Kinematyka

1. Podstawowe pojęcia ruchu punktu (równanie, tor, promień, wektor).

Równanie ruchu punktu: x=x(t), y=y(t), z=z(t).

Tor - linia ciągła, będąca miejscem geometrycznym kolejnych położeń ruchomego punktu w przestrzeni.

Promień (wektor) wodzący: r=x(t)i+y(t)j+z(t)k.

2. Równania ruchu punktu we współrzędnych krzywoliniowych.

Współrzędne biegunowe na płaszczyźnie: x=rcosϕ, y=rsinϕ.

Współrzędne biegunowe w przestrzeni: x=rsinθcosϕ, y=rsinθsinϕ, z=rcosθ.

Współrzędne walcowe: x=r’cosϕ, y=r’sinϕ, z=z.

Równanie ruchu punktu na torze: Gdy A porusza się po torze, współrzędna s jest pewną funkcją czasu. Równanie ruchu ma wtedy postać: s=f(t).

3. Prędkość punktu (średnia, chwilowa).

Wektorem prędkości średniej nazywamy stosunek przyrostu Δr promienia wektora w dwóch położeniach do czasu Δt potrzebnego na przejście z pierwszego położenia w drugie V=Δr/Δt. Wektor prędkości średniej ma kierunek Δr.

Wektorem prędkości chwilowej punktu A nazywamy granicę, do której dąży wektor prędkości średniej, gdy przyrost czasu Δt dąży do zera: v=lim(Δt→0)Δr/Δt. Wektor prędkości jest styczny do toru punktu.

4. Przyspieszenie punktu.

Przyspieszenie punktu równe jest granicy, do której dąży stosunek przyrostu geometrycznego prędkości, do przyrostu czasu, gdy ten ostatni przyrost dąży do zera a=lim(Δt→0)ΔV/Δt=dV/dt.

Wartość bezwzględna przyspieszenia a=-/ax^2+ay^2+az^2, gdzie ax=d2x/dt2, ay=d2y/dt2, az=d2z/dt2.

5. Ruch prostoliniowy (jednostajny, jednostajnie zmienny).

Ruch jednostajny: V=ds/dt=const, s=s0+Vt. Ruch jednostajnie zmienny: a=dV/dt=const, V=Vo+at, s=s0+V0t+at2/2. Po scałkowaniu zależności (d) w przedziale odpowiadającym punktom Mo i M Przy założeniu że t0=t i 0Mo=So. Ruch jednostajnie zmienny: a=dv/dt=const. Czyli dv=a*dt całkujemy to równanie $dv=a$dt czyli V=Vo+at.

Jeśli a>0 to ruch jednostajnie przyspieszony, jeśli a<0 to ruch jednostajnie opóźniony.

6. Ruch harmoniczny prosty.

Ruchem harmonicznym prostym nazywamy ruch opisany równaniem w którym chwilowe położenie punktu m zależy od wartości kąta (fi). x=bsin(ωt+ϕ0)=bsinϕ. b,ω,ϕ0 są stałymi, x - odległość punktu od środka ruchu harmonicznego, b - amplituda, ϕ=ωt+ϕ0 - faza ruchu harmonicznego, ϕ0 - faza początkowa. Prędkość punktu: V=x’=bωcos(ωt+ϕ0). Przyspieszenie: a=V’=x’’= -bωsin(ωt+ϕ0). Częstość ruchu: ν=1/T = ω/2π. Pulsacja, częstość kołowa: ω

7. Ruch krzywoliniowy.

W ruchu krzywoliniowym przyspieszenie skierowane jest pod kątem do prędkości, Średnia krzywizna: kśr=Δϕ/Δs. Krzywizna toru w punkcie: k=lim(Δs→0)Δϕ/Δs=dϕ/ds. Promień krzywizny: ρ=1/k=ds./dϕ

