• Równanie wektorowe powierzchni środkowej

• Kowariantne wektory bazy:

• Współczynniki pierwszej formy różniczkowej:

• Na podstawie iloczynu skalarnego
  $\left| \overrightarrow{j} \right| \bullet \left| \overrightarrow{i} \right| \bullet \cos(u)$ otrzymamy:

• Kowariantny tensor metryczny:

dopełnienie elementu

• Wektor jednostkowy m:

• Korzystając z iloczynu wektorowego otrzymano:

• Współczynniki drugiej formy różniczkowej (kowariantnej):

• Wyznaczniki drugiej formy różniczkowej:

• Kowariantny tensor drugiej formy różniczkowej:

• Mieszany tensor drugiej formy różniczkowej:

• Współczynniki trzeciej formy różniczkowej

• Krzywizna Gaussa:

• Krzywizna średnia:

• Symbole Christoffela drugiego rodzaju:

Ponieważ pochodna ze stałej równa się zero to

PODSTAWIENIE DANYCH LICZBOWYCH

a = R = 0,5*19,7=9,85m

• Współczynniki I formy różniczkowej

• Wyznacznik I formy różniczkowej

• Kowariantny tensor metryczny

• Współczynniki II formy różniczkowej

[m]

• Wyznacznik II formy różniczkowej

• Kowariantny tensor II formy różniczkowej

• Mieszany tensor II formy różniczkowej

• Współczynniki III formy różniczkowej

• Krzywizna Gaussa

• Krzywizna średnia

• Symbole Christoffela II rodzaju

ZESTAWIENIE OBCIĄŻEŃ

1. Ciężar własny

Ciężar własny zestawiono na 1m długości powłoki. Powłoka wykonana ze stali o ciężarze objętościowym $\gamma_{s} = 78,5\frac{\text{kN}}{m^{3}}$

Ciężar 1 pierścienia płaszcza na 1 metr:

g_k, i = γ_s • 1, 0 • h_i • t_pl

Dane:

Wysokość płaszcza: h_pl = 19 528mm

Liczba pierścieni płaszcza: n = 9

Grubość pierścieni płaszcza: t_pl = 16,  14, 14,  12,  10,  8,  8,  8,  8 mm

Wysokość jednego pierścienia:

$$h_{i} = \frac{h_{pl}}{n} = \frac{19528}{9} = 2170,0mm = 2,17m$$

g_k1 = 78, 5 • 1, 0 • 2, 17 • 0, 016 = 2, 73kN/m

g_k2 = 78, 5 • 1, 0 • 2, 17 • 0, 014 = 2, 38kN/m

g_k3 = 78, 5 • 1, 0 • 2, 17 • 0, 014 = 2, 38kN/m

g_k4 = 78, 5 • 1, 0 • 2, 17 • 0, 012 = 2, 04kN/m

g_k5 = 78, 5 • 1, 0 • 2, 17 • 0, 010 = 1, 70kN/m

g_k6 = 78, 5 • 1, 0 • 2, 17 • 0, 008 = 1, 36kN/m

g_k7 = 78, 5 • 1, 0 • 2, 17 • 0, 008 = 1, 36kN/m

g_k8 = 78, 5 • 1, 0 • 2, 17 • 0, 008 = 1, 36kN/m

g_k9 = 78, 5 • 1, 0 • 2, 17 • 0, 008 = 1, 36kN/m

$$g_{k} = \sum_{}^{}{g_{\text{ki}} = 16,67kN/m}$$

1. Napór cieczy

Dane:

Ciężar objętościowy wod γ_w = 10kN/m³

$$h_{i} = \frac{h_{pl}}{n} = \frac{19528}{9} = 2170,0mm = 2,17m$$

Całkowita wysokość:h_pl = 19, 528m

Liczba pierścieni: n= 9

Średnica wew. płaszcza : d_w, pl = 19, 7m

Parcie cieczy:

$$P_{k} = \ \frac{1}{2}d_{w,pl} \bullet h_{pl} \bullet \gamma_{w} = 0,5 \bullet 19,7 \bullet 19,528 \bullet 10 = 1923,5\ kN/m$$

RÓWNANIA RÓWNOWAGI

Wykorzystując umowę o sumowaniu otrzymano:

Wykorzystując wzory na pochodne kowariantne otrzymano:

Symbole Christoffela II rodzaju są równe 0, więc:

STAN BŁONOWY

• Równania równowagi

• Stosując umowę o sumowaniu otrzymano:

