Zagadnienie współdefiniowalności spójników ekstensjonalnych

Spójnik ekstensjonalny: taki spójnik, którego wartość logiczna zależy od wartości logicznej zdań składowych połączonych tym spójnikiem. W rachunkach klasycznych s. ekstensjonalnych jest dokładnie 32. Np. p^q – prawdziwość koniunkcji zależy od wartości zmiennych p i q. Jeśli wartość spójnika nie jest zależna od wartości zdań składniowych to taki spójnik jest spójnikiem nieekstenstonalnym. Występuje w logikach nieklasycznych jak np.:

• w logikach modalnych (jest konieczne, że; nie jest konieczne, że)

• w logikach epistemicznych (wiem, że (K), jestem przekonany, że (B))

• w logikach parakonsystentnych (tolerujące sprzeczności)

W logikach klasycznych a szczególnie w KRZ jest możliwe zdefiniowanie dowolnego spójnika ekstensjonalnego za pomocą negacji innego spójnika ekstensjonalnego. Możliwość ta jest oparta o istnienie tzw. praw definicyjnych.

1. (pvq) ↔ ~ (~ p ^ ~ q)

2. (p ^ q)↔ ~ (~p v ~q)

3. (p→q)↔ ~(p ^ ~q)

4. (p^q) ↔ ~ (p→ ~q)

5. (p vq) ↔ (~p→q)

6. (p→q)↔(~pvq)

Przykłady zastosowania:

1.(p v ∼p) ≡ (∼p & ∼∼p) ≡ ∼(∼p&p)

2. [(pvq)&∼p] ≡ [(∼p→q)&∼p] ≡ ∼[(∼p→q)→∼∼p] ≡ ∼[( ∼ p → q)→p]

Traktować jak p q