8. Prędkość i przyspieszenie punktu w płaskim układzie naturalnym.

Wektor V zmienia kierunek i może zmienia wartość. Występują 2 rodzaje przyspieszenia styczne i normalne. Wektor jest zawsze styczny do toru punktu. Prędkość: V=Vτ. Przyspieszenie: a=√at+an, gdzie at=dV/dt, an=V/ρ

9. Ruch punktu po okręgu.

Ruch po okręgu jest przykładem ruchu zachodzącego w 2 wymiarach, przy którym torem ruchu jest okrąg. S = rϕ, V=ds./dt=rdϕ/dt=rω [m/s], ω=2πn/60=πn/30. at=dV/dt=r(dω/dt)=r(d(dϕ/dt)/dt)=r(dϕ/dt)=rε. an=V/r=ωr. a=√at+an

10. Prędkość i przyspieszenie kątowe jako wektory.

ω=ωe=(dϕ/dt)e Prędkość kątowa ω, mająca wartość pochodnej względem czasu kąta obrotu ϕ, jest wektorem leżącym na osi obrotu.

Moduł wektora prędkości |V|=ωRsinδ=ωr. Przyspieszenie: a=dv/dt=(d/dt)(ωxR)=(dω/dt)xR+ωx(dR/dt).

Przyspieszenie kątowe: ε=dω/dt

11. Relacja pomiędzy przyspieszeniem w układzie prostokątnym i naturalnym.

Przejście między układem naturalnym a prostokątnym na płaszczyźnie.

at=acosβ=axcosα+aysinα

an=asinβ=aycosα-axsinα

Ponieważ: sinα=Vy/V; cosα=Vx/V

Otrzymujemy: at=(axVx+ayVy)/V, an=(ayVx-axVy)/V.
12. Ruch ciała sztywnego. Opis położenia ciała sztywnego. Stopnie swobody.

Ruch ciała sztywnego w przestrzeni jest jednoznacznie określony przez równania ruchu trzech punktów nie leżących na jednej prostej. Ruch ciała sztywnego może być określony wektorowymi równaniami trzech punktów: ra=ra(t), rb=rb(t), rc=rc(t). Warunek, aby 3 pkt nie leżały w jednej prostej: (rb-ra)x(rc-ra)≠0. Aby określić położenie ciała w przestrzeni wystarczy określić sześć niezależnych współrzędnych, mówimy że ciało w przestrzeni ma 6 stopni swobody. Aby unieruchomić 1 pkt należy podać 3 współrzędne, więc ciało o unieruchomionym 1 pkt ma 3 stopnie swobody.

13. Metoda wyznaczania prędkości punktów ciała sztywnego.

W ciele sztywnym podczas dowolnego ruchu, rzuty wektorów prędkości dwóch jej dowolnych pkt na prostą łączącą te pkt są sobie równe. Vb*cosβ=Va*cosα.

14. Ruch postępowy ciała sztywnego.

Równania ruchu punktów: ra(t)=ra(t0)+u(t), rb(t)=rb(t0)+u(t), rc(t)=rc(t0)+u(t). Różniczkując względem czasu otrzymujemy: Va=Vb=Vc=du(t)/dt, aa=ab=ac=du(t)/dt. W ruchu postępowym ciała sztywnego wszystkie pkt mają takie same prędkości, przyspieszenia i poruszają się po takich samych, równolegle przesuniętych torach.

15. Ruch obrotowy ciała sztywnego.

Nazywamy taki ruch w którym ciała zakreślaja łuki okręgów o środkach leżących na jednej prostej , zwanej osią obrotu, oś obrotu jest prostopadła do płaszczyzn tych okręgów. Równanie toru pkt: s=rϕ(t). V=ds./dt=r(dϕ/dt)=rω(t). at=dv/dt=r(dω/dt)=rε. an=V/r=ωr/r=ωr.

16. Prędkość punktu w ruchu złożonym.

Prędkość bezwzględna punktu M w ruchu złożonym jest wypadkową prędkości unoszenia u i prędkości względnej w: Vm=V0+ωxr+Vw=Vu+Vw=u+w, gdzie Vu=u=V0+ωxr.

