I CEL ĆWICZENIA

Celem naszego ćwiczenia było doświadczalne wyznaczenie częstotliwości drgań własnych, tłumionych i nietłumionych oraz zbadanie wpływu parametrów elementów sprężystych oraz tłumiących na drgania układu. Badania wykonaliśmy na komputerze klasy PC za pomocą programu TM 150.20.

II WSTĘP TEORETYCZNY ¹

Drgania – proces, w którym parametry zbliżają się i oddalają od pewnej wartości przeciętnej.

Drgania można podzielić następująco:

1. Drgania deterministyczne

- okresowe

- nieokresowe

1. Drgania stochastyczne (losowe)

Na potrzeby naszych badań możemy wyróżnić drgania:

1. Swobodne

- nietłumione

- tłumione

1. Wymuszone

- kinematycznie

- bezwładnościowo

Drgania tłumione występują wtedy gdy do układu drgającego dołączone jest zewnętrzne tłumienie. Ruch takiego układu ma charakter drgań o stale malejącej amplitudzie.

Wyróżniamy tłumienie:

1. Wewnętrzne – wynikające z tarć wewnątrz układu

2. Zewnętrzne – wynikające z oddziaływania na element drgający tłumika, np. olejowego

Dekrement tłumienia obrazuje jak pomniejsza się amplituda drgań tłumionych w kolejnych okresach, przez wpływ tłumienia.

Siłę tłumiącą można wyrazić następującym wzorem:

$$F_{d} = d \bullet \dot{x} = d \bullet \dot{\varphi} \bullet b$$

Gdzie:

F_d – siła tłumiąca [N]

b – odległość zamocowania tłumika od mocowania belki [m]

$\dot{\varphi} - \ pochodna\ kata\ wychylania\ sie\ belki$ [rad]

$\dot{x} - \ predkosc\ wychylania\ sie\ belki\ $[m]

d – stała tłumienia [Ns/m]

Siłę w sprężynie określa wzór:

F_c = c • x = c • φ • a

F_c – siła w sprężynie [N]

c – stała sprężyny [N/m]

x – wychylenie się belki [m]

φ - kąt wychylenia się belki [rad]

a – odległość między punktem zamocowania belki a punktem zamocowania sprężyny [m]

Drgania swobodne występują wtedy kiedy na układ drgający nie wpływają żadne zewnętrzne siły. Zachodzą w wyniku wstępnego wychylenia układu i trwają aż do momentu zaniknięcia w wyniku tłumienia.

Rezonans to zjawisko pojawiające się w układzie drgającym które powoduje gwałtowny wzrost amplitudy drgań, powstaje gdy częstość drgań własnych zbliża się do wartości drgań wymuszających. Rezonans określa krzywa rezonansowa.

III SCHEMAT I OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO

Rysunek Schemat stanowiska pomiarowego

Elementy stanowiska:

1. Jednostka kontrolna

2. Rama aluminiowa

3. Urządzenie rejestrujące przemieszczenie końca belki

4. Sprężyna

5. Stymulator przemieszczenia

6. Stymulator masy skupionej

7. Belka

8. Element mocujący belkę

9. Tłumik

Urządzenie służy zarówno do pomiarów drgań swobodnych jak i wymuszonych.

IV CZĘŚĆ OBLICZENIOWA

m =	1,68	[kg]	masa belki
c =	1500	[N/m]	stałe sprężyn
	3000
d ≈	5000	[Ns/m]	stałe tłumienia tłumika
	15000
L =	0,732	[m]	długość belki

1. Drgania swobodne

Częstotliwość naturalną wyrażamy wzorem:

$$f = \frac{1}{2 \bullet \pi} \bullet \sqrt{\frac{3 \bullet a^{2} \bullet c}{m \bullet L^{2}}}$$

f – częstotliwość naturalna [Hz]

a – odległość między punktem zamocowania sprężyny, a punktem mocowania belki [m]

c – stała sprężyny [N/m]

m – masa belki [kg]

L – długość całkowita belki [m]

Sprawdzenie jednostek:

$$\sqrt{\frac{\frac{N}{m} \bullet m^{2}}{kg \bullet m^{2}}} = \sqrt{\frac{N}{kg\ \bullet m}} = \sqrt{\frac{1}{s^{2}}} = \frac{1}{s} = s^{- 1} = \lbrack Hz\rbrack$$