1.  Nⁱ¹|_i + P¹=

2.  Nⁱ²|_i + P²=

 N¹¹|₁ = N_,1¹¹ + Γ_r1¹N^r1 + Γ₁¹N^1r = N_,1¹¹ + Γ₁₁¹N¹¹ + Γ₂₁¹N²¹ + Γ₁₁¹N¹¹ + Γ₂₁¹N¹² = N_,1¹¹

 N²¹|₂ = N_,2²¹ + Γ_r2²N^r1 + Γ₂¹N^2r = N_,2²¹ + Γ₁₁²N¹¹ + Γ₂₂²N²¹ + Γ₁₂¹N²¹ + Γ₂₂¹N²² = N_,2²¹

 N¹²|₁ = N_,1¹² + Γ_r1¹N^r2 + Γ₁²N^1r = N_,1¹² + Γ₁₁¹N¹² + Γ₂₁¹N²² + Γ₁₁¹N¹¹ + Γ₂₁²N¹² = N_,1¹²

 N²²|₂ = N_,2²² + Γ_r2²N^r1 + Γ₂²N²¹ = N_,2²² + Γ₁₂²N²¹ + Γ₂₂²N²² + Γ₁₂²N²¹ + Γ₂₂²N²² = N_,2²²

• Wykorzystując wzory na pochodne kowariantne i podstawiając dane wartości

otrzymano:

• Składowe wektora obciążenia:

• Wektor obciążenia:

• Ciężar własny:

- Parcie cieczy:

Wyznaczanie sił wewnętrznych

z równania

Warunek brzegowy

Warunek brzegowy

Podstawiając C₂ otrzymano

Przemieszczenia i odkształcenia

w - przemieszczenia

γ – odkształcenia

• Związek fizyczny (*)

gdzie:

Podstawiając znane wartości g_ij otrzymano:

• Składowe tensora odkształcenia (kontrawariantnego)

• Kowariantny tensor odkształcenia

• Podstawiając znane wartości g_ij otrzymano:

• Zależność między odkształceniami a przemieszczeniami – związek geometryczny

Podstawiając znane wartości g_ij i b_ij otrzymano:

zależności miedzy odkształceniami a przemieszczeniami

Podstawiając za składowe tensora odkształcenia zależności z punktu (*) otrzymano:

• Wyznaczenie składowych wektora przemieszczenia z równania:

Z punktu A) składowa pionowa w¹

Warunek brzegowy

Podstawiając za S₁ otrzymano:

Z punktu B) składowa styczna do obwodu w²

ponieważ to

Z punktu C) składowa pozioma w³

• Uogólnione siły przekrojowe

Momenty zginające towarzyszące uogólnionym siłom przekrojowym w stanie błonowym

$$M^{\text{ij}} = - \frac{\eta}{\varepsilon}\left\{ g^{\text{ij}}\frac{P^{3}}{\varepsilon} + N^{\text{ij}} \right\}\text{\ lub\ }M^{\text{ij}} = \frac{2h^{2}}{3}HN^{\text{ij}}$$

$$\varepsilon = \frac{\text{sinβ}}{\sqrt{g}} = \frac{1}{a} = \frac{1}{9,85} = 0,102$$

$$\xi^{2} = \left( \frac{\varepsilon}{\omega^{2}} \right)^{\frac{2}{n}}\ \ \ ;n = 1,2,3$$

$$\omega^{3} = \frac{1 - (1 - v^{2})}{h^{2}}$$

$${\overset{\overline{}}{M}}^{11} = \frac{2h^{2}}{3} \bullet H \bullet {\overset{\overline{}}{N}}^{11} = \frac{{2h}^{2}}{3} \bullet \frac{1}{2a} \bullet 2h\gamma_{s}\left( u^{1} - L \right) = \frac{{2h}^{3}}{6a}\gamma_{s}\left( u^{1} - L \right)$$

$${\overset{\overline{}}{M}}^{11} = {\overset{\overline{}}{M}}^{21} = \frac{2h^{2}}{3} \bullet H \bullet {\overset{\overline{}}{N}}^{12} = 0$$

$${\overset{\overline{}}{M}}^{22} = \frac{2h^{2}}{3} \bullet H \bullet {\overset{\overline{}}{N}}^{22} = \frac{{2h}^{2}}{3} \bullet \frac{1}{2a} \bullet \frac{1}{a} \bullet \gamma_{c}\left( u^{1} - L \right) = \frac{{2h}^{3}}{6a^{2}}\gamma_{c}\left( u^{1} - L \right)$$