17. Przyśpieszenie punktu w ruchu złożonym.

Przyśpieszenie bezwzględne am pkt M w ruchu złożonym równa się sumie wektorowej przyśpieszeń unoszenia au, przyśpieszenia względnego aw i przyśpieszenia Coriolisa ac: am=au+aw+ac.

18. Ruch płaski ciała sztywnego. Twierdzenie Eulera.

Ruch płaski ciała sztywnego to ruch, w którym wszystkie pkt ciałą poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną ruchu płaskiego. Pierwsze twierdzenie Eulera: dowolne przemieszczenie figury płaskiej w jej płaszczyźnie może być dokonane za pomocą obrotu wokół pewnego punktu, zwanego środkiem obrotu.

19. Wyznaczanie prędkości w ruchu płaskim (metoda analityczna, metodą chwilowego środka obrotu, metoda superpozycji).

Metoda analityczna:

Xb=Xa+(Xc-Xa)-(Xc-Xb)=Xa+xcosϕ-ysinϕ, Yb=Ya+(Ye-Ya)+(Yb-Ye)=Ya+xsinϕ+ycosϕ

Vbx=dXb/dt=dXa/dt-ϕ’xsinϕ-ϕ’ycosϕ=Vax-ω(Yb-Ya), Vby=dYb/dt=dYa/dt+ϕ’xcosϕ-ϕ’ysinϕ=Vay+ω(Xb-Xa)

Vb=√(Vbx+Vby)

Metoda chwilowego środka obrotu

ω=Va/AO=Vb/BO

Metoda superpozycji

Vab=ωAB, Vb=√(Va+Vab-2VaVabcos(90-α))

20. Przyspieszenie w ruchu płaskim (metoda analityczna, superpozycji).

Metoda analityczna:

Abx=aax-ϕ’’(Yb-Ya)-ϕ’(Xb-Xa), Aby=aay+ϕ’’(Xb-Xa)-ϕ’(Yb-Ya)

Metoda superpozycj przyśpieszenie punktu B pręta AB poruszającego się ruchem płaskim, jest równe sumie geometrycznej przyśpieszenia dowolnie obranego punktu A, oraz przyśpieszenia pkt B wynikającego z obrotu względem pkt A.

Ab=√(Aacosα-ωl)+(εl-Aasinα)

21. Ruch kulisty ciała sztywnego.

Ruchem kulistym ciała sztywnego nazywamy taki ruch ciała podczas którego jeden jego pkt pozostaje nieruchomy. Na przykład ruchem kulistym porusza może się aparat fotograficzny zamocowany na przegubie kulistym statywu.

22. Prędkości kątowe i liniowe w ruchu kulistym.

Prędkość liniowa pkt M: V=lim(Δt→0)Δr/Δt=lim(Δt→0)ΔΘxr/Δt=(lim(Δt→0)ΔΘ/Δt)xr=ωxr

Prędkość kątowa: ω=k1ψ’+k2ϕ’+k3ϑ’=ω1+ω2+ω3

23. Przyspieszenie kątowe i liniowe w ruchu kulistym.

Przyspieszenie kątowe: ε=dω/dt=ω1’k1+ω2’k2+ω3’k3+ω1xω+ω3xω2

Przyspieszenie liniowe: a=dV/dt=(d/dt)(ωxr)=(dω/dt)xr+ωx(dr/dt)=εxr+ωxV

24. Precesja regularna.

Wektor przyśpieszenia kątowego E o przyjętym początku w środku ruchu kulistego 0 jest prostopadły do wektorów.

Kąt precesji ϑ=const, stąd ω3=dϑ/dt=0 → ω=ω1+ω2 oraz ω1=const, ω2=const.

