LABORATORIUM TEORII STEROWANIA I TECHNIKI REGULACJI	Imię Nazwisko: Seweryn Kwieciński
WYDZIAŁ EAIiE	Rok akademicki.: 2011/2012
Temat ćwiczenia: Regulator cyfrowy
Data wykonania ćwiczenia: 28.05.2012r.	OCENA

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodami symulacji oraz doborów nastaw regulatorów cyfrowych PID.

1. Część teoretyczna

Regulatory cyfrowe dzięki powszechnemu zastosowaniu sterowników mikroprocesorowych i komputerów we współczesnych układach automatyki, są najczęściej spotykanym obecnie przykładem sterowania dyskretnego.

Uniwersalnym algorytmem regulatorów o działaniu ciągłym jest algorytm PID, określany jako działanie proporcjonalno – całkująco – różniczkujące opisywany równaniem:

gdzie:

K_p – współczynnik części proporcjonalnej (wzmocnienie)

K_i – współczynnik części całkującej (K_i=1/T_i)

K_d – współczynnik części różniczkującej (K_d=T_d)

e(t) – E(s) – uchyb regulacji (błąd)

u(t) – U(s) – sygnał sterujący podawany na obiekt

Algorytm PID można zrealizować za pomocą 2 typów struktur:

- struktura równoległa - realizuje wyłącznie algorytm pozycyjny

- struktura szeregowa - może realizować zarówno algorytm pozycyjna jak i przyrostowy (prędkościowy)

My zajmujemy się strukturą szeregową

Schemat blokowy dla struktury szeregowej dyskretnego algorytmu PID:

Ze względu że jest to regulator cyfrowy będzie on musiał pracować na funkcjach dyskretnych. Dyskretyzacja powyższego algorytmu polega na zastąpieniu sygnałów ciągłych ich wartościami dyskretnymi wyznaczonymi dla chwil t=k*T_p, gdzie T_p jest okresem próbkowania

Dla sygnału sterującego:

Dla części proporcjonalnej:

Dla części całkującej (korzystam tutaj z własności całki, która jest tak naprawdę sumą pól figur pod wykresem tutaj użyto metody prostokątów inaczej metody Eulera)

Dla części różniczkującej (korzystam tutaj z faktu że dla małych przyrostów pochodna aproksymowana jest różnicą dwupunktową tzw. różnica pierwszego rzędu)

Ostatecznie

Zamiast czasu została wprowadzona nowa zamienna k określająca numer próbki (pulsu)

Należy pamiętać że próbki dla t<0 nie istnieją czyli dla $\sum_{k = 0}^{- \infty}{e\left( k \right) = 0}$.

Po zastosowaniu powyższego wzoru do (n-1) próbki i odjęciu wyniku od obu stron równania możemy wyznaczyć przyrost sygnału na wyjściu regulatora cyfrowego.

u(k) = u(k) − u(k − 1)

$$u\left( k \right) = e\left( k \right)*\left\lbrack K_{p} + \frac{K_{d}}{T_{p}} \right\rbrack + e\left( k - 1 \right)*\left\lbrack - K_{p} + K_{i}*T_{p} - \frac{{2K}_{d}}{T_{p}} \right\rbrack + e\left( k - 2 \right)*\frac{K_{d}}{T_{p}}$$

Ten algorytm nazywany jest przyrostowym. W tym algorytmie jako sterowanie podawana jest wartość o jaką zmienić stan układu tzn. jeśli obiekt znajduje się już w pożądanym położeniu to sterowanie wynosi 0 a jeśli nie to wynosi u.