- siły tnące

Q^j = M^ij/_i

Q¹ = M¹¹/₁ + M²¹/₂ = M¹¹/₁

Q² = M¹²/₁ + M²²/₂ = 0

- warunki brzegowe

M_,1¹¹(U¹=0) = 0

$${M_{,1}}^{11} = \frac{{2h}^{3}}{6a^{2}}\gamma_{c}\left( \frac{\left( U^{1} \right)^{2}}{2} - Lu^{1} \right) + D$$

$$0 = \frac{{2h}^{3}}{6a^{2}}\gamma_{c}\left( \frac{\left( 0 \right)^{2}}{2} - L0 \right) + D$$

D = 0

$$\left\{ \begin{matrix} Q^{1} = \frac{{2h}^{3}}{6a^{2}}\gamma_{c}\left( \frac{\left( U^{1} \right)^{2}}{2} - Lu^{1} \right) \\ Q^{2} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

• Przejście z wielkości tensorowych na fizyczne

$$N_{\text{ij}}^{'} = \sqrt{\frac{g_{\text{ij}}}{g^{\text{li}}}}\overset{\overline{}}{N^{\text{ij}}}$$

$$N_{11}^{'} = \sqrt{\frac{g_{11}}{g^{11}}}\overset{\overline{}}{N^{11}} = {\overset{\overline{}}{N}}^{11} = 2h\gamma_{s}(U^{1} - L)$$

$$N_{12}^{'} = \sqrt{\frac{g_{22}}{g^{11}}}\overset{\overline{}}{N^{12}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{1}}{\overset{\overline{}}{N}}^{12} = 0$$

$$N_{21}^{'} = \sqrt{\frac{g_{11}}{g^{22}}}\overset{\overline{}}{N^{21}} = \sqrt{\frac{1}{a^{3}}}{\overset{\overline{}}{N}}^{21} = 0$$

$$N_{22}^{'} = \sqrt{\frac{g_{22}}{g^{22}}}\overset{\overline{}}{N^{22}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{\frac{1}{a^{2}}}}{\overset{\overline{}}{N}}^{22} = a^{2} \bullet \frac{1}{a}\gamma_{c}\left( U^{1} - L \right) = a\gamma_{c}(U^{1} - L)$$

$$Q_{i}^{'} = \frac{1}{\sqrt{g^{\text{ii}}}}{\overset{\overline{}}{Q}}^{i}$$

$$Q_{1}^{'} = \frac{1}{\sqrt{g^{11}}}{\overset{\overline{}}{Q}}^{1} = {\overset{\overline{}}{Q}}^{1} = \frac{{2h}^{2}}{6a^{2}}\gamma_{c}\left( \frac{\left( U^{1} \right)^{2}}{2} - Lu^{1} \right)$$

$$Q_{2}^{'} = \frac{1}{\sqrt{g^{22}}}{\overset{\overline{}}{Q}}^{2} = 0$$

$$M_{i1}^{'} = - \sqrt{\frac{g \bullet g^{11}}{g^{\text{ii}}}}{\overset{\overline{}}{M}}^{i2}$$

$$M_{i2}^{'} = \sqrt{\frac{g \bullet g^{22}}{g^{\text{ii}}}}{\overset{\overline{}}{M}}^{i1}$$

$$M_{11}^{'} = - \sqrt{\frac{g \bullet g^{11}}{g^{11}}}{\overset{\overline{}}{M}}^{12} = 0$$

$$M_{21}^{'} = - \sqrt{\frac{g \bullet g^{11}}{g^{21}}}{\overset{\overline{}}{M}}^{22} = - \sqrt{\frac{a^{2} \bullet 1}{\frac{1}{a^{2}}}}{\overset{\overline{}}{M}}^{22} = - a^{2} \bullet \frac{{2h}^{2}}{6a^{2}}\gamma_{c}\left( U^{1} - L \right) = - \frac{{2h}^{2}}{6}\gamma_{c}\left( U^{1} - L \right)$$

$$M_{12}^{'} = \sqrt{\frac{g \bullet g^{22}}{g^{11}}}{\overset{\overline{}}{M}}^{11} = \sqrt{\frac{a^{2} \bullet \frac{1}{a^{2}}}{1}}{\overset{\overline{}}{M}}^{11} = \frac{{2h}^{3}}{6a^{}}\gamma_{s}\left( U^{1} - L \right)$$

$$M_{22}^{'} = \sqrt{\frac{g \bullet g^{22}}{g^{22}}}{\overset{\overline{}}{M}}^{21} = 0$$

