Wnioskowanie statystyczne a statystyka opisowa

*statystyka opisowa- oparta jest na indukcji zupełnej, ukazuje metody gromadzenia, opracowania i prezentacji danych wraz z sumarycznym ich opisem przy wykorzystaniu właściwych narzędzi statystycznych

*statystyka matematyczna- oparta jest na indukcji niezupełnej

-teoria estymacji-metody estymacji umożliwiają szacunek nieznanych parametrów populacji na podstawie próby

-teoria weryfikacji hipotez stat.- pozwala na sprawdzanie hipotez o parametrach lub kształcie rozkładu.

*wnioskowanie statystyczne- jest procedurą podejmowania decyzji o parametrach i rozkładach w zbiorowości generalnej na podstawie wyników próby.

Podstawowymi kategoriami stosowanymi w procedurze wnioskowania stat. są zmienne losowe i ich rozkłady teoretyczne.

Zdarzeniami losowymi nazywamy takie wyniki poprzez realizację danego doświadczenia (procesu), które mogą w określonym zespole warunków wystąpić lub nie wystąpić. W doświadczeniach, których wynik jest zdarzeniem losowym wyróżniamy:

-zdarzenia złożone- składa się ze zdarzeń elementarnych, nie dających się określić za pomocą zdarzeń prostych, np. uzyskanie parzystej liczby oczek-składa się ono z trzech zdarzeń

Jeśli każdorazowa realizacja określonego doświadczenia daje w wyniku te samo zdarzenie A, to zdarzenie A nazywamy zdarzeniem pewnym.

Jeśli każdorazowa realizacja określanego doświadczenia nie daje zdarzenia A, to zdarzenie A nazywamy niemożliwym.

Jeśli zaś realizacja określonego doświadczenia niekiedy prowadzi do zdarzenia A, a niekiedy do zdarzenia A nie prowadzi to zdarzenia A nie prowadzi to zdarzenie A jest zdarzeniem losowym (przypadkowym). Zdarzenie losowe charakteryzuje się tym, że jego wynik nie może być ściśle określony przed realizacją.

Zdarzenia losowe to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje określoną wartość znaną po zrealizowaniu tego doświadczenia, a nie dająca się przewidzieć przed tym doświadczeniem zmienna losowa może przyjmować wartość z pewnego przedziału liczb rzeczywistych i to z określonym prawdopodobieństwem P(x=xi)=pi

Prawdopodobieństwo pi można traktować jako funkcja wartości przyjmowanych przez zmienną losową pi=f(xi) n

Suma prawdopodobieństwa pi jest równa jedności ∑f(xi)=1

i=1

Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami np. X,Y,Z, natomiast wartości przybierane przez zmienne losowe zwane realizacjami oznaczamy małymi literami np. x,y,z. Każde zadanie może być scharakteryzowane tylko jedną z możliwych wartości zmiennej losowej X.

Funkcje przyporządkowujące realizacją zmiennej losowej X odpowiadające im prawdopodobieństwo nazywamy funkcją prawdopodobieństwa.

Pojęciem związanym ze zmienną losową i jej rozkładem jest pojęcie dystrybuanty. Dystrybuantą zmiennej losowej x nazywamy funkcje F(x) zmiennej rzeczywistej x określonej wzorem F(xi)=P(X≤xi)

Właściwości dystrybuanty:

- przyjmuje wartości z przedziału od 0 do 1

- jest f. niemalejącą tzn. dla x₁<x₂ zawsze F(x₁)≤F(x₂)

- jest f. lewostronnie ciągłą

- F (-∞)=0 , F(+∞)=1

Rozkłady empiryczne i teoretyczne zmiennej losowej warunkują przeprowadzenie uogólnionego opisu zbiorowości statystycznej.

Rozkłady empiryczne pochodzą z obserwacji, ustawione są na podstawie konkretnych wielkości.

Rozkłady teoretyczne aproksymowane są za pomocą rozkładów probabilistycznych.

Rozkład zmiennej losowej może być przedstawiony za pomocą f.matematycznej formującej zależności pomiędzy wartością zmiennej Osowej a wartością lub prawdopodobieństwem jej wystąpienia.

Parametry rozkładu zmiennej losowej x (najważniejsze)

- wartość oczekiwana (matematyczna)-średnia arytmetyczna rozkładu zmiennej losowej X w zbiorowości generalnej.

- wariancja oraz odchylenie standardowe.

Zmienna losowa x jest odpowiednikiem używanego w statystyce opisowej pojęcia cechy (zmiennej), przy czym w odniesieniu do zmiennej losowej poszczególnym jej wartością odpowiadają określone prawdopodobieństwa realizacji.

Zmienna losowa skokowa to taka zmienna, która ma przeliczony lub skończony zbiór wartości np. liczba dzieci w rodzinie.