Następnym krokiem jest zapisanie algorytmu w prostszej postaci:

Przyjmę za:

$$q_{0} = K_{p} + \frac{K_{d}}{T_{p}}\ ,\ \ q_{1} = - K_{p} + K_{i}*T_{p} - \frac{{2K}_{d}}{T_{p}},\ \ q_{2} = \ \frac{K_{d}}{T_{p}}$$

Algorytm przyrostowy przyjmie postać:

u(k) = e(k) * q₀ + e(k−1) * q₁ + e(k−2) * q₂

Należy zwrócić uwagę, że jeśli dla dyskretnego algorytmu PID sygnał wyjściowy regulatora będzie odtwarzany przy pomocy przetwornika cyfrowo-analogowego (co oznacza tzw. ekstrapolację zerowego rzędu czyli zamianę sygnału cyfrowego na ciągły poprzez aproksymację prostokątną) to jego nastawy (czyli nasze q₀, q₁, q₂) muszą uwzględniać aktualny okres próbkowania T_p. Podczas doboru tego czasu należy koniecznie o tym pamiętać jeżeli działanie regulatora cyfrowego ma być w pełni równoważne działaniu analogicznego regulatora ciągłego.

1. Część symulacyjna

1. Badanie regulatora PID – algorytm pozycyjny

W celu symulacji działania regulatora cyfrowego typu PID skorzystałem z programu Simulink.

Pierwsze dwa bloki Step oraz Step1 generują sygnał o amplitudzie 10 peak-to-peak i okresie 1,2s.

Następnie mamy blok Zero-Order Hold czyli ekstrapolator rzędu zerowego. Dokonuje on konwersji sygnału poprzez podtrzymanie wartości każdej z próbek przez jeden okres próbkowania. Czyli działa on jako przetwornik C/A.

Kolejnymi blokami są nastawy naszego regulatora. Na pierwszy blok Gain(q0) dostarczony jest sygnał w niezmienionej postaci ponieważ współczynnik q0 stoi przy e(k). Drugi blok Gain1 (q1) jest opóźniany blokiem Unit Delay1 ponieważ przy współczynniku q1 mamy e(k-1). Trzeci blok Gain3 (q3) jest opóźniany dwoma blokami Unit Delay.

Sygnał z obu bloków jest sumowany z wszystkich bloków następnie podawany na blok Zero-Order Hold za którym jest sprzężenie zwrotne blokiem Unit Delay2.

Kod MATLAB:

Poniżej przedstawię wykresy przedstawiające wyniki przeprowadzonych symulacji:

Na podstawie odpowiedzi regulatora wnioskuję że człon P działa prawidłowo. Sygnał wyjściowy (kolor niebieski) jest dwukrotnie większy od sygnału wejściowego ponieważ współczynnik proporcjonalności Kp jest równy 2.

Również człon I działa prawidłowo. Gdy na wejściu pojawiło się wymuszenie (kolor czerwony) człon I rozpoczął całkowanie sygnału które jest widoczne w postaci schodków. Długość schodków jest uzależniona od czasu próbkowania. Uświadamia nam to jak ważne jest odpowiednie dobranie czasu próbkowania. Poniżej prezentuje ten sam człon przy Tp=0.01

Na podstawie odpowiedzi regulatora wnioskuję że człon I działa prawidłowo. Sygnał wyjściowy (kolor niebieski) osiąga wartość początkową zgodnie ze wzorem: $y = \frac{Kd*A}{\text{Tp}}*e^{\frac{- t}{\text{Tp}}}$ gdzie A to amplituda sygnału wejściowego. Dla t=0, $y = \frac{10*0,1}{0,05} = 20$. Następnie sygnał maleje i osiąga 0.

Przebieg wyjściowy regulatora typu PID zgodnie z oczekiwaniami jest sumą przebiegów dla regulatorów typu P, I oraz D.

1. Badanie regulatora PID z ograniczeniem

Gdy zachodzi konieczność zastosowania ograniczenia amplitudy sygnału wyjściowego regulatora najlepiej jest zastosować postać regulatora w której wszystkie człony PID są wyróżnione. Najważniejsze jest tu wyodrębnienie członu integratora ponieważ właśnie w jego torze zostanie umieszczone ograniczenie.

Aby otrzymać taką postać regulatora należy pierwsze przekształcić wzór na przyrost sygnału, który już był użyty wcześniej czyli:

$$u\left( k \right) = e\left( k \right)*\left\lbrack K_{p} + \frac{K_{d}}{T_{p}} \right\rbrack + e\left( k - 1 \right)*\left\lbrack - K_{p} + K_{i}*T_{p} - \frac{{2K}_{d}}{T_{p}} \right\rbrack + e\left( k - 2 \right)*\frac{K_{d}}{T_{p}}$$

do takiej postaci aby łatwo można było odczytać jak przetwarzane są kolejne próbki sygnału e(k),  e(k−1),   e(k−2). Aby tego dokonać należy wyciągnąć współczynniki każdego z członów przed nawiasy czyli:

Na podstawie tego wyrażenia można utworzyć schemat blokowy który będzie miał 3 równoległe tory związane z działaniem części proporcjonalnej, całkującej i różniczkującej regulatora.