DRGANIA SWOBODNE
nr dośw
1
2
3
4
5
6

OBLICZENIA:

π ≈ 3.14

$f_{1} = \frac{1}{2 \bullet \pi} \bullet \sqrt{\frac{3 \bullet 1500 \bullet {0.33}^{2}}{1,68 \bullet {0.732}^{2}}}$=6.19 [Hz]

Doświadczalnie = 6.49 [Hz]

$f_{2} = \frac{1}{2 \bullet \pi} \bullet \sqrt{\frac{3 \bullet 1500 \bullet {0.6}^{2}}{1,68 \bullet {0.732}^{2}}}$=6.75 [Hz]

Doświadczalnie = 7.14 [Hz]

$f_{3} = \frac{1}{2 \bullet \pi} \bullet \sqrt{\frac{3 \bullet 1500 \bullet {0.65}^{2}}{1,68 \bullet {0.732}^{2}}}$=7.32 [Hz]

Doświadczalnie = 7.58 [Hz]

$f_{4} = \frac{1}{2 \bullet \pi} \bullet \sqrt{\frac{3 \bullet 3000 \bullet {0.55}^{2}}{1,68 \bullet {0.732}^{2}}}$=8.76 [Hz]

Doświadczalnie = 9.23 [Hz]

$f_{5} = \frac{1}{2 \bullet \pi} \bullet \sqrt{\frac{3 \bullet 3000 \bullet {0.6}^{2}}{1,68 \bullet {0.732}^{2}}}$=9.55 [Hz]

Doświadczalnie = 9.92 [Hz]

$f_{6} = \frac{1}{2 \bullet \pi} \bullet \sqrt{\frac{3 \bullet 3000 \bullet {0.65}^{2}}{1,68 \bullet {0.732}^{2}}}$=10.35 [Hz]

Doświadczalnie = 10.42 [Hz]

Błąd względny:

$$p_{n} = \frac{f_{d}{- f}_{o}}{f_{d}} \bullet 100\%$$

Gdzie:

p – błąd względny [%]

f_d - częstotliwość doświadczalna

f_o - częstotliwość obliczeniowa

$$p_{1} = \frac{6.49 - 6.19}{6.49} \bullet 100 = 4.6\lbrack\%\rbrack$$

$$p_{2} = \frac{7.14 - 6.75}{7.14} \bullet 100 = 5.4\lbrack\%\rbrack$$

$$p_{3} = \frac{7.58 - 7.32}{7.58} \bullet 100 = 3.4\lbrack\%\rbrack$$

$$p_{4} = \frac{9.23 - 8.76}{9.23} \bullet 100 = 5.3\lbrack\%\rbrack$$

$$p_{5} = \frac{9.92 - 9.55}{9.92} \bullet 100 = 3.7\lbrack\%\rbrack$$

$$p_{6} = \frac{10.42 - 10.35}{10.42} \bullet 100 = 0.6\lbrack\%\rbrack$$

1. Drgania nieswobodne

Wzór na masowy moment bezwładności belki względem punktu O:

$$J_{O} = \frac{L^{2} \bullet m}{3}$$

Gdzie:

J_O – masowy moment bezwładności [kg·m²]

m –masa belki [kg]

L – długość całkowita belki [m]

Sprawdzenie jednostek:

[kg • m²]

Wzór na naturalną częstotliwość kątową:

$$\omega_{o}^{2} = \frac{3 \bullet c \bullet a^{2}}{m \bullet L^{2}} = \frac{c \bullet a^{2}}{J_{O}}$$

Gdzie:

J_O – masowy moment bezwładności [kg·m²]

m –masa belki [kg]

L – długość całkowita belki [m]

a – odległość między punktem zamocowania sprężyny, a punktem mocowania belki [m]

c – stała sprężyny [N/m]

Sprawdzenie jednostek:

$$\frac{\frac{N}{m} \bullet m^{2}}{kg \bullet m^{2}} = \frac{N}{m} \bullet \frac{1}{\text{kg}} = \frac{kg \bullet m}{\frac{s^{2}}{m}} \bullet \frac{1}{\text{kg}} = \frac{1}{s} = \lbrack Hz\rbrack$$