Zmienna losowa ciągła to taka zmienna , która przyjmuje dowolne wartości liczbowe z określonego przedziału, np. wzrost, wiek.

Podstawowe rozkłady :

*zmienna losowa skokowa

-rozkład zerojedynkowy (50 na 50)

-rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

-rozkład Poissona

*zmienna losowa ciągła]-rozkład normalny Gaussa-Laplace^’a

Rozkład zerojedynkowy jest rezultatem takiego doświadczenia w wyniku którego, określone zdarzenie A wystąpi lub nie wystąpi. Zdarzeniem elementarnym, realizującym zdarzenie A jest liczba 1 a zdarzeniom elementarnym nie realizującym zdarzenia A jest liczba 0 . Z rozkładem zerojedynkowym mamy do czynienia np. przy jednorazowym rzucie monetą : P(x=1)=1/2 ; P(x=0)=1/2

Rozkład dwumianowy Bernoulliego- korzystamy z niego wówczas, gdy chcemy określić prawdopodobieństwo wystąpienia K razy określonego zdarzenia w n niezależnych doświadczeniach przy danym prawdopodobieństwie p : P(x=k)=[ n! / k! ( n- k) !] p^k q ^n-k

Jeśli p=q rozkład symetryczny

p≠q rozkład asymetryczny : asymetria + p<q

asymetria – p>q

p=q i n → ∞ rozkład przekształca się w rozkład normalny

Podstawowe parametry

- wartość oczekiwania E(x)=np.

- wariancja σ²(x)=npy

- odchylenie standardowe σ(x) = √npq

Rozkład Poissona – jest szczególnym przypadkiem rozkładu dwumianowego, wykorzystuje się go wówczas, gdy :

- liczba doświadczeń dąży do nieskończoności (n→∞)

- prawdopodobieństwo p maleje do 0 (p→0)

- liczony np= λ jest wielkością stała (λ >0)

P(x=K) λⁿ ∙℮‾^λ / k!

Gdzie :

e=2,1718 -podstawa logarytmu normalnego

λ=np - stały parametr rozkładu

k=n - liczba realizacji elementów wyróżnionych w n doświadczeniach

Rozkład normalny Gaussa-Laplace’a- zmienna losowa ciągłą x ma rozkład normalny, jeśli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa wyraża się wzorem :

_{1 - (x-M)}²

F(x)= _{σ √2π} ^* e _{2 σ}²

Gdzie

M=M(x) - wartość oczekiwania

F(x) - funkcja gęstości rozkładu normalnego

σ = σ(x) -odchylenie standardowe

e= 2,1718 - podstawa logarytmu naturalnego

Wykresy krzywych normalnych mają właściwości:

- krzywa normalna jest krzywą w kształcie dzwonu

- funkcja f(x) ma jedno maksimum w pkt. x=M, maksimum to jest jednocześnie wartością oczekiwaną, medianą i dominantą rozkładu

- pole funkcji f(x) obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste

- wewnątrz przedziału od n=6 do M=+5 krzywa jest wypukła

‗

X = D = Me

- ∞ ∞

Pole powierzchni pod krzywa normalną = 1 ‗

Wprowadza się zmienną standaryzowaną U, którą można zdefiniować U= x – m / σ

x -średnia arytmetyczna z próby

m -średnia z populacji generalnej

σ -odchylenie standardowe z populacji

S(x) -odchylenie z próby

ESTYMACJA – zasady estymacji

Estymacja –polega na tym, że podstawie niekompletnych danych pochodzących z próby wnioskuje się o wartościach liczbowych zbiory a otrzymane w ten sposób wnioski służą za podstawę do podejmowania decyzji (zwłaszcza dla ekonomistów)

Wyróżniamy estymację :

- punktową

- przedziałową

Stosując estymację punktową doliczamy pojedynczą liczbę dla każdego nieznanego parametru np.:

- estymatorem średniej arytmetycznej jest średnia arytmetyczna z próby

- estymatorem wariancji populacji jest wariancja z próby

Estymacja przedziałowa polega na zwanego przedziałem ufności, który z dużym prawdopodobieństwem obejmuje prawdziwe wartości parametrem

Właściwości dobrego estymatora

- nie obciążalność, gdy wartość oczekiwana estymatora jest równa parametrowi z próby

- zgodność z prawem wielkich liczb, oznacza prawdopodobieństwa że estymator jest zgodny i rośnie wraz ze wzrostem liczebności próby

- efektywność, oznacza że estymator powinien mieć jak najmniejsze odchylenie standardowe lub małą wariancję.

Przedział ufności dla średniej.