Schemat blokowy regulatora cyfrowego PID dla struktury równoległej:

Kod Matlab:

Poniżej prezentuje przebieg wejściowy (kolor czerwony) i przebieg wyjściowy (kolor niebieski)

Porównując powyższy przebieg wyjściowy z przebiegiem regulatora dla struktury szeregowej którą symulowałem wcześniej, obydwa regulatory powodują taką samą odpowiedź sygnału wyjściowego.

Po sprawdzeniu że układ działa poprawnie, można dodać do niego ograniczenie. Schemat z zaimplementowanym ograniczeniem poniżej:

Kod Matlab:

Ograniczenie jest regulowane zmiennymi ogr_h oraz ogr_l. Ograniczenia umieszczone są w torze całkowania jak i w torze sumy sygnału regulatora. Ograniczenie górne zostało ustawione na 30 natomiast dolne na -30.

Na początku sprawdzę jak wygląda ograniczenie dla samego członu całkującego:

Na wyjściu wyraźnie widzimy że odpowiedź części całkującej została ograniczona poprzez przerwanie w odpowiedniej chwili procedury całkowania.

Kolejnym krokiem będzie sprawdzenie jaki otrzymamy przebieg przy danych z poprzedniego zadania czyli Kp=2; Ki=10; Kd=0.1 oraz przy aktywnym ograniczeniu.

Możemy zaobserwować że amplituda przebiegu nie przekracza 30, zatem ograniczenie działa poprawnie.

1. Wpływ czasu próbkowania na odpowiedź

Nastawy cyfrowego regulatora PID są w dużym stopniu uzależnione od doboru czasu

próbkowania Tp , jaki został wyznaczony dla naszego obiektu. Jeżeli wartość Tp przyjmuje małe wartości, to można przyjąć że nasz regulator poda w odpowiedzi równie dobry sygnał jak analogowy regulatora PID. W przeciwnym wypadku, kiedy Tp uzyskało wysoką wartość, przebiegi mogą być zniekształcone.

Wykres prezentuje odpowiedź regulatora PID przy czasie próbkowania Tp=0.025:

Porównując przebiegi odpowiedzi regulatora z przebiegami przy Tp=0.05 można zauważyć że poziom sygnału z części różniczkującej uległ wzrostowi. Jest to spowodowane poprawą dokładności obliczenia pochodnej poprzez skrócenie czasu próbkowania. Zatem układ jest bardziej dokładny przy szybkich zmianach wymuszenia. Dodatkowo można zauważyć że „schodki” powstałe w wyniku działania części całkującej, są mniejsze.

1. Wnioski:

Wyznaczone przebiegi badanego układu regulatora PID potwierdzają poprawne działanie każdego z członów. Pierwszy z badanych regulatorów zawiera niewiele elementów dlatego jeśli nie potrzeba ograniczenia amplitudy sygnału jest on wystarczający. Drugi z regulatorów jest bardziej złożony, jego praca daje te same efekty co regulatora pierwszego ale można go zmodyfikować o ograniczenie sygnału.

Podczas ćwiczenia określiłem wpływ okresu próbkowania na nastawy algorytmu PID. Odpowiedni dobór czasu próbkowania jest istotny i należy dobrać go tak aby odpowiedź wyjściowa była jak najbardziej zbliżona do regulatora liniowego.

Gdy zachodzi konieczność uwzględniania ograniczenia amplitudy sygnału wyjściowego należy zastosować regulator z ograniczeniem amplitudy.

Podczas ćwiczenia rozwinąłem swoje umiejętności modelowania regulatora PID w środowisku Simulink oraz posiadłem zdolność krytycznej analizy otrzymanych wyników.