Przyspieszenie kątowe: ε=ω1x(ω1+ω2)=ω1xω2

Przyspieszenie precesyjne: a1=εxr=(ω1xω2)xr

Przyspieszenie doosiowe: a2=ωxV=(ω1+ω2)xV

Przyspieszenie: a=a1+a2

Dynamika

1. Prawa Newtona.

Pierwsze: Każde ciało trwa w spoczynku lub ruchu jednostajnym prostoliniowym, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.

Drugie: Zmiana ilości ruchu (pędu) jest proporcjonalna względem siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa.

Trzecie: Każdemu działaniu towarzyszy równe i wprost przeciwne oddziaływanie, czyli wzajemne działania dwóch ciał są zawsze równe i kierowane przeciwnie.

Czwarte: Jeśli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił. Inaczej prawo superpozycji.

Piąte: Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu mas (m1, m2) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty. Prawo grawitacji.

2. Dynamiczne równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego we współrzędnych prostokątnych i naturalnych.

Dynamiczne równania różniczkowe ruchu punktu materialnego w układzie współrzędnych prostokątnych

max=mx’’=∑Pix, may=my’’=∑Piy, maz=mz’’=∑Piz

W układzie współrzędnych naturalnych:

man=mV/ρ=∑Pin → na oś normalną, mat=mdV/dt=∑Pit → na oś styczną, mab=∑Pib → na oś binormalną

3. Ruch punktu pod działaniem siły stałej co do wartości i kierunku.

Z drugiego prawa Newtona r”=P/m, dv/dt=P/m, całkując dwukrotnie otrzym. V=V0+P/m, r=r0+V0t+(P/2m)t

4. Ruch punktu pod działaniem siły zależnej od czasu.

Równanie ma postać r”=1/m P(t), dv/dt=1/m P(t) całkując otrzymamy V w funkcji czasu $(g.Vo V)dv=1/m$(g.0,t1)P(t)dt,

V=dr/dt=Vo+1/m$(g.0,t1)Pt(dt) całkując otrz. Wektor opisujący położenie pkt. R(t) $(g.ro,r)dr=Vot2+1/m$(g.0,t1)$(g.0,t2)P(t)dt,

r=r0+Vot2+1/m$(g.0,t1)$(g.0,t2)P(t)dt

5. Ruch punktu pod działaniem siły zależnej od prędkości.

Równanie dla m=const. ma postać r”=1/m P(V), V’=1/mP(V), dV/dt=1/mP(V), $(g.Vo,V)dV/P(V)=1/m$(g.0,t)dt

Po scałk. obu stron rów. otrzym. czas t jako funk. V, a funk. odwrotną pręd. względem czasu możemy zapisać: V=r’=teta(t,Vo)

Całkując otrz. r=r0+1/m$(g.0,t)teta(t,Vo)dt

6. Ruch punktu pod działaniem siły zależnej od położenia.

Jeżeli założymy, że ruch punktu odbywa się po osi Ox to rów. ruchu ma postać x”=1/m P(x), VdV=1/m P(x)dx całkujemy stronami

$(g.0,V)Vdv=1/m$(g.0,x1)P(x)dx, V2/2=1/m$(g.0,x1)P(x)dx+C, V=dx1/dt=pierw. z 2/m$(g.0,x1)P(x)dx+C, wyznaczyć dt1

Lewa strona tego rów. zawiera funk. czasu a prawa funk. drogi. po przeprowadz. całkowania otrzym. czas t w funk. drogi x1. funkcja odwrotna jest rów. ruchu x1=f(t)

7. Dynamika ruchu względnego punktu materialnego.

Dynamiczne równania ruchu punkty materialnego w ruchomym układzie odniesienia są takie, jak gdyby układ był inercjalny pod warunkiem, że do siły bezwzględnej Pb działającej na punkt dodamy siłę unoszenia Pu i siłę Coriolisa Pc. maw=Pb+Pu+Pc.