$$P_{i}^{'} = \sqrt{g_{\text{ii}}} \bullet P^{i}$$

$$P_{1}^{'} = \sqrt{g_{11}} \bullet P^{1} = P^{1} = - 2h\gamma_{s}$$

$$P_{2}^{'} = \sqrt{g_{22}} \bullet P^{2} = 0$$

P₃^′ = P³ = −γ_c(U¹−L)

$$w_{i}^{'} = \sqrt{g_{\text{ii}}} \bullet w^{i}$$

$$w_{1}^{'} = \sqrt{g_{11}} \bullet w^{1} = w^{1} = \frac{2h\gamma_{s} - \nu a\gamma_{c}}{2Eh}\left( \frac{\left( U^{1} \right)^{2}}{2} - Lu^{1} \right)$$

$$w_{2}^{'} = \sqrt{g_{22}} \bullet w^{2} = 0$$

$$w_{3}^{'} = w^{3} = \frac{a\left( \nu 2h\gamma_{s} - a\gamma_{c} \right)}{2Eh}(U^{1} - L)$$

WARTOŚCI SIŁ WEWNĘTRZNYCH ORAZ PRZEMIESCZEŃ W STANIE BŁONOWYM

• Wielkości tensorowe

$${\overset{\overline{}}{N}}^{11} = 2h\gamma_{s}\left( u^{1} - L \right)\ \left\lbrack \frac{\text{kN}}{m} \right\rbrack$$

$${\overset{\overline{}}{N}}^{22} = \frac{1}{a}\gamma_{c}\left( u^{1} - L \right)\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m} \right\rbrack$$

$${\overset{\overline{}}{N}}^{12} = {\overset{\overline{}}{N}}^{21} = 0\ \left\lbrack \frac{\text{kN}}{m} \right\rbrack$$

$${\overset{\overline{}}{P}}^{1} = - 2h\gamma_{s}\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m^{2}} \right\rbrack$$

$${\overset{\overline{}}{P}}^{2} = 0$$

$${\overset{\overline{}}{P}}^{3} = - \gamma_{c}\left( u^{1} - L \right)\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m^{2}} \right\rbrack$$

$${\overset{\overline{}}{w}}^{1} = \frac{2h\gamma_{s} - \nu a\gamma_{c}}{2Eh}\left( \frac{\left( u^{1} \right)^{2}}{2} - Lu^{1} \right)\ \lbrack m\rbrack$$

$${\overset{\overline{}}{w}}^{2} = 0$$

$${\overset{\overline{}}{w}}^{3} = \frac{a\left( \nu 2h\gamma_{s} - a\gamma_{c} \right)}{2Eh}\left( u^{1} - L \right)\lbrack m\rbrack$$

$${\overset{\overline{}}{M}}^{11} = \frac{2h^{2}}{3} \bullet H \bullet {\overset{\overline{}}{N}}^{11}\left\lbrack \frac{\text{kNm}}{m} \right\rbrack$$

$${\overset{\overline{}}{M}}^{12} = {\overset{\overline{}}{M}}^{21} = 0$$

$${\overset{\overline{}}{M}}^{22} = \frac{2h^{2}}{3} \bullet H \bullet {\overset{\overline{}}{N}}^{22}\left\lbrack \frac{\text{kNm}}{m} \right\rbrack$$

• Wielkości fizyczne

$${N^{11} = \overset{\overline{}}{N}}^{11} = 2h\gamma_{s}\left( u^{1} - L \right)$$

N¹² = N²¹ = 0

$${N^{22} = a^{2}N}^{22} = a^{2}\frac{1}{a}\gamma_{c}\left( u^{1} - L \right) = a\gamma_{c}\left( u^{1} - L \right)$$

γc	a	u1	L	N22
10	9,85	0	19,53	-1923,7
		2,17		-1710
		4,34		-1496,2
		6,51		-1282,5
		8,68		-1068,7
		10,85		-854,98
		13,02		-641,24
		15,19		-427,49
		17,36		-213,75
		19,53		0

$${Q_{1} = \overset{\overline{}}{Q}}^{1} = \frac{2h^{2}}{6a^{2}}\gamma_{c}\left( \frac{{(u^{1})}^{2}}{2} - Lu^{1} \right)\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m} \right\rbrack$$

