matrix} 0\ & y & 0 \\ - x & 0 & x \\ a - y & x & y \\ \end{matrix}\text{\ \ \ }\begin{matrix} - y & 0 \\ 0 & a - x \\ a - x & - y \\ \end{matrix}\ \right\rbrack$$

Obliczenie macierzy sztywności [K]:

[K] = H • ∬₀^a[B]^T[D][B]dxdy

Pomocnicze obliczenie macierzy [C]:

[C] = [B]^T[D]

$$\left\lbrack C \right\rbrack = \frac{1}{a^{2}}\begin{bmatrix} - a + y & 0 & - a + x \\ \begin{matrix} 0 \\ a - y \\ \begin{matrix} 0 \\ y \\ \begin{matrix} 0 \\ - y \\ 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} - a + x \\ 0 \\ \begin{matrix} - x \\ 0 \\ \begin{matrix} x \\ 0 \\ a - x \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} - a + x \\ - x \\ \begin{matrix} a - y \\ x \\ \begin{matrix} y \\ a - x \\ - y \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \bullet \frac{E}{1 - \nu^{2}}\text{\ \ \ }\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \nu}{2} \\ \end{bmatrix}$$

$$\left\lbrack C \right\rbrack = \frac{E}{a^{2}(1 - \nu^{2})}\begin{bmatrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} - a + y\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \nu( - a + x)\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} a - y\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ - \text{νx}\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} y\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix} \\ \text{νx}\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} - y\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \nu(a - x)\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \nu( - a + y)\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ - a + x\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \nu(a - y)\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ - x\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \text{νy}\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix} \\ x\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} - \nu y\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ a - x\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1 - \nu}{2}( - a + x) \\ \frac{1 - \nu}{2}( - a + x) \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} - \frac{1 - \nu}{2}x\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix} \\ \frac{1 - \nu}{2}(a - y) \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \frac{1 - \nu}{2}x \\ \frac{1 - \nu}{2}y\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{1 - \nu}{2}\ (a - x) \\ - \frac{1 - \nu}{2}y \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

Wyznaczenie elementu k_{3, 3} macierzy powstałej przez pomnożenie [B]^T[D][B]:

[K] = ∫_V[B]^T[D][B]dv = ∫_V[C][B]dv

gdzie dv = H • dx • dy

$$k_{3,3} = H\int_{0}^{a}{\int_{0}^{a}\frac{E}{a^{2}(1 - \nu^{2})}} \bullet \begin{bmatrix} a - y & \nu(a - y) & - \frac{1 - \nu}{2}x \\ \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} a - y \\ 0 \\ - x \\ \end{bmatrix}\text{dxdy}$$

po obliczeniach otrzymujemy:

$$k_{3,3} = \frac{\text{EH}a^{2}(\nu - 3)}{6(\nu^{2} - 1)}$$