Wektory

• W wybranym układzie współrzędnych wektor jest definiowany przez podanie jego współrzędnych np.

a = (a₁,a₂, a₃) b = (b₁,b₂, b₃)

• Rozkładanie wektorów na składowe

  • Składowe wektora wyznaczamy umieszczając początek wektora w początku układu współrzędnych i rzutując koniec wektora na poszczególne osie wybranego układu współrzędnych.

Rys. 1.1. Wektor r i jego składowe r_x, r_y, r_z w pewnym układzie współrzędnych

• Działania na wektora

  • Suma wektorów

    • Sumą dwóch wektorów jest nowy wektor o współrzędnych

a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)

• Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach. Różnicę dwóch wektorów przedstawia druga przekątna (rysunek poniżej).

\

Rys. 1.2. Suma i różnica wektorów

• Iloczyn skalarny

  • Iloczyn skalarny dwóch wektorów a· b jest liczbą (skalarem) równą iloczynowi wartości bezwzględnych (długości) tych wektorów pomnożony przez cosinus kąta między nimi

a  b = |a| • |b| cosα = a b cosα

• Iloczyn skalarny jest często stosowany do opisu wielkości fizycznych.

  • Np. praca. Praca jest iloczynem skalarnym siły i przesunięcia.

• Iloczyn wektorowy

  • Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a × b jest nowym wektorem c, którego długość (wartość bezwzględna) jest równa iloczynowi długości tych wektorów i sinusa kąta pomiędzy nimi

c = |a||b| sinα

• Wektor c jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b. Zwrot jego jest określony regułą śruby prawoskrętnej lub regułą prawej ręki. Jeżeli palce prawej ręki zginają się w kierunku obrotu wektora a do wektora b (po mniejszym łuku) to kciuk wskazuje kierunek wektora c = a × b (tak jak na rysunku poniżej)

Rys. 1.3. Iloczyn wektorowy