Q₂ = 0

$$M_{11} = - \sqrt{\frac{g \bullet g^{11}}{g^{11}}} \bullet {\overset{\overline{}}{M}}^{12} = 0$$

$$M_{21} = - \sqrt{\frac{g \bullet g^{11}}{g^{22}}} \bullet {\overset{\overline{}}{M}}^{22} = - \sqrt{\frac{a^{2} \bullet 1}{\frac{1}{a^{2}}}} \bullet {\overset{\overline{}}{M}}^{22} = - a^{2} \bullet \frac{2h^{2}}{3} \bullet H \bullet {\overset{\overline{}}{N}}^{22}$$

2h	N22	H	a2	M22
0,016	-19,921	0,051	97	0,00841
0,014	-17,707			0,00572
0,014	-15,494			0,00501
0,012	-13,280			0,00315
0,01	-11,067			0,00182
0,008	-8,854			0,00093
0,008	-6,640			0,0007
0,008	-4,427			0,00047
0,008	-2,213			0,00023
0,008	0,000			0

$$M_{12} = \sqrt{\frac{g \bullet g^{22}}{g^{11}}} \bullet {\overset{\overline{}}{M}}^{11} = \sqrt{\frac{a^{2} \bullet \frac{1}{a^{2}}}{1}} \bullet {\overset{\overline{}}{M}}^{11} = {\overset{\overline{}}{M}}^{11} = \frac{2h^{2}}{3} \bullet H \bullet {\overset{\overline{}}{N}}^{11}$$

M₂₂ = 0

$${P^{1} = \overset{\overline{}}{P}}^{1} = - 2h\gamma_{s}$$

P² = 0

$${P^{3} = \overset{\overline{}}{P}}^{3} = - \gamma_{c}\left( u^{1} - L \right)$$

$${w^{1} = \overset{\overline{}}{w}}^{1} = \frac{2h\gamma_{s} - \nu a\gamma_{c}}{2Eh}\left( \frac{\left( u^{1} \right)^{2}}{2} - Lu^{1} \right)$$

w² = 0

$${w^{3} = \overset{\overline{}}{w}}^{3} = \frac{a\left( \nu 2h\gamma_{s} - a\gamma_{c} \right)}{2Eh}\left( u^{1} - L \right)$$

STAN ZGIĘCIOWY

- Przemieszczenia

gdzie:

;

Przyjmujemy dla osiowej symetrii, że:

Dla walca otrzymano:

- Siły przekrojowe:

- przemieszczenia

- warunki brzegowe dla walca :

dla u¹=0

A.)

B.)

Ad. A.)

Podstawiając A.) i B.) otrzmymamy

• Obliczanie wartości S

Gdzie:

• Obliczenie wartości sił wewnętrznych

Dane :

g = a² = 97, 02

g¹¹ = 1

$$n_{1} = - \sqrt{\frac{1}{2a}} = - 0,225$$

$$g^{22} = \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{{9,85}^{2}} = 0,01031$$

• Przemieszczenia

• Wielkości tensorowe

- siły wewnętrzne

$${\hat{N}}^{22} = - \beta^{22}\left( C_{12}^{2}S^{12} + C_{22}^{2}S^{22} \right)\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m} \right\rbrack$$

$${\hat{Q}}^{1} = \frac{\varepsilon}{\omega}gg^{11}n_{1}\left\lbrack S^{12}\left( C_{12}^{1} + C_{12}^{2} \right) + S^{22}\left( C_{22}^{1} + C_{22}^{2} \right) \right\rbrack\left\lbrack \frac{\text{kN}}{m} \right\rbrack$$

$${\hat{Q}}^{2} = 0$$

$${\hat{M}}^{11} = \frac{\varepsilon}{\omega^{2}}gg^{11}\left\lbrack S^{12}C_{12}^{1} + S^{22}C_{22}^{1} \right\rbrack\left\lbrack \frac{\text{kNm}}{m} \right\rbrack$$

$${\hat{M}}^{22} = - \frac{1}{\omega^{2}}\left\lbrack \left( 1 - \nu \right)\beta^{22} - g\varepsilon g^{22} \right\rbrack\left\lbrack S^{12}C_{12}^{1} + S^{22}C_{22}^{1} \right\rbrack\left\lbrack \frac{\text{kNm}}{m} \right\rbrack$$

- przemieszczenia

$${\hat{w}}^{1} = \frac{1}{2Eh}\left\lbrack \frac{2H}{\varepsilon} - (1 - \nu) \right\rbrack{\hat{Q}}^{1}\ \left\lbrack m \right\rbrack$$

$${\hat{w}}^{2} = 0$$

$${\hat{w}}^{3} = \frac{9}{2Eh}\left\lbrack S^{12}C_{12}^{1} + S^{22}C_{22}^{1} \right\rbrack\ \lbrack m\rbrack$$