Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie	Nazwisko i imię: Szymon Micor
LABORATORIUM TEORIA STEROWANIA
Wydział: EAIiE	Rok akad.: 2011/2012
Temat ćwiczenia: Regulator cyfrowy
Data wykonania: 28.05.2012	Data zaliczenia:

1. Wstęp teoretyczny

Schemat układu z regulatorem

$$u\left( t \right) = K_{P} \bullet e\left( t \right) + K_{I} \bullet \int_{0}^{t}{e\left( t \right)\text{dt} + K_{D} \bullet \frac{\text{de}(t)}{\text{dt}}}$$

K_P-współczynnik wzmocnienia części proporcjonalnej

K_I-współczynnik wzmocnienia części całkującej

K_d-współczynnik wzmocnienia części różniczkującej

Zastosowanie regulatora cyfrowego sprowadza się do dyskretyzacji czasowej badanego sygnału. W układzie należy zastosować przetwornik A/C oraz określić częstość próbkowania.
Całkowanie należy wykonać metodą prostokątów, a pochodną aproksymowana uzyskać przez różnicę dwupunktową.

$${K_{D} \bullet \frac{\text{de}\left( t \right)}{\text{dt}}\ \ \ \ \ \ \ = > \ \ \ \ \ \ \frac{e\left( k \right) - e(k - 1)}{T_{p}} \bullet K_{D}\backslash n}{K_{I} \bullet \int_{0}^{t}{e\left( t \right)\text{dt}\ \ \ \ \ \ = > \ \ \ \ \ }K_{I} \bullet \sum_{j = 1}^{N}{e\left( j - 1 \right) \bullet T_{p}}}$$

Dyskretna postać sygnału regulacji po przekształceniach:

$$u\left( k \right) = K_{P} \bullet e\left( k \right) + K_{I} \bullet T_{p}\sum_{j = 1}^{N}{e\left( j - 1 \right)} + K_{D} \bullet \frac{e\left( k \right) - e(k - 1)}{T_{p}}$$

$$u\left( k - 1 \right) = K_{P} \bullet e\left( k - 1 \right) + K_{I} \bullet T_{p}\sum_{j = 1}^{N - 1}{e\left( j - 1 \right)} + K_{D} \bullet \frac{e\left( k - 1 \right) - e(k - 2)}{T_{p}}$$

$$U\left( k \right) = u\left( k \right) - u\left( k - 1 \right) = e\left( k \right) \bullet \left( K_{P} + \frac{K_{D}}{T_{p}} \right) + e\left( k - 1 \right)\left\lbrack - K_{p} + K_{I}T_{p} - \frac{2K_{D}}{T_{p}} \right\rbrack + e\left( k - 2 \right) \bullet \frac{K_{D}}{T_{p}}$$

2. Przykład realizowany na zajęciach

a)
Schemat układu z regulatorem cyfrowym:

Kod źródłowy w programie MATLAB:

clear all

Tsym=1.5

Tp=0.05

kp=2

ki=10

kd=0.1

q0=kp+kd/Tp

q1=-kp+ki*Tp-(2*kd)/Tp

q2=kd/Tp

[t,x,y]=sim('regc',Tsym)

plot(t,y(:,1),'r', t, y(:,2),'b',);

grid;

axis([0 Tsym -100 100]);

czerwony – sygnał wejściowy
niebieski – sygnał wyjściowy

Dla tak dobranych współczynników otrzymuje się taki przebieg:

Analiza poszczególnych członów regulatora PID:

• Jako regulator typu P
  ------------
  kp=2

ki=0
kd=0
------------
Sygnał wyjściowy zmienia się tak jak obliczone teoretyczne wartości. Jest Wzmocniony dwukrotnie i nie uległ zniekształceniu.

• jako regulator typu I
  ------------
  kp=0
  ki=10
  kd=0
  ------------
  
  Zastosowanie przetwornika cyfrowo-analogowego w postaci ekstrapolatora zerowego rzędu (Zero-Order Hold) odpowiedzialne jest za występowanie schodków na wykresach przebiegów. Aby uzyskać dokładniejszy przebieg czyli zniwelować wielkość „schodków”, należy zmniejszyć czas próbkowania.

• jako regulator typu D

------------
kp=0
ki=0
kd=0.1
------------

b)

Regulator z ograniczeniem amplitudy – stosowany jest w przypadku gdy zachodzi konieczność uwzględnienia ograniczenia amplitudy sygnału wyjściowego regulatora. W tej postaci regulatora wyodrębnione są tory działania proporcjonalnego, całkującego i różniczkującego.

Schemat układu z regulatorem cyfrowym z ograniczeniem amplitudy

jako regulator typu I:

Kod źródłowy programu MATLAB:
clear all; clc;

Tsym=1.5;

Tp=0.05;

Kp=0;

KI=10;

Kd=0;

Ogr1=-30.0;

Ogr2=30.0;

Ogr3=-3000.0;

Ogr4=3000.0;

[t,x,y]=sim('regc2',Tsym);

plot(t,y(:,1),'r', t,y(:,2),'b');

hold on;

[t,x,y]=sim('regc3',Tsym);

plot(t,y(:,2),'g');

hold off;

grid;

axis([0, Tsym, -60 100]);

Odpowiedź części całkującej regulatora z ograniczeniem i bez ograniczenia

Przebiegi odpowiedzi pełnego regulatora PID:

Kod źródłowy programu MATLAB:
clear all; clc;

Tsym=1.5;

Tp=0.05;

Kp=2;

KI=10;

Kd=0.1;

Ogr1=-30.0;

Ogr2=30.0;

% Ogr1=-3000.0;

% Ogr2=3000.0;

[t,x,y]=sim('regc2',Tsym);

plot(t,y(:,1),'r', t,y(:,2),'b');

grid;

axis([0, Tsym, -60 100]);

• regulator bez ograniczeń
  

• regulator z ograniczeniami

• regulator bez ograniczeń o zmniejszonym o połowę czasie próbkowania T=0.025
  

W odpowiedzi tylko części całkującej regulatora z ograniczeniem można zaobserwować ograniczenie, spowodowane przerwaniem w odpowiedniej chwili procedury całkowania. Sygnał wyjściowy istnieje w granicach -30 i 30 (nastawy bloczka Saturation).

Dla symulacji układu regulatora pełnego PID bez ograniczeń wartości dochodziły do wartości ok 75. Po zastosowania ograniczeń saturatora, wartości te nie mogły być osiągnięte, zostały zamienione na wartości stałe i zamknęły się w granicach (-30; 30).

Dla przebiegu układu regulatora PID bez ograniczeń ale o zmniejszonym o połowę czasie próbkowania można wnioskować, że przez zastosowanie tego zabiegu uzyskuje się dokładniejszy wykres. Amplituda sygnału wyjściowego zwiększyła się z 40 do 60, gdyż zwiększyła się dokładność obliczenia pochodnej. Na tej podstawie można stwierdzić, że zmieniając (zmniejszając) czas próbkowania zwiększa się dokładność obliczeń.