Pb=mab-siła bezwzględna, Pu=-mau -siła unoszenia, Pc=-mac -siła Coriolisa

8. Zasada pędu i momentu pędu (krętu).

Ilością ruchu lub pędu nazywamy wektor H=mV, poch. Pędu względem czasu przy stałej masie wynosi:H’=d/dt (H)=t/dt (mV)=mdV/dt=ma=P Pochodna pędu względem czasu punktu materialnego równa się sumie sił działających na ten punkt.

Rów. możemy zapisać mdV=Pdt Po scałkowaniu otrzym. M$(g.Vo,V)dV=m(V-Vo)=$(g.t1,t2)Pdt Jest to zasada pędu

Jeżeli na pkt.materialny nie działa siła P lub układ sił równoważących to popęd jest równy zeru, a pęd jest wart. stałą mV=const

Zasada zachowania pędu: Jeżeli na punkt materialny działa samo zrównoważony układ sił, to pęd jest wektorem stałym.

9. Moment pędu (kręt).

dKo/dt=rxP=Mo pochodna względem czasu krętu Ko pkt.materialnego wzgl.nieruchomego bieguna 0 jest równa momentowi względem tegoż bieguna wypadkowej sił działających na na dany pkt.materialny, Gdy Mo=0 to dKo/dt=0 stąd Ko=const.

Jeżeli moment względem dowolnego bieguna 0 wypadkowej sił działających na punkt materialny jest równy zero, to kręt punktu materialnego wyznaczony względem tegoż bieguna jest stały.

10. Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy.

E=mv2/2. Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy sumie prac, które wykonały w tym samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt.

11. Drgania swobodne nietłumione.

Drganie-ruch drgający pkt.materialnego-jest to ruch w dostatecznie małym otoczeniu położenia swojej równowagi stałej. Drgania swobodne-drgania zachodzące pod działaniem sił sprężystych. D.s. nietłum. są to drgania swobodne bez działania sił oporu ( tarcia, powietrza itd.).

12. Drgania swobodne tłumione.

r+2nr+ω0=0 W zależności od wartości wyróżnika równanie charakterystyczne może mieć trzy różne rozwiązania:

Tłumienie nadkrytyczne (n>ω0): wyróżnik równania charakterystycznego jest większy od 0, pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i oba ujemne. Jest to przypadek silnego tłumienia, ruch aperiodyczny.

Tłumienie krytyczne (n=ω0): wyróżnik równania charakterystycznego jest równy zeru. Rozwiązaniem jest jeden ujemny pierwiastek podwójny. r1=r2=-n Tłumienie podkrytyczne (n<ω0): wyróżnik równania charakterystycznego jest mniejszy od zera, równanie ma dwa pierwiastki zespolone i rozwiązanie ogólne rów.ma postać x=ro^-nt cos(ut+fi0)

13. Drgania wymuszone nietłumione.

Jeśli poza siłą ciężkości i siłą sprężystą na punkt materialny działa okresowo zmienna w czasie siła wymuszająca, to powstające wtedy drgania nazywamy wymuszonymi. Dynamiczne równanie różniczkowe ruchu: x’’+ω0x=(P0/m)sinωt.

14. Dynamika układu punktów materialnych.

Układ punktów materialnych zbiór punktów materialnych, w którym położenie każdego punktu jest zależne od położenia innych punktów. Układ punktów swobodnych układ punktów materialnych, których ruch nie jest ograniczony żadnymi więzami. Układ punktów nieswobodnych układ punktów materialnych, których ruch jest ograniczony nałożonymi na te punkty więzami. W układzie punktów materialnych występują siły wewnętrzne i zewnętrzne. Dynamiczne rów. różniczkowe ruchu i-tego pkt.materialnego ma postać d^2/dt^2 (miri)=Pi+suma(g.j=1,n) Sij

15. Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu.

Mr”c=mac=P Zasada ruchu środka masy: Środek masy każdego układu punktów materialnych porusza się tak, jakby była w nim skupiona cała masa układu i jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie siły zewnętrzne. P=0 to Ac=0 czyli Vc=cont.