Wzór na częstotliwość kątową drgań:

$$\omega_{d} = \omega_{o} \bullet \sqrt{1 - D^{2}}$$

ω_d – częstotliwość Katowa drgań układu [Hz]

ω_o – naturalna częstotliwość kątowa [Hz]

D − stopien tlumienia [ ]

Sprawdzenie jednostek:

$$\left\lbrack \text{Hz} \right\rbrack = \frac{1}{s}$$

ω_o , która ma jednostkę [rad/s] została zamieniona na [Hz], dzięki zależności ω₌2 πf.Zależność zmiany częstości na częstotliwość:

$$f = \frac{1}{2 \bullet \pi} \bullet \sqrt{\omega^{2}}$$

$$f = \frac{\omega}{2\pi}/ \bullet 2\pi$$

Wzór na stopień tłumienia:

$$D = \frac{d \bullet b^{2}}{2 \bullet J_{o} \bullet \omega_{o}}$$

Gdzie:

D – stopień tłumienia [ ]

J_O – masowy moment bezwładności [kg·m²]

d – stała tłumienia [Ns/m]

b – odległość zamocowania tłumika od mocowania belki [m]

Sprawdzenie jednostki:

$\frac{\frac{N \bullet s}{m} \bullet m^{2}}{\frac{kg \bullet m^{2} \bullet \frac{1}{s}}{\frac{\text{kg}}{s}}} = \frac{N \bullet s}{m} \bullet \frac{s}{\text{kg}} = \frac{N \bullet s^{2}}{m \bullet kg} = \frac{\frac{kg \bullet N}{s^{2}} \bullet s^{2}}{m \bullet kg} = \lbrack\ \ \rbrack$ – jednostka bezwymiarowa

DRGANIA TŁUMIONE
nr
1
2
3
4
stałe do obliczeń:
c = 3000 N/m
a = 0,55 m

OBLICZENIA

$$J_{o} = \ \frac{1.68 \bullet {0.732}^{2}}{3} \approx 0.30006$$

$$\omega_{o} = \sqrt{\frac{3000 \bullet {0.55}^{2}}{0.3}} = 55.99$$

2 · J_o·ω_o=33

1. Doświadczenie pierwsze

$$D_{1} = \frac{5 \bullet {0.15}^{2}}{33} \approx 0.003$$

$$\omega_{d_{1}} = 55.99 \bullet \sqrt{1 - {0.003}^{2}} = 55.9897$$

$$f_{1} = \frac{54.9889}{2 \bullet \pi} \approx 8.7562$$

2. Doświadczenie drugie

$$D_{2} = \frac{15 \bullet {0.15}^{2}}{33} \approx 0.01$$

$$\omega_{d_{2}} = 55.99 \bullet \sqrt{1 - {0.01}^{2}} = 55.9872$$

$$f_{2} = \frac{55.9872}{2 \bullet \pi} \approx 8.9106$$

3. Doświadczenie trzecie

$$D_{3} = \frac{5 \bullet {0.25}^{2}}{33} \approx 0.0094$$

$$\omega_{d_{3}} = 55.99 \bullet \sqrt{1 - {0.0094}^{2}} = 55.9875$$

$$f_{3} = \frac{55.9875}{2 \bullet \pi} \approx 8.91069$$

4. Doświadczenie czwarte

$$D_{4} = \frac{15 \bullet {0.25}^{2}}{33} \approx 0.028$$

$$\omega_{d_{4}} = 55.99 \bullet \sqrt{1 - {0.028}^{2}} = 55.9674$$

$$f_{4} = \frac{55.9974}{2 \bullet \pi} \approx 8.9074$$

Pomiar średnich z badanych częstotliwości drgań:

