Naprężenia iij = iji ∖ n(ij=x,y,z) ∖ n $$T = \begin{matrix} \delta_{x} & i_{\text{xy}} & i_{\text{xz}} \\ i_{\text{yx}} & \delta_{y} & i_{\text{yz}} \\ i_{\text{zx}} & i_{\text{zy}} & \delta_{z} \\ \end{matrix}$$ $$T = \begin{matrix} \delta_{x} & 0 & 0 \\ 0 & \delta_{y} & 0 \\ 0 & 0 & \delta_{z} \\ \end{matrix}$$ Właściwości naprężeń głównych: a) brak naprężeń stycznych δ1 ≥  δ2  ≥  δ3 b) oś x nie pokrywa się z żadnym kierunkiem; oś x ≠od 1, 2, 3 (przekroj dowolny) c) naprężenia główne δ1, δ2 ,  δ3 są to ekstremalne wartości naprężenia normalnego w danym punkcie Stan naprężeń jednoosiowy – tylko jedno naprężenie jest różne od zera Stan dwuosiowy (płaski) – będziemy mieć dwa niezerowe naprężenia główne δ1, δ2 ≠ 0 lub  δ2, δ3 ≠ 0 lub δ1, δ3 ≠ 0 . Stan płaski jest wtedy wypadkowe naprężęń leżą w 1 płaszczyźnie np. W płaszczycnie x,y T= $\begin{matrix} \delta_{x} & i_{\text{xy}} \\ i_{\text{yx}} & \delta_{y} \\ \end{matrix}$ iyx = ixy, 3 niezależne składowe stanu naprężenia [inna def jeżeli w jednym kierunku (np.z) naprężenia się zerują (δz=0, izx=ixz=0,  izy=iyz=0) ] Trójosiowy stan naprężenia - δ1 ≠ 0 ; δ2 ≠ 0 ; δ3 ≠ 0 $T = \begin{matrix} \delta_{x} & i_{\text{xy}} & i_{\text{xz}} \\ i_{\text{yx}} & \delta_{y} & i_{\text{yz}} \\ i_{\text{zx}} & i_{\text{zy}} & \delta_{z} \\ \end{matrix}$ 6 niezależnych składowych Transformacje z kierunków dowolnych na główne $\delta_{1} = \frac{\delta_{x} + \delta_{y}}{2} + \ \frac{1}{2\ }\sqrt{{(\delta_{x} - \delta_{y})}^{2} + 4{i_{\text{xy}}}^{2}}$ ,$\ \delta_{2} = \frac{\delta_{x} + \delta_{y}}{2} - \ \frac{1}{2\ }\sqrt{{(\delta_{x} - \delta_{y})}^{2} + 4{i_{\text{xy}}}^{2}}$ , $tg2\alpha = \frac{2i_{\text{xy}}}{\delta_{x} - \delta_{y}}$ Transformacje z kierunków głównych na dowolne $\delta_{x} = \ \frac{\delta_{1} + \delta_{2}}{2} + \ \frac{\delta_{1} - \delta_{2}}{2}\ cos2\alpha\ $ , $\delta_{y} = \ \frac{\delta_{1} + \delta_{2}}{2} - \ \frac{\delta_{1} - \delta_{2}}{2}\ cos2\alpha$ , $i_{\text{xy}} = \frac{\delta_{1} - \delta_{2}}{2}\ sin2\alpha$

Naprężenia iij = iji ∖ n(ij=x,y,z) ∖ n $$T = \begin{matrix} \delta_{x} & i_{\text{xy}} & i_{\text{xz}} \\ i_{\text{yx}} & \delta_{y} & i_{\text{yz}} \\ i_{\text{zx}} & i_{\text{zy}} & \delta_{z} \\ \end{matrix}$$ $$T = \begin{matrix} \delta_{x} & 0 & 0 \\ 0 & \delta_{y} & 0 \\ 0 & 0 & \delta_{z} \\ \end{matrix}$$ Właściwości naprężeń głównych: a) brak naprężeń stycznych δ1 ≥  δ2  ≥  δ3 b) oś x nie pokrywa się z żadnym kierunkiem; oś x ≠od 1, 2, 3 (przekroj dowolny) c) naprężenia główne δ1, δ2 ,  δ3 są to ekstremalne wartości naprężenia normalnego w danym punkcie Stan naprężeń jednoosiowy – tylko jedno naprężenie jest różne od zera Stan dwuosiowy (płaski) – będziemy mieć dwa niezerowe naprężenia główne δ1, δ2 ≠ 0 lub  δ2, δ3 ≠ 0 lub δ1, δ3 ≠ 0 . Stan płaski jest wtedy wypadkowe naprężęń leżą w 1 płaszczyźnie np. W płaszczycnie x,y T= $\begin{matrix} \delta_{x} & i_{\text{xy}} \\ i_{\text{yx}} & \delta_{y} \\ \end{matrix}$ iyx = ixy, 3 niezależne składowe stanu naprężenia [inna def jeżeli w jednym kierunku (np.z) naprężenia się zerują (δz=0, izx=ixz=0,  izy=iyz=0) ] Trójosiowy stan naprężenia - δ1 ≠ 0 ; δ2 ≠ 0 ; δ3 ≠ 0 $T = \begin{matrix} \delta_{x} & i_{\text{xy}} & i_{\text{xz}} \\ i_{\text{yx}} & \delta_{y} & i_{\text{yz}} \\ i_{\text{zx}} & i_{\text{zy}} & \delta_{z} \\ \end{matrix}$ 6 niezależnych składowych Transformacje z kierunków dowolnych na główne $\delta_{1} = \frac{\delta_{x} + \delta_{y}}{2} + \ \frac{1}{2\ }\sqrt{{(\delta_{x} - \delta_{y})}^{2} + 4{i_{\text{xy}}}^{2}}$ ,$\ \delta_{2} = \frac{\delta_{x} + \delta_{y}}{2} - \ \frac{1}{2\ }\sqrt{{(\delta_{x} - \delta_{y})}^{2} + 4{i_{\text{xy}}}^{2}}$ , $tg2\alpha = \frac{2i_{\text{xy}}}{\delta_{x} - \delta_{y}}$ Transformacje z kierunków głównych na dowolne $\delta_{x} = \ \frac{\delta_{1} + \delta_{2}}{2} + \ \frac{\delta_{1} - \delta_{2}}{2}\ cos2\alpha\ $ , $\delta_{y} = \ \frac{\delta_{1} + \delta_{2}}{2} - \ \frac{\delta_{1} - \delta_{2}}{2}\ cos2\alpha$ , $i_{\text{xy}} = \frac{\delta_{1} - \delta_{2}}{2}\ sin2\alpha$

Warunek rzutów na kierunek n - normalnej:

Zauważamy że A₁=Acosα i A₂=Asinα więc mamy postać:

Warunek rzutów na kierunek t naprężenia stycznego:

Ostatecznie uzyskujemy warunki w postaci:

Wstawiając za cos²α=(1+cos2α)/2 , sin²α=(1-cos2α)/2 , sinαcosα=(sin2α)/2

Do powyższych równań uzyskamy zależność:

Szukane naprężenia σ_x i τ_xy odpowiadają naprężeniom σ_n i τ_n , pozostaje więc

Wyznaczenie σ_y wykorzystujemy zależność na σ_n wstawiając za α kąt 90+ α

Ostateczna postać wzorów transformacyjnych :

Sumując z powyższej zależności σ_x i σ_y uzyskamy równanie

Wstawiając do 3 zależności kąt 45* uzyskamy natomiast:

Wzory do praktycznych zastosowań na kierunki i wartości naprężeń :