PLANIMETRIA – zadania
1. W trójkącie dane są długości boków AB = 4, BC = , AC = 3.
a ) Skonstruuj ten trójkąt.
b ) Oblicz pole trójkąta ABC.
c ) Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek C ze środkiem boku AB.
2. W trójkącie prostokątnym stosunek przyprostokątnych jest równy . Wysokość
poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli dany trójkąt na takie dwa trójkąty, że
różnica ich pól równa się 84. Oblicz pole danego trójkąta.
3. Trapez równoramienny o podstawach długości 13 i 7 oraz ramionach długości 5 przecięto
wzdłuż przekątnej. Oblicz długość tej przekątnej i pola otrzymanych przekrojów.
4. Pole trapezu równoramiennego jest równe . Ramię długości tworzy z dłuższą
podstawą kąt o mierze 30o . Oblicz obwód trapezu i długość przekątnej.
5. Oblicz pole trapezu równoramiennego o ramieniu b = 3 i kącie ostrym = 60o wiedząc, że
przekątne tego trapezu są prostopadłe do ramion.
6. W półkole o średnicy 50 wpisano trapez w ten sposób, że średnica półkola jest jedną
z podstaw trapezu. Suma długości trzech pozostałych boków trapezu jest równa 74. Oblicz
długości tych boków.
7. W trójkąt , którego dwa boki mają długość a i b oraz kąt między nimi zawarty
wpisano kwadrat tak, że dwa jego wierzchołki leżą na boku trójkąta o długości a, zaś
pozostałe wierzchołki leżą na pozostałych bokach trójkąta. Oblicz stosunek pola kwadratu
do pola trójkąta.
8. W trapezie ABCD odcinki AB i DC są podstawami. Przekątne AC i BD przecinają się
w punkcie E. Oblicz pole trójkąta BCE wiedząc, że AB = 30, DC = 24, AD = 3 i kąt
DAB ma miarę 60o.
9. W trójkącie ABC boki AB i BC mają odpowiednio długości 6 i 12, zaś kąt ABC ma
miarę 60o . Oblicz obwód, pole trójkąta oraz promień okręgu na nim opisanego.
10. Przekątne równoległoboku mają długości 24 i 12, a kąt ich przecięcia ma miarę 60o .
a ) Oblicz obwód i pole równoległoboku.
b ) Oblicz miary kątów, jakie tworzy krótsza przekątna z bokami równoległoboku.
11. Pole równoległoboku ABCD jest równe 36, a jego boki AB i AD mają odpowiednio
długości 6 i 10. Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku.
12. W romb o boku a i kącie ostrym o mierze 60o wpisano okrąg. Oblicz pole czworokąta,
którego wierzchołkami są punkty, w których okrąg ten jest styczny do boków rombu.
13. Ramię trójkąta równoramiennego jest dwa razy dłuższe od podstawy. Suma promieni
okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 10. Oblicz
długość podstawy trójkąta.
14. Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód trójkąta
jest równy 21, a kosinus największego kąta wynosi –0,1 . Oblicz długości boków tego
trójkąta.
15. Kąt ostry równoległoboku ma miarę 45o. Punkt wspólny przekątnych równoległoboku jest
oddalony od boków o i 2. Oblicz pole równoległoboku oraz długości jego
przekątnych.
16. Dłuższa przekątna równoległoboku o kącie ostrym 60o ma długość . Różnica
długości jego boków wynosi 3. Oblicz pole tego równoległoboku i długość krótszej
przekątnej.
17.W rombie o boku a i kącie ostrym poprowadzono z wierzchołka kąta ostrego odcinki do
przeciwległych boków tak, że podzieliły one romb na trzy części o równych polach. Oblicz
długości każdego z tych odcinków.
18. W kwadrat o boku a wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który
wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę
pól wszystkich tych kwadratów.
19. W trapezie ABCD , gdzie AB i CD są podstawami, dane są : = 16, = 10,
, miara kąta DAB wynosi 60o . Oblicz :
a ) pole i obwód trapezu
b ) sinus kąta ADB
c ) odległość punktu przecięcia się przekątnych trapezu od jego dłuższej
podstawy.
20. Kąty ostre trapezu mają miary i , a pole tego trapezu jest równe P. Oblicz długość
promienia okręgu wpisanego w ten trapez.
21. Trapez o podstawie AB ma trzy boki o długości 1. Miara kąta ASB, gdzie S jest punktem
przecięcia przekątnych , jest równa 120o. Oblicz pole tego trapezu.
22. W trapez o polu 168 i ramionach długości 13 i 15 można wpisać okrąg. Przekątne dzielą
ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.
23. Ramiona kąta ostrego o mierze 2 przecięto prostą k prostopadłą do dwusiecznej kąta
w odległości d od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu
ramion danego kąta i prostej k. Oblicz odległość środków tych okręgów.
24. Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła. Oblicz stosunek pola części trójkąta
leżącej na zewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła.
25. W trójkącie ABC dane są długości boków , oraz
cosABC =.
a ) Oblicz odległość wierzchołka A od prostej BC
b ) Oblicz sumę długości promieni okręgu opisanego na trójkącie ABC i okręgu
wpisanego w trójkąt ABC.
26. W równoległoboku ABCD dane są długości boków , oraz miara kąta
ostrego DAB równa 60o. Punkty E i F są odpowiednio środkami boków i .
a ) Oblicz długości przekątnych równoległoboku oraz pole czworokąta BEFD.
Wyznacz sumę kwadratów sinusów kątów wewnętrznych trójkąta ABD.
27. W trójkącie równobocznym ABC o polu na boku obrano punkt M taki, że
.
a) Oblicz sinus kąta MAB oraz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt
MAB.
Jakie długości mają odcinki, na które symetralna odcinka dzieli bok ?
28. W trapezie równoramiennym ABCD dane są : , długość dłuższej
podstawy oraz miara kąta ostrego równa 30o.
Oblicz długość przekątnej trapezu oraz wyznacz stosunek pola trójkąta BCD
do pola trójkąta ABD.
Dla jakiej wartości a pole trapezu jest równe ?
29. Dany jest trójkąt ABC , w którym kąt BCA = 90o , a kąt CAB jest dwa razy mniejszy od
kąta ABC. Obwód okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi . Prosta przechodząca przez
wierzchołek C danego trójkąta tworzy z krótszą przyprostokątną kąt o mierze 30o
i przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D.
Oblicz pole koła opisanego na danym trójkącie oraz wyznacz stosunek długości
odcinka do długości odcinka .
Oblicz odległość punktu D od środka okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
30. Dany jest trójkąt ABC w którym : . Długość promienia
okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równa długości boku AC. Wyznacz długość
środkowej trójkąta poprowadzonej z wierzchołka A oraz oblicz długość promienia okręgu
wpisanego w trójkąt ABC.
31. W trójkącie ABC dane są długości boków : i długość środkowej
.
Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.
Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.