Model 1. – jeśli populacja generalna ma rozkład normalny N ze znanym odchyleniem standardowym σ i próba pochodząc z populacji jest liczną n> 30, to przedział ufności dla średniej m przy współczynniku ufności 1- ∂ ma postać P { x – itd.

Współczynnik ufności – przyjmuje się subiektywnie jako dowolnie duże, bliskie jednostki prawdopodobieństwo. Jest to miara zaufania do przeprowadzonego szacunku. Najczęściej przyjmuje się współczynnik ufności : 0,90; 0,95 bo pragniemy aby w 95 przypadkach na 100 estymowany parametr mieścił się w szacunkowym przedziale.

Długość przedziału ufności zależy od przyjętego współczynnika ufności, im większy jest przedział ufności tym większą mamy pewność, że średnia mieści się w podanych granicach, a to z kolei oznacza, że przeprowadzony szacunek jest mniej dokładny. Przyjmując natomiast wąski przedział ufności mamy mniejszą pewność, że średnia populacji generalnej mieści się w zakreślonych ramach a współczynnik ufności jest bardzo niski.

Model 2. jeśli populacja generalna ma rozkład normalny N(m,σ) przy czym nie znana jest ani średnia arytmetyczna ani odchylenie standardowe z populacji tej pobrano mała próbę (n<30) i przy tych założeniach wyznaczamy przedział ufności wg. wzoru:

Stopnie swobody – liczba nie zależnych obserwacji niezbędna do oszacowania nieznanego parametru populacji

Model 3. w przypadku gdy cecha x ma w populacji dowolny rozkład i nieznane jest odchylenie standardowe σ populacji, a próba pochodząca z tej populacji jest duża (n>30), to do wyznaczenia przedziału ufności dla średniej m przy współczynniku L można zastosować wzór :

2. Przedział ufności dla wskaźnika struktury.

W przypadku analizy statystycznej prowadzonej na cechę jakościową (niemierzalną) podstawowym parametrem populacji generalnej jest wskaźnik struktury(zwany też frakcją lub prawdopodobieństwem „sukcesu”) lub po pomnożeniu przez 100% elementów posiadających wyróżnioną cechę w zbiorowości

Wskaźnik struktury w populacji określający udział wyróżnionej części w całej populacji oznaczać będziemy symbolem p, zaś zaś jego estymatorem jest wskaźnik struktury z próby losowej m/n – liczba jednostek

m – liczba jednostek w próbie mającej wyróżnioną cechę

n – liczebność prób

gdzie

m/n – wskaźnik struktury z próby losowej

U_d – odczytujemy z tabeli

Jakość oszacowanego parametru p będzie wzrastać wraz ze wzrostem liczebności prób. Względną precyzję oszacowanej próby p wyznaczamy ze wzoru:

Wyznaczanie niezbędnej liczebności prób –

-minimalna liczebność prób przy estymacji (próby)

-średniej ze znanym odchyleniem standardowym

-( w tym przykładzie nie znamy liczebności prób.

Minimalna liczebność próby, niezbędną do oszacowania wartości średniej m na poziomie ufności 1-L, z max błędem szacunku nie przekraczającym d, ze wzoru

n= Ud² _* σ / d²

gdzie

σ - odchylenie standardowe populacji

Ud² – wartość zmiennej losowej w standaryzowanym rozkładzie normalnym, odczytywane z tablic rozkładu normalnego

d - dopuszczalny, ustalony z góry maksymalny błąd szacunku średniej m.

- jeśli n nie jest liczbą całkowitą to zaokrąglamy w górę , np. 15,02=16,00

- jeśli wariancja populacji jest nieznana ale znana jest wariancja (odchylenie standardowe d²) uzyskana z małej wstępnej próby o liczebności , wówczas minimalną liczebność próby potrzebną do oszacowania średniej m można określić ze wzoru n=t_d² _* S(x)² / d²

Gdzie

S(x)² -wartość zmiennej losowej t –studenta odchylone z tabeli rozkładu dla n_o-1 stopni swobody oraz współczynnika ufności 1-L

d - dopuszczalny, ustalony z góry maksymalny błąd szacunku średniej m.

- jeśli obliczana liczebność prób n spełnia nierówność n ≤n_o to liczebność próby wstępnej jest wystarczająca

- jeśli natomiast n > n_o to należy dolosować do właściwej próby jeszcze n-n_o elementów.

Minimalna liczebność próby przy szacunku frakcji ze znaną wielkością frakcji-

W przypadku, gdy możliwe jest przeprowadzenie badania wstępnego (pilotażowego) to minimalna liczebność próby, która gwarantuje żądaną precyzję przy szacowaniu wskaźnika struktury p, przy założonym maksymalnym błędzie szacunku d wyznaczamy ze wzoru :

-gdy nieznany rzędu wielkości szacowanego wskaźnika struktury, to obliczamy go ze wzoru: