POLITECHNIKAKOSZALIŃSKA ROK AKADEMICKI 2010/2011	LABORATORIU Z PRZEDMIOTU WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
Wydział Mechaniczny MiBM grupa M01	Nazwisko i imię : BAJSICKI JAROSŁAW
Wyznaczanie naprężeń w belce statycznie niewyznaczalnej
Data ćwiczenia : 03.12.2010	Podpis:

Cel ćwiczenia :

Ćwiczenie polega na wyznaczeniu maksymalnych naprężeń gnących σ_max w belce statycznie niewyznaczalnej metodą analityczną-stosując twierdzenie Menabrea oraz porównaniu ich z wynikami uzyskanymi metodą doświadczalną.

1. Wprowadzenie

Badany układ jest belką jednoprzęsłową utwierdzoną sztywno na jednym końcu i podpartą przesuwnie na drugim ,obciążona siłą zgodną z rysunkiem .

Stanowi ona układ statycznie niewyznaczalny .Oznacza to, że występujących w niej naprężeń nie da się wyliczyć wyłącznie za pomocą równań równowagi.

W celu wyznaczenia naprężeń(reakcji), a dzięki temu σ_max posłużymy się metodą energetyczną wykorzystując twierdzenie Metabrea mówiące, że:

Pochodna cząsteczka energii spoczynkowej układu względem reakcji statycznie niewyznaczalnej

jest równa zero.

$$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$$

Twierdzenie to pozwala wyliczyć statycznie niewyznaczalną reakcję na danej podporze belki. Gdyby belka miała więcej podpór statycznie niewyznaczalnych to dla każdej takiej podpory można byłoby ułożyć podobny warunek i tym samym wyznaczyć wszystkie reakcje układu.

W wypadku gdy energia sprężysta V pochodzi głównie od zginania twierdzenie to można wyrazić zależnością:

$$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{\text{EJ}}\int_{0}^{l}{\text{Mg}\frac{\partial Mg}{\partial x}} = 0$$

dla belki o stałej sztywności EJ = const

stąd otrzymujemy:

$$\frac{\partial v}{\partial x} = \int_{0}^{l}{\text{Mg}\frac{\partial Mg}{\partial x}}dx = 0$$

3.Część analityczna

Dane:

a=3mm=0,003 m,

b=700mm=0,700m,

c=19 mm=0,019m,

h=5mm=0,005m

P=23 N

Wskaźnik wytrzymałości na zginanie:

W=$\frac{C \bullet H^{2}}{6}$

W=$\frac{0,019\ \bullet {(0,005)}^{2}}{6} = 0,079 \bullet 10^{- 6}m^{3}$

Równania równowagi:

P_iy = −P + R_A + R_B = 0

R_B = P − R_A

Mi_A = Pa + R_B • b

Otrzymujemy 2 równania i 3 niewiadome w związku z tym korzystamy z twierdzenia Menabrea:

$$\frac{\partial v}{\partial x} = \int_{0}^{L}\text{Mg}\frac{\partial Mg}{\partial x}dx = 0$$

PRZEDZIAŁ 1

0 ≤ x ≤ a

$$M_{\text{gI}} = - P \bullet X_{1} \bullet \frac{\partial Mg}{\partial RA} = 0$$

nie ma momentu więc ∂Mg=0

PRZEDZIAŁ II

a≤X₂ ≤ a + b

M_gII = −P • x₂ + R_A(x₂ − a)

$\frac{\partial Mg}{\partial R_{A}} = x_{2} - a$

$$\frac{\partial v}{\partial R_{A}} = \int_{0}^{a}{\left( - P \bullet x \bullet 0 \right)\text{dx}} + \int_{a}^{a + b}{\lbrack - Px +}R_{A}\left( x - a \right)\rbrack dx = 0$$

$$\frac{\partial v}{\partial R_{A}} = \int_{a}^{a + b}( - Px + R_{A}x - R_{A} \bullet a)\left( x - a \right)dx = 0\left( x - a \right)$$

∫_a^a + b(−Px² + R_Ax² − R_A • x • a + P • x • a − R_A • x • a + R_A • a²)dx = 0∫_a^a + b[x²(R_A−P)+x(P•a−2•R_A•a)+R_a•a²]dx = 0

$$x^{3} \bullet \frac{1}{3}\left( R_{A} - P \right) + x^{2} \bullet \frac{a}{2}\left( P - 2R_{A} \right) + x \bullet R_{A} \bullet a^{2}\left| \begin{matrix} 0,703 \\ 0,003 \\ \end{matrix} \right.\ = 0$$

$${(0,703)}^{3} \bullet \frac{1}{3}\left( R_{A} - 23 \right) + {(0,703)}^{3} \bullet \frac{0,003}{2}\left( 23 - 2R_{A} \right) + 0,703{(0,003)}^{2} \bullet R_{A} = 0$$

0,116(R_A − 23)+0, 741 • 10⁻³(23−2R_A) + 6, 33 • 10⁻⁶ • R_A = 0

0,116R_A − 2, 668 + 17, 04 • 10⁻³ − 1, 48 • 10⁻³R_A + 6, 33 • 10⁻⁶R_A = 0

R_A(0.116−1,48•10⁻³+6,33•10⁻⁶) = 2, 67 − 17, 04 • 10⁻³

0,115 R_A = 2, 65

R_A = 23, 05 N

Otrzymaliśmy reakcje w podporze A bardzo bliską wartością siln P ,co jeśli uwzględnić stosunkowo małą odległość a=3mm jest wysoce prawdopodobne.

R_B = P − R_A

R_B = 23 − 23, 05

R_B = −0, 05 N

Reakcja w podporze B będzie miała przeciwny zwrot niż zaznaczony na rysunku.

Obliczamy M_{g max} .Największy moment wystąpi w przedziale II dla:

a ≤ x₂ ≤ a + b

M_{g max} = −Px₂ + R_A(X₂−a)

M_{g max}(a+b) = −P(a+b) + R_A(a+b−a) = −23 • 0, 703 + 23, 05 • 0, 700

M_{g max} = 0, 035 MPa

Maksymalne naprężenia

$$\sigma_{\max} = \frac{M_{\text{g\ max}}}{W}$$

4.Część praktyczna i porównanie wniosków

W części praktycznej przeprowadziliśmy jednorazowe badanie napręźeń belki dla której wykonaliśmy wcześniejsze obliczenia .Po obciążeniu tą samą siłą P=23N i przy warunkach(utwierdzeniu)jak na rysunku ,dynamometr wskazał maksymalne wychylenie równie 14 działkom co przy wyliczeniu

1dz$\rightarrow \frac{2,5kG}{m^{3}} \rightarrow 0,25\ MPa$

Stąd:

σ_max^prakt. = 14 • 0, 25MPa = 3, 5MPa = 3500kPa

Otrzymany wynik jest znacznie większy niż w metodzie analitycznej

.

5.Wnioski

Metoda analityczna nie uwzględnia wielu czynników występujących w rzeczywistości podczas zginania belki i dlatego wyniki mogą od siebie dość znacznie odbiegać.

Powodem różnic wyników otrzymanych za pomocą metody analitycznej jest złożenie się kilku czynników ”nieprecyzyjności ”laboratoryjnej (wymiary, odległości miedzy podporami, wymiary poprzeczne przekroju, niejednorodność materiałowa, dokładność wskazań oraz wyskalowanie urządzenia pomiarowego, waga obciążenia itp.)

Wykonanie kilku prób i wyciągnięcie średniej zwiększałoby dokładność.