1. $\frac{9.09 + 8.99 + 8.99}{3} = 9.02$

2. $\frac{9.4 + 9.26 + 9.16}{3} = 9.27$

3. $\frac{9.12 + 9.33 + 9.16}{3} = 9.20$

4. $\frac{9.26 + 9.4 + 9.33}{3} = 9.33$

Badania tłumione – błąd względny:

$$p_{1} = \frac{9.02 - 8.7562}{9.02} \bullet 100 = 1.2\ \lbrack\%\rbrack$$

$$p_{2} = \frac{9.27 - 8.9106}{9.27} \bullet 100 = 3.8\ \lbrack\%\rbrack$$

$$p_{3} = \frac{9.20 - 8.910969}{9.20} \bullet 100 = 3.1\ \lbrack\%\rbrack$$

$$p_{4} = \frac{9.33 - 8.9074}{9.33} \bullet 100 = 4.5\ \lbrack\%\rbrack$$

V WNIOSKI

OGÓLNE

1. jeżeli czynniki tłumiące są zbyt duże, drgania nie występują

2. jeżeli tłumienia nie ma , to mamy drgania swobodne nietłumione

3. jeżeli czynniki tłumiące nie są zbyt duże, powrót do stanu równowagi następuje oscylacyjnie

4. Na skutek nieuwzględnienia tłumienia drgania w układzie nie zanikają, stąd też model dokładniejszy musi uwzględnić zjawisko dyssypacji energii²

5. Amplituda maleje tym szybciej, im większy jest dekrement tłumienia oraz im mniejszy jest okres drgań T.³

6. Częstość ruchu to liczba pełnych drgań dokoła położenia równowagi, wykonywanych w jednostce czasu stąd pulsacja wynosi

7. Częstotliwości drgań tłumionych i nietłumionych (jak i okresy) są różne , a więc pulsacja drgań tłumionych jest mniejsza od pulsacji drgań nietłumionych, a tym samym okres jest dłuższy T >T_o. W związku z tym to T podczas gdy .⁴

NIETŁUMIONE

1. wyniki pomiarów doświadczalnych i analitycznych różnią się od siebie. Nie jest to duża różnica, sięga ona maksymalnie 5,3%.

2. Najbardziej wartości analitycznej było doświadczenie numer 6 gdzie błąd wynosił zaledwie 0.6%

3. Na zróżnicowanie miały wpływ różne czynniki. Temperatura powierza, niedokładność pomiarowa amplitud w programie komputerowym, nie dokładne umieszenie sprężyny w wyznaczonej odległości. Dlatego należy przyjąć pewien margines błędu.

4. Można zauważyć że im większa odległość zamocowanie sprężyny tym częstotliwość wzrasta.

5. Im większa wartość stałej sprężyny tym częstotliwość większa.

6. przy tych samych odległościach mocowania sprężyny a różnych wartościach stałej sprężyny wartości częstotliwości są większe o ok. 3Hz

TŁUMIONE

1. Amplituda drgań tłumionych maleje na skutek oporów ośrodka, w którym zachodzą drgania.⁵

2. Logarytmiczny dekrement tłumienia charakteryzuje efektywność tłumienia i jest definiowany jako logarytm naturalny ze stosunku dwóch wychyleń x, jednego wziętego w momencie t a drugiego wziętego w momencie późniejszym o jeden okres drgań T.

3. Obliczenia analityczne są bardzo podobne dla każdego doświadczenia związane jest to ze zbyt dużym zaokrąglaniem liczb oraz liczby PI, dlatego wyniki mogą być niemiarodajne.

4. Im dalej punkt zamocowania tłumika tym częstotliwości są większe (ok.0.3 Hz)

5. Im większa stała tłumienia tym drgania większe (ok 0,4 Hz)

VI LITERATURA

1. Z. Osiński: Teoria drgań, PWN Warszawa 1978, str. 80-81.

2. Z. Osiński: Tłumienie drgań mechanicznych. PWN Warszawa 1986. str. l8-55.

3. http://portalwiedzy.onet.pl/137174,,,,drgania_tlumione,haslo.html

4. Z. Dyląg, A.Jakubowicz, Z.Orłoś: Wytrzymałość materiałów. Tom 1 i 2, WNT, Warszawa, 1996.

---

1. Informacje zaczerpnięte z instrukcji przygotowującej do zajęć laboratoryjnych↩

2. . Z. Osiński: Teoria drgań, PWN Warszawa 1978, str. 80-81.↩

3. . Z. Osiński: Tłumienie drgań mechanicznych. PWN Warszawa 1986. str. l8-55.↩

4. Wzory zaczerpnięte z instrukcji przygotowującej do laboratorium↩

5. http://portalwiedzy.onet.pl/137174,,,,drgania_tlumione,haslo.html↩