Zasadę zachowania ruchu środka masy: Jeśli suma geometryczna sił zewnętrznych działających na dany układ punktów materialnych jest równa zeru, to środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

16. Pęd układu punktów materialnych.

Pędem układu punktów materialnych nazywamy wektorową sumę pędów wszystkich punktów materialnych tego układu.

H=suma(g.i=1,n)miVi=suma(g.i=1,n)Hi, ostatecznie H=mVc

Pochodna pędu układu punktów materialnych względem czasu jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych działających na punkty tego układu. dH=Pdt Przyrost pędu układu punktów materialnych jest równy popędowi sumy geometrycznej sił zewnętrznych. Zasada zachowania pędu: jeżeli P=0 to dh/dt=0=mac stąd H=mVc=const

17. Moment pędu (kręt) układu punktów materialnych.

Moment pędu (kręt): Kręt układu punktów materialnych względem dowolnego punktu 0 (bieguna), jest to wektor równy sumie geometrycznej krętów wszystkich punktów materialnych układu względem bieguna. Wartości rzutów wektora krętu Ko na osie xyz są

Kx=suma(g.i=1,n)Kix, Ky=suma(g.i=1,n)Kiy, Kz=suma(i=1,n)Kiz Pochodna względem czasu krętu punktów materialnych względem dowolnego punktu 0 równa jest sumie geometrycznej momentów sił zewnętrznych, jeżeli punktem 0 jest punkt nieruchomy lub środek masy układu C.

18. Zasada d’ Alemberta.

19. Momenty bezwładności i dewiacji.

Momenty bezwładności względem osi:

Moment bezwładności względem punktu:

Momenty dewiacji:

; ; 20. Twierdzenie Steinera.

Moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem: I = I0+md.

21. Praca sił

dW=P*dr=PdrcosL=PdscosL, dW=Pxdx+Pydy+Pzdz, W=$(g.AB)P*dr=$(g.AB)PdscosL=$(g.AB)(Pxdx=Pydy+Pzdz)

Jeśli postawimy do wzoru dx=x‘dt, dy=y’dt, dz=z’dt to otrzymamy W=$(g.t1,t2) (Pxx’+Pyy’+Pzz’)dt

22. Praca sił przyłożonych do ciała sztywnego

Suma prac wewnętrznych sił ciała sztywnego na dowolnym przemieszczeniu jest równa 0. Praca sił zewnętrznych na przesunięciu skończonym W=$dW=$P*dr. Praca sił wewnętrznych: Pojęci mocy- praca wykonana przez siłę w ciągu jednostki czasu. Moc siły jest to iloczyn skalarny wektora siły P i wektora prędkości V punktu jej przyłożenia. N= PxVx+PyVy+PzVz

23. Pojęcie mocy

Moc siły- praca wykonana przez siłe w ciągu jednost. czasu., Moc śr w przedziale czasu Δt: Nśr=ΔW/Δt wartość mocy chwilowej siły

N=lim(Δt-0) ΔW/Δt=dW/dt, z def. dW=P*dr podstawiając mamy N=dW/dt=d/dt(P*dr)=P*dr/dt=P*V Moc siły to iloczyn skalarny wektora siły P i wektora prędkości V punktu jej przyłożenia. W prostokątnym układzie N=PxVx+PyVy+PzVz, N=Pvcos(P,V)=PVcosL

24. Energia kinetyczna

E.kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii kinetycznej wszystkich pkt. materialnych E=suma(g.i=1,n)Ei=suma(g.i=1,n)1/2miVi^2 dżul(J) jed. energ. kinetycznej Energia kinet. w ruchu postępowym

wszystkie pkt. mają tę samą prędkość Vi=Vi+1=V, E=1/2suma(g.i=1,n)miVi^2=1/2mV^2 gdzie m=suma(g.i=1,n)mi

Energ. knet. ciała sztywnego w ruchu obrotowym E=½$V^2dm=1/2w^2r^2dm=1/2w^2$r^2dm=1/2Ilw^2 gdzie Il=$r^2dm moment bezwładności względem osi l